高一下三角函数图与像性质.doc

新尚教育学科教师辅导讲义讲义编号 学员日校： 风华中学 年 级：高一 课时数：2学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：学科组长签名组长备注课 题三角函数的图像与性质（2）授课时间：2012年4月7日 10：0012：00备课时间： 2012年4月5日教学目标了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(x+)的图象，理解参数A、的物理意义掌握将函数图象进行对称变换、平移变换、伸缩变换会根据图象提供的信息，求出函数解析式。重点、难点充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。考点及考试要求近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。教学内容三角函数的图象与性质（二）（第一环节：知识解析） 例1 函数y=Asin（x+)(A0，0，)的最小值为2，其图象相邻的最高点和最低点横坐标差3，又图象过点（0，1），求这个函数的解析式 分析 求函数的解析式，即求A、的值A与最大、最小值有关，易知A=2，与周期有关，由图象可知，相邻最高点与最低点横坐标差3，即=3得 T=6，所以=所以y=2sin(+），又图象过点（0，1），所以可得关于的等式，从而可将求出，易得解析式为y=2sin( ） 解略 点评 y=Asin(x+)中的A可由图象的最高点、最低点的纵坐标的确定，由周期的大小确定，的确定一般采用待定系数法，即找图像上特殊点坐标代入方程求解，也可由的几何意义（图象的左右平移的情况）等确定（请看下例） xy33O 例2 右图为某三角函数图像的一段 （1）试用y=Asin（x+)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线x=2对称的函数解析式 解：（1）T= =4 = = 又A=3，由图象可知 所给曲线是由y=3sin 沿x轴向右平移 而得到的 解析式为 y=3sin (x) (2)设（x，y)为y=3sin( x ）关于直线x=2对称的图像上的任意一点，则该点关于直线x=2的对称点应为（4x，y)，故与y=3sin( x）关于直线x=2对称的函数解析式是y=3sin（4x) =3sin( x） 点评 y=sin(x+)(0)的图象由y=sinx的图象向左平移（0）或向右平移（0）个单位特别要注意不能搞错平移的方向和平移的单位数量求一个函数的图象关于一条直线对称图象的函数解析式时，要注意解几知识的运用 例3 已知函数y=cos2x+ sinxcosx+1 (xR) （1）当y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解 (1)y= + .sin2x +1= sin(2x+)+ 当2x+ =2k+ ，即x=k+，kZ时，ymax= (2）由y=sinx图象左移个单位，再将图象上各点横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），其次将图象上各点纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），最后把图象向上平移个单位即可 思考 还有其他变换途径吗？若有，请叙述 点评 （1）回答图像的变换时，不能省略“纵坐标不变”、“横坐标不变”等术语（2）周期变换后的左右平移要注意平移单位的变化 【知能集成】 已知三角函数y=Asin(x+）的图象，欲求其解析式，必须搞清A、和图象的哪些因素有关；y=sinx和y=sin(x+)两图象间平移变换的方向和平移的单位数量极易搞错，解题时要倍加小心 （第二环节：课堂练习）1函数y= sin(2x+)的图象关于y轴对称的充要条件是 （ ）A=2k+ B=k+ C=2k+ D=k+(kZ)2先将函数y=sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称变换，则所得函数图象对应的解析式为 （ ）Ay=sin(2x+ ) By=sin(2x)yx111Cy=sin(2x+ ) D y=sin(2x)3右图是周期为2的三角函数y=f(x)的图象，那么f(x)可以写成 （ ）Asin(1+x) B sin(1x) Csin(x1) D sin(1x)4y=tan(x)在一个周期内的图象是 （ ）OxxxxyyyyDCABOOO5已知函数y=2cosx(0x2)的图象与直线y=2围成一个封闭的平面图形，则该封闭图形面积是 6将y=sin(3x )的图象向（左、右） 平移 个单位可得y=sin(3x+）的图像7已知函数y=Asin(x+)，在同一个周期内，当x=时取得最大值，当x=时取得最小值 ，若A0，0，求该函数的解析表达式 8已知函数y=sinx+cosx，xR （1）当y取得最大值时，求自变量x的取值集合； （2）该函数的图象可由y=sinx(xR)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 61014102030时间/hy温度/ 9如图：某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(x+)+b（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式 三角函数的最值（知识解析） 掌握基本三角函数y=sinx和y=cosx的最值，及取得最值的条件；掌握给定区间上三角函数的最值的求法；能运用三角恒等变形，将较复杂的三角函数的最值问题转化成一个角的一个三角函数的最值问题 例1 求函数f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos2x的最大值，并求出此时x的值 分析 由于f（x）的表达式较复杂，需进行化简 解 y=sin2x+cos2x+sin2x+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+)+2 当2x+=2k+， 即x=k+ (kZ)时，ymax= +2 点评 要熟练掌握y=asinx+bcosx类型的三角函数最值的求法，asinx+bcosx= sin（x+） 例2 若, ，求函数y=cos(+）+sin2的最小值 分析 在函数表达式中，含有两个角和两个三角函数名称，若能化成含有一个角和一个三角函数名称的式子，则问题可得到简化 解 y=cos(+)cos2(+)=cos(+)2cos2(+)1 =2cos2(+)+cos(+)+1 =2cos2(+)cos(+)+1 =2cos(+)2+ , ， ， cos(+)， y最小值 = 点评 （1）三角函数表达式转化成一个角的一个三角函数的形式（即f(sinx)或g(cosx)，是常见的转化目标；（2）形如y=f(sinx)或y=g(cosx)的最值，常运用sinx，cosx的有界性，通过换元转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题；（3）对于y= Asin(x+)或y=Acos(x+)的最值的求法，应先求出t=x+的值域，然后再由y=Asint和y=Acost的单调性求出最值 例3 试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值 分析 由于sinx+cosx与sinxcosx可以相互表示，所以令sinx+cosx=t，则原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某区间上的最值问题 解 令t=sinx+cosx，则y=t+t2+1=(t+)2+，且t， ymin= ，ymax=3+ 点评 注意sinx+cosx与sinxcosx的关系，运用换元法将原三角函数的最值问题转化成y=at2+bt+c在某个区间上的最值问题 【知能集成】 较复杂的三角函数的最值问题，往往通过需要恒等变形，转化成形如y=f(sinx)或y=g(cosx)型或y= Asin(x+)+k型的三角函数的最值问题，运用三角函数的有界性、单调性求三角函数的最值用换元法解题，特别要注意sinx+tcosx与sinxcosx的关系，令sinx+cosx=t，则sinxcosx= （课堂练习）1函数y= 的最大值是 （ ）A 1 B 1 C 1 D 1 2若2+=，则y=cos6sin的最大值和最小值分别为 （ ）A7，5 B 7， C 5， D 7，53当0x时，函数f(x)= 的 （ ）A最大值为2，最小值为 B最大值为2，最小值为0 C最大值为2，最小值不存在 D最大值不存在，最小值为0 4已知关于x的方程cos2xsinx+a=0，若0x时方程有解，则a的取值范围是（ ）A1，1 B（1，1） C1，0 D（，）5要使sincos= 有意义，则m的取值范围是 6若f(x)=2sinx(01），在区间0，上的最大值为，则= 三、解答题7y=sinxcosx+sinx+cosx，求x0， 时函数y的最大值 8已知函数f(x)=sin2xasinx+b+1的最大值为0，最小值为4，若实数a0，求a，b的值 9已知函数f(x)=2cos2x+sin2x+a，若x0，且f(x)2，求a的取值范围（第三环节：课后作业）1将y=cosx的图象作关于x轴的对称变换，再将所得的图象向下平移1个单位，所得图象对应的函数是 （ ） Ay=cosx+1 By=cosx1 Cy=cosx+1 Dy=cosx12函数f(x)=sin3x图象的对称中心的坐标一定是 （ ）A (k，0)， kZ B（k，0）， kZC（k，0）， kZ D（k，0），kZ3函数y=cos(2x+)的图象的一个对称轴方程为 （ ）Ax= Bx= Cx= Dx=4为了得到函数y=4sin(3x+)，xR的图象，只需把函数y=3sin(x+)的图象上所有点（ ）A横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变 5要得到y=sin(2x )的图象，只需将y=sin2x的图象 （ ）A向左平移个单位 B 向右平移个单位C向左平移个单位 D 向右平移个单位6已知（1）cos2x=1.5 ；(2)sinxcosx=25 ；(3)tanx+ =2 ；(4)sin3x= 上述四个等式成立的是 （ ）A（1）（2） B（2）（4