2013年北京东城区高三二模理科数学试题与答案.doc

雅思博教育北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科） 2013.05学校_班级_姓名_考号_本试卷分第卷和第卷两部分，第卷1至2页，第卷3至5页，共150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1、 已知集合，那么集合是（ ）A B C D 2、 如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，则图中的值等于（ ） A BCD 3、 已知圆的极坐标方程是，那么该圆的直角坐标方程是（ ）A B C D新课 标第 一 网 4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）A1 B2 C3 D4 5、 阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为（ ）A B C D 6、 已知，那么的值为（ ）A B C Dhttp:/www .xkb1 .com 7、 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，若，则的中点到轴的距离等于（ ）A B C D 8、 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（其中是的导函数），若，则，的大小关系是（ ）A B C D第卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9、 已知向量，若，则_ 10、 若复数是纯虚数，则实数的值为_ 11、 各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的值为_，的值为_ 12、 如图，为的直径，切于点，且过点的割线交的延长线于点，若，则_，_ 13、 5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有_种 14、 在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差现给出以下命题：等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；新 课 标 第 一 网若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；若数列满足，（），则该数列不是比等差数列；若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列其中所有真命题的序号是_ 三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15、 （本小题共13分）已知函数 求的最小正周期； 当时，求的取值范围 16、 （本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格男女按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取人，其中成绩为优的有人 求的值； 若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为的样本，从中任选人，记为抽取女生的人数，求的分布列及数学期望k B 1 . c o m 17、 （本小题共14分）如图，是等边三角形， ，将沿折叠到的位置，使得 求证：； 若，分别是，的中点，求二面角的余弦值 18、 （本小题共14分）已知函数（） 求的单调区间； 如果是曲线上的任意一点，若以为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值； 讨论关于的方程的实根情况 19、 （本小题共13分）新|课 |标| 第 |一| 网已知椭圆：（）的离心率，原点到过点，的直线的距离是 求椭圆的方程； 若椭圆上一动点关于直线的对称点为，求的取值范围 如果直线（）交椭圆于不同的两点，且，都在以为圆心的圆上，求的值 20、 （本小题共13分）已知数列，（）求，；是否存在正整数，使得对任意的，有；设，问是否为有理数，说明理由北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）A （4）D（5）D （6）B （7）D （8）C新-课 -标-第-一- 网二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） （10） （11） （12） （13） （14） 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分三、解答题（本大题共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）因为 = 所以的最小正周期 （） 因为， 所以 X|k | B| 1 . c |O |m 所以的取值范围是 13分（16）（共13分）解：（）设该年级共人，由题意得，所以则 （）依题意，所有取值为 ， 的分布列为： 13分（17）（共14分）（）证明：因为w W w .X k b 1.c O m 所以， 又因为，且， 所以 平面， 因为平面， 所以 （）因为是等边三角形， 不防设，则 ， 又因为，分别为，的中点， 由此以为原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系 则有，所以， 设平面的法向量为则即令，则所以 又平面的一个法向量为 所以 所以二面角的余弦值为 14分（18）（共14分）解:() ，定义域为， k B 1 . c o m则 因为，由得， 由得， 所以的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ()由题意，以为切点的切线的斜率满足 ，所以对恒成立 又当时， ，所以的最小值为 ()由题意，方程化简得+ 令，则 当时， ，当时， ，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减 所以在处取得极大值即最大值，最大值为 所以 当，即时， 的图象与轴恰有两个交点，方程有两个实根， 新 课 标 第 一 网当时， 的图象与轴恰有一个交点，方程有一个实根， 当时， 的图象与轴无交点，方程无实根 14分（19）（共13分）解: ()因为，所以 因为原点到直线：的距离，解得， 故所求椭圆的方程为 ()因为点关于直线的对称点为，所以 解得 ， 所以 因为点在椭圆:上，所以因为， 所以w W w .x K b 1.c o M所以的取值范围为 ()由题意消去 ，整理得 可知 设，的中点是，则，所以 所以 即 又因为， 所以所以 13分（20）（共13分）解：（）； （）假设存在正整数，使得对任意的，有则存在无数个正整数，使得对任意的，有 设为其中最小的正整数若为奇数，设（），则与已知矛盾 X|k | B| 1 . c |O |m若为偶数，设（），则，而从而而，与为其中最小的正