二次函数知识点 (2).doc

厦门分校二次函数知识点 一、二次函数概念： 一切为了孩子美好的未来 1二次函数的概念：一般地，形如 y = ax + bx + c （ a ， ， 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。 b c 2 这里需要强调：和一 元二次方程类似，二次项系数 a 0 ，而 b ， 可以为零二次函数的定义域是全体实数 c 2. 二次函数 y = ax + bx + c 的结构特征： 2 等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2 a ， ， 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项 b c 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式： y = ax 的性质： 2 a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 a 的符号 a0 a 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 a 0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 a h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 ( h ，k ) x h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随 x 的 增大而减小； x = h 时， y 有最小值 k 1 厦门分校三、 二次函 平移 1. 平移 一切为了孩子美好的未来 X=h a h 时， y 随 x 的增大而减小； x 0)【或向或(k0)【或或(h0)【或或(h0)【或或(k0)【或或(h0)【或或(k 0 时，抛物线开口向上，对称轴为 x = ? ? b 4ac ? b 2 ? b ，顶点坐标为 ? ? ， ? 2a 4a ? ? 2a 2 厦门分校当x ? 时， y 随 x 的增大而增大；当 x = ? 时， y 有最小值 2a 2a 2a 4a ? b 4ac ? b 2 ? b b ，顶点坐标为 ? ? ， 时， y 随 x 的增大而增大；当 ? 当 x ? 4a ? 2a 2a ? 2a 2. 当 a ? 4ac ? b 2 b b 时， y 随 x 的增大而减小；当 x = ? 时， y 有最大值 2a 2a 4a 2 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： y = ax + bx + c （ a ， b ， c 为常数， a 0 ） ； 2. 顶点式： y = a ( x ? h) + k （ a ， h ， k 为常数， a 0 ） ； 2 3. 两根式： y = a ( x ? x1 )( x ? x2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 b 2 ? 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a 二次函数 y = ax + bx + c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0 2 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 a 0 的前提下， 当 b 0 时， ? 当 b = 0 时， ? 当 b 0 时， ? b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧 2a b 0 ，即抛物线的对称轴在 y 轴右侧； 2a b = 0 ，即抛物线的对称轴就是 y 轴； 2a b 0 ，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧 2a 在 a 0 时， ? 当 b = 0 时， ? 当 b 0 ，在 y 轴的右侧则 ab 0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c = 0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时，图象与 x 轴交于两点 A ( x1 ， ) ， ( x2 ， ) ( x1 x2 ) ，其中的 x1 ，x2 是一元二次方程 0 B 0 2 ax 2 + bx + c = 0 ( a 0 ) 的两根这两点间的距离 AB = x2 ? x1 = 当 ? = 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； 当 ? 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 ； 2 当 a 0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 y 0 时为例，揭示 2 二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： ?0 抛物线与 x 轴有两 个交点 抛物线与 x 轴只有 一个交点 抛物线与 x 轴无交 点 二次三项式的值可正、可 零、可负 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个不相等实根 ?=0 ?0 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 图像参考： y=2 x2 y=x2 x2 y= 2 x2 y= 2 y= -x2 y=-2x2 5 厦门分校 y=2 x2+2 y=3 (x+4)2 y=3 x2 y=3 (x-2)2 一切为了孩子美好的未来 y=2 x2 y=2 x2-4 y=-2(x+3)2 y=-2x2 y=-2(x-3)2 十一、函数的应用 y=2 x2 y=2(x-4)2 ?刹车距离 ? 二次函数应用 ?何时获得最大利润 ?最大面积是多少 ? 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以 x 为自变量的二次函数 值是 2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直 y=2(x-4)2-3 y = (m ? 2) x 2 + m 2 ? m ? 2 的图像经过原点，则 m 的 角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数 y 1 0 A x B o-1 x 0 C y = kx + b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y = kx 2 + bx ? 1 的图像大致是（ y y 1 x 0 -1 D x y ） 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为 x = 5 ，求这条抛物线的解析式。 3 4 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如： 3 2 已知抛物线 y = ax + bx + c （a0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、3，与 y 轴交点的纵坐标是 2 （1）确定抛物线的解析式； （2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 5考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。 【例题经典】 由抛物线的位置确定系数的符号 6 厦门分校例 1 （1）二次函数 y = ax + bx + c 的图像如图 1，则点 M (b, 2 一切为了孩子美好的未来 c ) 在（ a ） A第一象限 B第二象限 2 C第三象限 ） D第四象限 （2）已知二次函数 y=ax +bx+c（a0）的图象如图 2 所示， 则下列结论：a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时，函数值相等；4a+b=0； 当 y=-2 时，x 的值只能取 0.其中正确的个数是（ A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 (1) 2 (2) 【点评】弄清抛物线的位置与系数 a，b，c 之间的关系，是解决问题的关键 例 2.已知二次函数 y=ax +bx+c 的图象与 x 轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且 1x12，与 y 轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方下列结论： abO；4a+cO，其中正确结论的个数为( A 1个 答案：D 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3.已知： 关于 x 的一元二次方程 ax +bx+c=3 的一个根为 x=-2， 且二次函数 y=ax +bx+c 的对称轴是直线 x=2， 则抛物线的顶点坐标为( ) A(2，-3) 答案：C 例 4、 （2006 年烟台市）如图（单位：m） ，等腰三角形 ABC 以 2 米/秒的速度沿直线 L 向正方形移动，直到 AB 与 CD 重合设 x 秒时，三角 形与正方形重叠部分的面积为 ym （1）写出 y 与 x 的关系式； （2）当 x=2，3.5 时，y 分别是多少？ （3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时， 三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、 对称轴. 2 2 2 ) B. 2 个 C. 3 个 D4 个 B.(2，1) C(2，3) D(3，2) 例 5、已知抛物线 y= 1 2 x +x- 2 5 2 （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴 （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，求线段 AB 的长 【点评】本题（1）是对二次函数的“基本方法”的考查，第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系 例 6.已知：二次函数 y=ax -(b+1)x-3a 的图象经过点 P(4，10)，交 x 轴于 A( x1 ,0) ， B ( x 2 ,0) 两点 ( x1 且满足 3AO=OB (1)求二次函数的解析式；(2)在二次函数的图象上是否存在点 M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出 M 点的横坐标的取值范围；若不 存在，请你说明理由 (1)解：如图抛物线交 x 轴于点 A(x1，0)，B(x2，O)， 则 x1x2=30，又x1O，x1O，30A=OB，x2=-3x1 x1x2=-3x1 =-3x1 =1. x10，x1=-1x2=3 点 A(-1，O)，P(4，10)代入解析式得解得 a=2 b=3 二次函数的解析式为 y-2x -4x-6 (2)存在点 M 使MC0ACO (2)解：点 A 关于 y 轴的对称点 A(1，O)， 7 2 2 2 2 x 2 ) ，交 y 轴负半轴于 C 点， 厦门分校 直线 A，C 解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为(0，-6)，(5，24) 符合题意的 x 的范围为-1x0 或 Ox5 当点 M 的横坐标满足-1xO 或 OxACO 例 7、 “已知函数 一切为了孩子美好的未来 y= 1 2 x + bx + c 的图象经过点 A（c，2） ， 2 求证：这个二次函数图象的对称轴是 x=3。 ”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字。 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不能， 请说明理由。 （2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 点评： 对于第（1）小题，要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式，就要把原来的结论“函数图象的对称轴是 x=3”当 作已知来用，再结合条件“图象经过点 A（c，2），就可以列出两个方程了，而解析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函 ” 数解析式。对于第（2）小题，只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了。而从不同的角度考虑可 以添加出不同的条件，可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标，可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等。 解答 （1）根据 y= 1 2 x + bx + c 的图象经过点 2 A（c，2） ，图象的对称轴是 x=3，得 ?1 2 ? 2 c + bc + c = ?2, ? ? b ? 1 = 3, ? 2? 2 ? 解得 ? ?b = ?3, ?c = 2. 所以所求二次函数解析式为 （2）在解析式中令 y=0，得 y= 1 2 x ? 3 x + 2. 图象如图所示。 2 1 2 x ? 3 x + 2 = 0 ，解得 x1 = 3 + 5 , x 2 = 3 ? 5. 2 5 ,0) ”或“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 (3 ? 5 ,0). 所以可以填“抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是（3+ 令 x=3 代入解析式，得 所以抛物线 5 y=? , 2 1 2 5 x ? 3 x + 2 的顶点坐标为 (3,? ), 2 2 5 所以也可以填抛物线的顶点坐标为 (3,? ) 等等。 2 y= 函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）了解函数的具体特征；借助多种现实背景理解函数；将函数视为“变化过程中变量之 间关系”的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关知识的联系。 用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE（如图） ，其中 AF=2，BF=1试在 AB 上求一点 P，使矩形 PNDM 有最大面积 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力同时，也给 学生探索解题思路留下了思维空间 例2 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元） 与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表： x（元） y（件） 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 （1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式； 8 15 25 20 20