二次函数本章总结提升.doc

相似形总结 类型之一比例的性质例1已知xyz234，求的值解析 思路一：从已知条件看，是三个数的连比，我们可以把它拆成xy23, yz34.但由于所求比式中的前项、后项中的x，y都是负的，因此应先变形，然后运用合比的性质思路二：连比的问题，实质是等比的另一种书写形式，因此，对于连比我们可以把它改写成等比.这样，我们在思考问题时，可联想等比的性质，同时，作适当的变形，“凑”成所求比中的前项、后项中各数思路三：当我们将连比转化为等比后，最简捷的思维方法就是设参数，然后变形，再运用等比的性质，消去参数，求出比值解：解法一：xyz234，由合比性质，有，又， 则 (1)又，(2)(1)(2)得.解法二：xyz234，由等比性质可得，即(1)又，即(2)由(1)(2) 得，.解法三：xyz234，设k(k0)，则x2k，y3k，z4k.归纳总结 通过对已知比例式进行灵活的变形，再运用合比、等比性质求比值，实质就是求代数式的值，特别是连比，若转化为等比，利用设参数的方法可迅速快捷地解决问题相似形的判定与性质例2武汉中考 已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G.(1)如图22T1，若四边形ABCD是矩形，且DECF，求证：；(2)如图，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当B与EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；(3)如图，若BABC6，DADC8，BAD90，DECF，垂足为G.请直接写出的值图22T1解析 对于(1)，利用矩形及垂直的条件得到ADEDCF即可解决问题；对于(2)，可延长AD到点M，使得CFCM，通过条件“BEGC180”，得到ADEDCM.(3)过点C作CNAD于点N，CMAB交AB的延长线于点M，连接BD，设CNx，BADBCD，推出BCDA90，可证BCMDCN，求出CMx，在RtCMB中，由勾股定理得BM2CM2BC2，代入得方程(x6)2(x)262，求出CN，证出AEDNFC，即可得出答案解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，AADC90.DECF，ADEDCF，ADEDCF，.图22T2(2)当BEGC180时，成立证明如下：在AD的延长线上取点M，使得CFCM，则CMFCFM，ABCD，ACDM.ADBC，CFMFCB.BEGC180，AEDFCB，CMFAED，ADEDCM，即.(3).归纳总结 先由基础题入手，通过观察、猜想、验证，由特殊图形向一般图形演变类比前面的思路和方法就可以找到解决问题的办法解此类题可概括为“方法类似，思路顺延；类比渗透，知识迁移”相似三角形性质的应用例3检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米如图22T2(a)，现因房间两面墙的距离为3米，因此借助平面镜来解决房间小的问题若使墙面镜子能呈现出完整的视力表，如图22T2(b)由平面镜成像原理，作出了光路图，其中视力表AB的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜MM的上、下边沿反射后射入人眼C处如果视力表的全长为0.8米，请计算出镜长至少应为多少米图22T2解析 这是一道应用相似形性质来解决物理问题的跨学科考题，根据镜面反射原理，可知视力表AB到镜面MM的距离等于其像AB到镜面的距离，且都为房宽3米，由于人眼C到像的距离为5米，因此人眼到镜面的距离为532(米)，利用CMMCAB可以解决问题解：过点C作CDMM，垂足为D，并延长交AB于点E，如图22T4，图22T4由于MMAB，所以CMMCAB，所以.又因为CE5，DE3，所以CD532，由此解得MM0.32.所以镜长至少应为0.32米归纳总结 把实际问题转化为数学问题，利用相似三角形对应高之比等于相似比解决问题位似作图以及位似变换的性质例4已知：如图22T5，ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)(1)画出ABC向下平移4个单位得到的A1B1C1，并直接写出点C1的坐标；(2)以点B为位似中心，在网格中画出A2BC2，使A2BC2与ABC位似，且位似比为21，并直接写出点C2的坐标及A2BC2的面积图22T5解析 (1)根据网格结构，找出点A，B，C向下平移4个单位的对应点A1，B1，C1的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点C1的坐标；(2)延长BA到点A2，使AA2AB，延长BC到点C2，使CC2BC，然后连接A2C2即可，再根据平面直角坐标系写出点C2的坐标，利用A2BC2的面积为A2BC2所在的矩形面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可求得A2BC2的面积解：(1)如图22T6，A1B1C1即为所求，C1(2，2)(2)如图22T6，A2BC2即为所求，C2(1，0)图22T6A2BC2的面积为642624242464410.归纳总结 位似作图，先找出关键点，根据位似比作出关键点的对应点，然后顺次连接即可平面直角坐标系内或方格纸内图形的面积一般可以通过“规则”图形面积的和差表示出来章内专题阅读 阅读专题思维拓展分类讨论思想在相似三角形中的运用我们在解某些数学题时，它的结果可能不唯一，因此需要对可能出现的情况一一加以讨论，像这样对事物情况分别加以讨论的思想，称为分类讨论思想在运用分类讨论思想研究问题时，必须做到“不重、不漏”相似三角形常常因为对应边、对应角或其他原因的不确定性而需要加以分类讨论，纵观近年中考试题，涉及相似三角形对应关系的试题屡见不鲜，解答此类问题，一定要注意保持思维的缜密性，谨防以偏概全的漏解错误，下面列举几例一、对应边不确定例1东营中考 如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4，x，那么x的值()A只有1个 B可以有2个C可以有3个 D有无数个解析 B已知直角三角形的两条边长分别是6和8，当第三边为直角三角形的斜边时，由勾股定理得10；当第三边为直角三角形的直角边时，由勾股定理得2 .当三边长分别为6，8，10时，若另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4，x，由相似三角形对应边的比相等，可知x也为斜边长，解得x5；当三边长分别为6，2 ，8时，则x应为直角边长，解得x，所以x的值可以有2个故选B.例2本溪中考 如图22T7，在矩形ABCD中，AB10，AD4，点P是边AB上一点，若APD与BPC相似，则满足条件的点P有_个图22T7答案 3解析 P是AB边上的一个动点，位置不定，对应边不能确定，需要分类讨论设APx，AB10，PB10x.当AD和PB是对应边时，APD与BPC相似，即，整理得x210x160，解得x12，x28.当AD和BC是对应边时，APD与BPC相似，即，解得x5.当AP为2或5或8时，APD与BPC相似，故满足条件的点P有3个二、对应角不确定例3如图22T8，A50，B60，一直线l与ABC的边AC，AB相交于D，E两点，当ADE为多少度时，ABC与ADE相似？图22T8解析 显然C70，A是ABC和ADE的公共角，如果ADE等于C或B，那么ABC与ADE相似解：(1)当ADEC70时，ABCAED.(2)当ADEB60时，ABCADE.所以当ADE为70或60时，ABC与ADE相似三、图形的位置不确定图22T9例4如图22T9，直角三角形铁片ABC的两条直角边BC，AC的长分别为3 cm和4 cm，在这个三角形铁片中剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料最少，应如何剪？解析 要使剩下的边角料最少，就要使剪出的正方形铁片面积最大，需要利用相似三角形的性质求出正方形的边长，但剪出正方形的方法有两种，要进行分类讨论解：(1)按如图22T10所示的剪法，设正方形的边长为x cm，则AD(4x)cm.图22T10因为DEBC，所以ADEACB，所以，即，解得x.所以正方形DCFE的面积S1(cm2)(2)按如图22T11所示的剪法，设正方形的边长为y cm