09 概率与统计-备战2018高考高三数学（理）全国各地优质模拟试卷分项 附解析

专题 概率与统计一、选择题1 【2018 衡水金卷大联考】2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币，如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径22mm，面额 100 元.为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A. B. C. D. 7265 2 363102 3635 2 363202【答案】B2 【2018 吉林百校联盟九月联考】太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图形图案，它形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆 被 的图象O3sin6yx分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为 1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D. 1368129【答案】B【解析】设大圆的半径为 R，则： ，126T则大圆面积为： ，小圆面积为： ，2136S221S则满足题意的概率值为： .18p本题选择 B 选项.点睛：数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发生的区域，据此求解几何概型即可.3 【2018 辽宁大连八中模拟】若从区间 为自然对数的底数， ）0,(e2.718.e内随机选取两个数，则这两个数之积小于 的概率为 （ ）A. B. C. D. 2e12e1e【答案】A4 【2018 海南省八校联考】某高校调查了 400 名大学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范 围是 ，样本数据分组17.5,30， ， ， ， .则这 400 名大学生中17.5,20,2.5.,25,.2每周的自习时间不少于 20 小时的人数是( )A. 380 B. 360 C. 340 D. 320【答案】A【解析】解：由频率分布直方图得这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 20 小时的频率为：（0.08+0.04+0.16+0.1）2.5=0.95，这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 25 小时的人数为：4000.95=380.点睛：由频率分布直方图求出这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 20 小时的频率，由此能求出这 400 名大学生中每周的自习时间不少于 20 小时的人数5 【2018 广东珠海市九月模拟】在线段 AB 上任取一点 P ，点 P 恰好满足 | AP | 23| AB | 的概率是A. B. C. D. 234913【答案】D6 【2018 湖北武汉高三调研】将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为 和 ，ab则方程 有实数解的概率是（ ）210axbA. B. C. D. 736936518【答案】C【解析】若方程 有实根，则必有 ，若 ，则20axb240ba1；若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则2,3456b3,4563,564若 ，则 ；若 ，则 ， 事件“方程 有a,20xb实根 ”包含基本事件共， 事件的概率为 ，故选 C.54321919367 【2018 陕西西工大附中七模】已知平面区域 ，现向该,|0,1xyy区域内任意掷点，则该点落在曲线 下方的概率是（ ）2sinyA. B. C. D. 1224【答案】A【解析】概率是 ,选 A.200 1sin21cos2| sin 102xdxd点睛：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域 （3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率 8 【2018 陕西西工大附中七模】在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布，若 在 内的概率为 0.8，则任意选取一名学生，该生成绩不210,()80,12高于 80 的概率为（ ）A. 0.05 B. 0.1 C. 0.15 D. 0.2【答案】B【解析】 ,选 B.1(8012)8020.PXPX9 【2018 陕西西工大附中八模】已知高峰期间某地铁始发站的发车频率为 5 分钟 1 班，由于是始发站，每次停靠 1 分钟后发车，则小明在高峰期间到该站后 1 分钟之内能上车的概率为（ ）A. B. C. D. 13452【答案】D二、解答题10 【2018 衡水金卷高三联考】如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在 市的普及情况， 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了 200 人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖的情况与性别有关？（）现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，再从这 5 人中随机选出3 人赠送外卖优惠卷，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为 ，求 的数学期望和方差. 参考公式： ，其中 .2= ()2(+)(+)(+)(+) =+参考数据：【答案】 （1）见解析；（2） ，见解析.710试题解析：（1）由列联表可知 的观测值， 2= ()2(+)(+)(+)(+).=200(50405060)2110901001002.0202.072所以不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关.（2）依题意，可知所抽取的 5 名女网民中，经常使用网络外卖的有 （人） ，560100=3偶尔或不用网络外卖的有 （人）.540100=2则选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率为 .=231235+3335=710由 列联表，可知抽到经常使用网 络外卖的网民的频率为 ，22110200=1120将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为 .1120由题意得 ，(10,1120)所以 ；()=101120=112.()=101120920=994011 【2018 广西三校联考】某校 50 名学生参加 2015 年全国数学联赛初赛，成绩全部介于90 分到 140 分之间将成绩结果按如下方式分成五组：第一组 ，第二组90,1，第五组 按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示10,130,4（1）若成绩大于或等于 100 分且小于 120 分认为是良好的，求该校参赛学生在这次数学联赛中成绩良好的人数；（2）若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记 为取得第一组成绩的个数，求 的分布xx列与数学期望【答案】 （1） 人；（ 2）分布列见解析， 767试题解析：（1）由频率分布直方图知，成绩在 内的人数为：10,250 （人） 所以该班成绩良好的人数为 27 人 0.165.3827（2）解：由题意 0,1x02347.Cpx13427,Cpx2347.Cpx的分布列为x0 1 2p274717的期望为x.41602E12 【2018 河南中原名校质检二】近年来空气质量逐步恶化，雾霾天气现象增多，大气污染危害加重，大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解心肺疾病是否与性别有关，在市第一人民医院随机对入院 50 人进行了问卷调查，得到如下的列联表：患心肺疾病 不患心肺疾病 合计男 20 5 25女 10 15 25合计 30 20 50(20) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828（1）是否有 99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；（2）已知在患心肺疾病的 10 位女性中，有 3 位又患有胃病，现在从患心肺疾病的 10 位女性中，选出 3 位进行其他方面的排查，其中患胃病的人数为 ，求 的分布列、数学期望.参考公式： ，其中2= ()2(+)(+)(+)(+) =+【答案】 （1）有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的；（2） ;()=910 ，又 ，28.333(27.879)=0.005=0.5%我们有 99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的（2）现在从患心肺疾病的 10 位女性中选出 3 位，其中患胃病的人数 ，=0,1,2,3 ， ，(=0)=37310=724(=1)=2713310=2140， .(=2)=1723310=740(=3)=33310=1120所以 的分布列为所以 的数学期望()=0724+12140+2740+31120=91013 【2018 吉林百校联盟九月联考】已知某产品的历史收益率的频率分布直方图如图所示.（1）试估计该产品收益率的中位数；（2）若该产品的售价 （元）与销量 （万份）之间有较强线性相关关系，从历史销售记xy录中抽样得到如表 5 组 与 的对应数据：售价 （元）x25 30 38 45 52销量 （万份）y7.5 7.1 6.0 5.6 4.8根据表中数据算出 关于 的线性回归方程为 ，求 的值；yx10.ybx（3）若从表中五组销量数据中随机抽取两组，记其中销量超过 6 万份的组数为 ，求X的分布列及期望.X【答案】(1)0.28；(2)0.1；(3)答案见解析.试题解析：（1）依题意，设中位数为 ， ，解得 .x0.3250.5x028x（2） ， 53084198x，7.6.6.5y .120138b（3） 的可能取值为 0,1,2，故 ， ， X0PX02351C123560CPX，20351CP故 的分布列为X0 1 2P316010故 .624105EX14 【2018 湖南两市九月联考】某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的个人单打资格选拔赛，本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.若一个运动员出线记 分，1未出线记 分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为 ，他们出线与未出线是相互独立023,45的.（1）求在这次选拔赛中，这三名运动员至少有一名出线的概率；（2）记在这次选拔赛中，甲、乙、丙三名运动员所得分之和为随 机变量 ，求随机变量的分布列和数学期望 .E【答案】 （1） ；（2）见解析.930试题解析：（1）记“甲出线”为事件 ， “乙出线”为事件 ， “丙出线”为事件 ， “甲、乙、丙至ABC少有一名出线”为事件 .D则 .1293450PBC（2） 的所有可能取值为 .0,；0A；13160PBCPABC； 922.310A所以 的分布列为 23139312026060E点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率” ，即利用排列组合，枚举法，概率公式（常见的有古典概型公式、几何概率公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积，以及对立事件的概率公式等） ，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确； 第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布 ，,Bnp则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式( )求得.因此，应熟EXnp记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.15 【2018 辽宁省辽南协作校一模】某校举行“庆元旦”教工羽毛球单循环比赛（任意两个 参赛队伍只比赛一场） ，有高一、高二、 高三共三个队参赛，高一胜高二的概率为 ，高一胜高三的概率为 ，高二胜高三的概率为 ，每场胜负相互独立，1223p胜者记 1 分，负者记 0 分，规定：积分相同时，高年级获胜.（1）若高三获得冠军的概率为 ，求 ；1p（2）记高三的得分为 ，求 的分布列和期望.X【答案】(1) ;(2)见解析.23p三个队各胜一场的概率为 .1213pp所以 ，所以 .123p323（2）高三的得分 的所有可能取值为 0,1,2，X， ， ，203px213px123px所以 的分布列为：X故 的期望为 .X43pE16.【2018 广东省海珠区一模 】某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量 与尺寸 之间近似满足关系式 （ 为大于 的常数） ，现ygxmbyax,0随机抽取 件合格产品，测得数据如下：6尺寸 38458678质量 g16.20.72.425.对数据作了初步处理，相关统计量的值如下表： 61lniiixy61lniix61lniiy621lniix75.324. 8.30.4（1）根据所给数据，求 关于 的回归方程；yx（2）按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品，现从抽取,97e的 件合格产品中再任选 件，记 为取到优等品的件数，试求随机变量 的分布列和期63望.附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的12,.,nvvv最小二乘估计分别为 .12, nii vv【答案】 （1） ；（2）1yex3试题解析：（1）对 ，两边取自然对数得 ，令(,0)byaxlnlybxa，得 ， ln,liiivxulnv， 1 224.618375.3, 0.7154.10.inivb，得 ，故 所求回归方程为 .8.324.6laubvae12yex（2）由 ，解得 ，即优等品有 件.12,97yexe981,5,678x3所以 的可能取值是 . ， 0,12303123669,20CCPP.2 3036 691, 2CP其分布列为：013P12920920120所以， .130E17 【2018 湖南永州市一模】2016 年某市政府出台了“2020 年创建全国文明城市（简称创文） ”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；采用百分制评分， 内认定为满意，80 分及以上认定为非常满意；市民对公交站点布局60,8的满意率不低于 60%即可进行验收；用样本的频率代替概率.（1）求被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）若从该市的全体市民中随机抽取 3 人，试估计恰有 2 人非常满意该项目的概率；（3）已知在评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 ，现从评分低于 60 分的被调查者13中按年龄分层抽取 9 人以便了解不满意的原因，并从中选取 2 人担任群众督察员，记 为群众督查员中老年人的人数，求随机变量 的分布列及其数学期望 .E【答案】 （1） ；（2） ；（3） .0.78152试题解析：（1）根据题意：60 分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，评分在 的频率为：60,；.28.310.4.78（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是，10.16.40.25用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取 1 人，该人非常满意该项目的概率为 ，现从中抽取 3 人恰有 2 人非常满意该项目的概率为：；23145PC（3）评分低于 60 分的被调查者中，老年人占 ，13又从被调查者中按年龄分层抽取 9 人， 这 9 人中，老年人有 3 人，非老年人 6 人，随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，023695CP136298036291CP的分布列为：0 1 2p153621的数学期望 .E102318 【2018 广东省珠海六校联考】某石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料.进入全面勘探时期后，集团按网络点来布置井位进行全面勘探，由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见如表：（参考公式和计算结果：， ， ， ）12niixybaybx4219i421945ixy（1）16 号旧井位置线性分布，借助前 5 组数据求得回归直线方程为 ，求6.xa的值，并估计 的预报值.ay（2）现准备勘探新井 ，若通过 1，3，5，7 号并计算出的 ， 的值（ ， 精71,2bb确到 0.01）相比于（1）中的 ， ，值之差不超过 10%，则使用位置最接近的已有旧井ba，否则在新位置打开，请判断可否使用旧井？6,y（3）设出油量与勘探深度的比值 不低于 20 的勘探井称为优质井，那么在原有 6 口井中k任意勘探 4 口井，求勘探优质井数 的分布列与数学期望.X【答案】 （1） ， 的预报值为 24；（2）使用位置最接近的已有旧井 ；7.5ay 1,24（3） ，分布列见解析.8EX解：（1）因为 ， .5x0y回归直线必过样本中心点 ，则 .,x506.175aybx故回归直线方程为 ，当 时， ，即 的预报值为6.17.5y24y24.（2）因为 ， ， ， ，4x6.25y4219ix421945ixy所以 ，2142iibx 26.5.834，即 ， ， ， .6.5831. 9ay.b1.9a6.5b17a， ，均不超过 10%，因此使用位置最接近的已有旧井 .%ba ,24（3）由题意，1，3，5，6 这 4 口井是优质井，2，4 这两口井是非优质井，所以勘察优质井数 的可能取值为 2，3，4，X， ，2465CP124685CP.40261XX 2 3 4P 581515281343E19 【2018 广东省珠海九月模拟】某印刷厂的打印机每 5 年需淘汰一批旧打印机并购买新机，买新机时，同时购买墨盒，每台新机随机购买第一盒墨 150 元，优惠 0 元；再每多买一盒墨都要在原优惠基础上多优惠一元，即第一盒墨没有优惠，第二盒墨优惠一元，第三盒墨优惠 2 元，依此类推，每台新机最多可随新机购买 25 盒墨平时购买墨盒按零售每盒 200 元公司根据以往的记录，十台打印机正常工作五年消耗墨盒数如下表：消耗墨盒数 22 23 24 25打印机台数 1 4 4 1以这十台打印机消耗墨盒数的频率代替一台打印机消耗墨盒数发生的概率，记 表示两台打印机 5 年消耗的墨盒数(1)求 的分布列；(2)若在购买两台新机时，每台机随机购买 23 盒墨，求这两台打印机正常使用五年在消耗墨盒上所需费用的期望【答案】(1) 的分布列为 44 45 46 47 48 49 50P 10256175062510(2) 这两台打印机正常使用五年所需购买墨盒的费用的期望为 6614 元.若在购买两台新机时，每台机随机购买 23 盒墨，则需付款，则 231504601694614Ey试题解析：(1) =4785， ， ， ， ， ，由题设可知，一台打印机在 5 年内消耗墨盒数为 22，23，24，25 的概率分别为 ， 10， ， ， 2510且每台机消耗墨盒数发生的事件是相互独立事件故, 41P124505P, 26605217750, 892115P故 的分布列为 44 45 46 47 48 49 50P 10256175062510(2)记 表示在题设条件下，购买 2 台新机使用五年在消耗墨盒上所需的费用（单位：元）y若在购买两台新机时，每台机随机购买 23 盒墨，则需付款231504601694则 11763920639420555Ey26406394答：这两台打印机正常使用五年所需购买墨盒的费用的期望为 6614 元20 【2018 吉林省长春市一模】长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉，在我市推出的第二季名师云课中，数学学科共计推出 36 节 云课，为了更好地将课程内容呈现给学生，现对某一时段云课的点击量进行统计：点击量 0,1000 (1000,3000(3000,+)节数 6 18 12（）现从 36 节云课中采用分层抽样的方式选出 6 节，求选出的点击量超过 3000 的节数（）为了更好地搭建云课平台，现将云课进行剪辑，若点击量在区间 内，则需0,1000要花费 40 分钟进行剪辑，若点击量在区间 内，则需要花费 20 分钟进行剪辑，(1000,3000点击量超过 3000，则不需要剪辑，现从（）中选出的 6 节课中随机取出 2 节课进行剪辑，求剪辑时间 的分布列