LTI系统的频域分析.ppt

延边大学工学院电子信息通信学科许一男 第5章LTI系统的频域分析 5 1线性时不变系统的频域特性 5 1 1对复指数和正弦信号的响应 频率响应函数 频率响应 描述线性时不变系统的频域特性 频率变量的函数来描述 的函数是系统冲激响应的傅里叶变换 线性时不变系统对任意输入信号x n 的响应 输入 输出关系的卷积公式 单位采样响应 激励系统的复指数信号表示 频域特性 A是幅度 是限制在频率区间上的任意频率 代入之后可以得到输出响应 频率变量的函数 复指数信号的响应可以写成 其中 系统的特征值 相位的求解 复值函数的点斜式 相位 在频率处加到输入信号上的相移 频率变量 是的幅度 是的傅里叶变换 是周期为的周期函数 冲激响应和傅里叶变换的积分关系 相位的求解 其中实部和虚部定义为 的幅度 的相位 收敛范围 因为是的偶函数 因为是的奇函数 所以 是的偶函数 是的奇函数 如果知道了和在上的值 就可得到这两个函数在上的值 正弦函数的复共轭指数函数输入信号 输出响应输入信号的叠加性 叠加信号的输出响应 如果输入信号是 输出响应 正弦输入信号的输出响应 输入信号 输出响应 5 1 2正弦输入信号的稳态和暂稳态响应 线性时不变系统对作用于的指数和正弦输入信号的响应时 输出响应是稳态响应 而没有暂态响应 为什么 例 输入是复指数信号的一阶差分方程 当n趋向无穷大时含有的前亮相趋向于零前两项为暂态响应 后一项为稳态响应在实际应用中 系统的暂稳态响应是不重要的 因此 暂稳态响应被忽略 5 1 3周期输入信号的稳态响应 基本周期为N的周期信号x n 输入到稳定的线性时不变系统时 系统在任意时刻n的响应是稳态响应线性系统系统可能会改变周期输入信号的形状 如 收缩 放大 相位移动 但 不能改变输入信号的周期 5 1 4非周期输入信号的响应 根据卷积定理来具体计算如表示输入序列 表示输出序列 表示系统的单位采样响应分别是 对应的傅立叶变换输出信号的频谱等于输入信号的频谱乘以系统的频率响应 如果表示为点斜式输出信号的幅度 输出信号的相位 输出信号的能量密度谱 等式两边取平方 输出信号的能量 进行区间积分 输出信号的能量密度谱 输人信号的能量密度谱 5 2LTI系统的频率响应 系统的频率响应和系统函数的关系 若H z 是有理函数形式 且H z B z A z H 是H 1 z 在单位圆上的值 当 h n 是实数 或等价的系数 ak 和 bk 是实数时因此 设是实值的系统参数 H 2可表示为 cosk 可以表示成cos 的多项式函数 例5 2 1计算系统的 H 2 5 2 2频率响应函数的计算 在计算幅度响应和相位响应时 H 可以表示成极点和零点的形式或等介于 将上式中的各复值因子写成点斜式其中 可以写成的相位等于分子中所有因子的相位之和 再减去分母中所有因子的相位 幅度和相位的几何解释 极点和零点位于z平面上的A和B处 计算L点的傅里叶变换 a 然而因此 矢量AL在实数半轴上的角度 矢量BL在实数半轴上的角度 b 幅度响应可以表示成分贝形式 幅度响应 的相位 5 3LTI系统输出的相关函数和频谱 输入信号x n 和输出信号y n 的互能量密度普 输出信号y n 的能量密度普 输出信号的总能量 5 4作为频率选择滤波器的线性时不变系统 滤波器 用来描述一个设备 根据作用于输入端的对象的某些属性进行分辨过滤 以让某部分通过它频率选择滤波器 在某些频段的频率分量的信号可以通过 而包含在其他频段的频率分量中的信号将被衰减线性时不变系统和滤波器是同义的 5 4 1理想滤波特性 根据频域特性 滤波器分为低通 高通 带通 带阻 全通滤波器 理想滤波器的特性 常数增益 通常是单位增益 的带通特性 而在带阻部分的增益为零 线性相位特性理想滤波器在物理上是不可实现 例 不是因果 也不是绝对可和 不稳定 z平面极点 零点位置和数字滤波器设计 z平面极点 零点位置和数字滤波器设计 放置极 零点的基本原则 在单位圆上对应于需要加强频率的点附近放置极点 在需要拉低的频率点处附近放置零点 约束 1 所有的极点必须放置在单位圆内 零点可以放在任何位置2 所有复值的极 零点必须以共轭的形式出现 线 5 4 2低通 高通和带通滤波器 高通滤波器的零 极点模型 低通滤波器的零 极点模型 单极点低通滤波器 系统函数 幅度响应 相位响应 单极点低通滤波器 通过将低通滤波器的零极点位置在z平面关于虚轴进行反转 折叠 就可以得到简单的高通滤波器 幅度响应 相位响应 5 4 3数字谐振器 幅度响应 相位响应 可利用两极点带通滤波器的两个极点以复共轭对的形式来表示 如 语音信号 5 4 4槽口滤波器 包含n个深槽口的滤波器 在特定点的频率响应为零 如 单位圆的角处引入复共轭的零点方式来产生应用范围 语音信号处理领域 共振 槽口滤波器的频率响应特性 幅度响应 相位响应 在零点附近引入极点的方式来调整槽口宽带 极点产生实际的共振多次调整的方式来产生共振 优点 结构简单缺点 调试难 5 4 5梳状滤波器 FIR滤波器的系统函数 用zL来代替z 就可以构造梳状滤波器梳状滤波器的频率响应 重复性 HL 的频率特性仅仅是在区间 0 2 内的L阶重得例 L 5 例 M 3 L 3的FIR梳状滤波器的结构图 5 4 6全通滤波器 定义 对所有频率具有常数幅度响应的系统 应用范围 延迟系统特征 原始信号不改变 只延迟k单位 全通滤波器系统函数的一般形式 全通滤波器的极点和零点互为倒数系统的相位响应达不要求时此滤波器来补偿 5 4 7数字正弦振荡器 又称为数字正弦信号发生器数字频率合成器的基本单元现有一个二阶系统的系统函数 其中 采用频率为 且 因此 且 数字正弦信号发生器 系统函数的描述 差分方程 5 5逆系统和去卷积 5 5 1线性时不变系统的可逆性 逆系统 纠错系统条件 输入和输出信号为一一对应 在z域原系统和逆系统的关系 如 是FIR 全极点 系统 则是全极点 FIR 系统 因果稳定系统的全部极点必须位于单位圆内 但零点可以位于任意位置最小相位系统 滤波器 全部零点位于单位圆内 Hmin z 最大相位系统 滤波器 全部零点位于单位圆外 Hmax z 5 5 2最小相位 最大相位及混合相位系统 最小相位系统的性质 1 任何一个因果稳定的系统均可以用一个最小相位滤波器和一个全通滤波器