2014年高三年级七宝等十三校第二次联考数学(理科)试卷+答案.doc

2014年高三年级七宝等十三校第二次联考数学(理科)试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分1.方程的解是2.已知函数，则3.若实数满足，则的最小值为4.设（i为虚数单位），则5.已知则的值为6.除以5的余数是7.在棱长为的正方体中，点和分别是矩形和的中心，则过点、的平面截正方体的截面面积为_8.等差数列的前项和为，则9.某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为级需要的天数_10.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为.11.已知直线交极轴于点，过极点作的垂线，垂足为，现将线段绕极点旋转，则在旋转过程中线段所扫过的面积为_12.给定平面上四点满足，则面积的最大值为13.对于非空实数集，定义设非空实数集现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合必有（2）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（3）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（4）对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数，使得对任意的，恒有以上命题正确的是14.已知当时，有，根据以上信息，若对任意,都有则二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分15.集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（ ）（A）（B）（C）（D）16.函数则函数是（）（A）奇函数但不是偶函数（B）偶函数但不是奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）既不是奇函数又不是偶函数17.若,且则下列结论正确的是()（A）（B）（C）（D）18.设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（）（A）圆或椭圆（B）抛物线或双曲线（C）椭圆或双曲线（D）以上均有可能三、解答题(本大题共5小题，满分74分)19.(本题满分12分)如图,设是一个高为的四棱锥,底面是边长为的正方形,顶点在底面上的射影是正方形的中心是棱的中点试求直线与平面所成角的大小20.（本题满分14分，第一小题满分5分，第二小题满分9分）对于函数，若在定义域存在实数，满足，则称为“局部奇函数”（1）已知二次函数，试判断是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）设是定义在上的“局部奇函数”，求实数的取值范围21.（本题满分14分，第一小题满分4分，第二小题满分10分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布律和数学期望22.（本题满分16分，第一小题满分4分，第二小题满分5分，第三小题满分7分）已知抛物线(1)若圆心在抛物线上的动圆，大小随位置而变化，但总是与直线相切，求所有的圆都经过的定点坐标；(2)抛物线的焦点为,若过点的直线与抛物线相交于两点,若,求直线的斜率；(3)若过正半轴上点的直线与该抛物线交于两点,为抛物线上异于的任意一点,记连线的斜率为试求满足成等差数列的充要条件23.（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分7分，第三小题满分7分）设等差数列的公差为，且若设是从开始的前项数列的和，即，如此下去，其中数列是从第开始到第)项为止的数列的和，即(1)若数列,试找出一组满足条件的,使得：；(2)试证明对于数列，一定可通过适当的划分，使所得的数列中的各数都为平方数；(3)若等差数列中试探索该数列中是否存在无穷整数数列,使得为等比数列,如存在,就求出数列；如不存在，则说明理由2014年高三年级十三校第二次联考数学试卷答案考试时间：120分钟满分：150分一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题，每题4分1.方程的解是2.已知函数，则3.若实数满足，则的最小值为44.设（i为虚数单位），则5.已知则的值为06.除以5的余数是37.（理）在棱长为的正方体中，点和分别是矩形和的中心，则过点、的平面截正方体的截面面积为_8.等差数列的前项和为，则29.某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为级需要的天数为，等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数157772128963211219243216320545321152660482496则等级为级需要的天数_2700_。10.若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，则的取值范围为11.（理）已知直线交极轴于点，过极点作的垂线，垂足为，现将线段绕极点旋转，则在旋转过程中线段所扫过的面积为_12.给定平面上四点满足，则面积的最大值为13.（理）对于非空实数集，定义。设非空实数集。现给出以下命题：（1）对于任意给定符合题设条件的集合必有（2）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（3）对于任意给定符合题设条件的集合必有；（4）对于任意给定符合题设条件的集合必存在常数，使得对任意的，恒有以上命题正确的是（1）（4）答：（1）（4）对于（2），比如取C=D=(-1,0)。对于（3），比如取C=D=-1,0.14（理）已知当时，有，根据以上信息，若对任意,都有则二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题5分15.集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（B）（A）（B）（C）（D）16.函数则函数是（A）（A）奇函数但不是偶函数（B）偶函数但不是奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）既不是奇函数又不是偶函数17.若,且则下列结论正确的是(D)（A）（B）（C）（D）解：D考虑函数y=xsinx的单调性（画图，偶，且在右侧增）18.(理)设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为（D）（A）圆或椭圆（B）抛物线或双曲线（C）椭圆或双曲线（D）以上均有可能解：D满足的所有点A的轨迹是以BC为对称轴的圆锥的侧面，与一平面的交线为圆锥曲线，都有可能。三、解答题(本大题共5小题，满分74分)19.（理）解：（理）法1：设与平面所成角为。因为，（2分）所以所以（4分）。所以（6分）因为（8分）所以,（10分）因此（11分）则（12分）解法2：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系。则（4分）所以（6分）设是平面的一个法向量，易求得（8分）设为与平面所成的角，因为（10分）所以：（11分）（12分）20.解:(1)为“局部奇函数”等价于关于的方程有解即（3分）有解为“局部奇函数”（5分）(2)当时,可转化为（8分）因为的定义域为,所以方程在上有解,令,（9分）则因为在上递减,在上递增,（11分）（12分）即（14分）21.(理)（1）解：设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件，则，（4分）故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率（2）解：随机变量的所有取值为，,，（9分）所以，随机变量的分布列为:10203040（12分）（14分）22.解: (1)由定义可得定点(1,0);（4分）(2)设,由,得（5分）由方程组,得得（7分）联立上述方程求得:（9分）(3)（理）设直线的方程为,代入,得:,设,则（11分）若，即有，即：由此得：，（15分）所以当直线的方程为时，也就是成立的充要条件是直线与轴相垂直。（16分）23.解：（1）则;（4分）(2)记即,又