椭球面----双曲面---抛物面.doc

椭球面 双曲面 抛物面7.9 二次曲面三元二次方程所表示的曲面称着二次曲面。相应地，将平面叫做一次曲面。一般的三元方程所表示的曲面形状，已难以用描点法得到，那未怎样了解它的形状呢?利用坐标面或用平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线( 即截痕 )的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌，这种方法叫做截痕法。下面，我们用截痕法来讨论几个特殊的二次曲面。一、椭球面由方程(1)所表示的曲面叫做椭球面。1、由(1)可知：这表明：椭球面(1)完全包含在以原点为中心的长方体内，这长方体的六个面的方程为其中常数 叫做椭球面的半轴。2、为了进一步了解这一曲面的形状， 先求出它与三个坐标面的交线这些交线都是椭圆。3、用平行于坐标面的平面去截椭球面，其截痕(即交线)为这是位于平面 内的椭圆，它的两个半轴分别等于 与，其椭圆中心均在轴上，当由渐增大到时， 椭圆的截面由大到小，最后缩成一点。4、以平面 或 去截椭球面分别可得与上述类似的结果。综上讨论知：椭球面(1)的形状如图所示。5、特别地，若，而，则 (1) 变为这一曲面是坐标面上的椭圆 绕轴旋转而成的旋转曲面，因此，称此曲面为旋转椭球面。它与一般椭球面不同之处在于如用平面与旋转椭球面相截时，所得的截痕是圆心在轴上的圆其半径为。6、若 ，那未(1)变成这是球心在原点，半径为的球面。二、抛物面由方程(2)所表示的曲面叫做椭圆抛物面。设， 用截痕法来考察它的形状1、用坐标面与该曲面相截，其截痕为2、用平行于坐标面的平面与该曲面相截，所得截痕为这是中心在轴， 半轴分别为与 的椭圆。另外，平面与该曲面不相交，因此，原点是该曲面的顶点。3、用坐标面与该曲面相截， 其截痕为这是一条抛物线，它的轴与轴相重合，顶点为。用平行于坐标面的平面与该曲面相截，其截痕为这是一条抛物线，它的轴平行于轴， 顶点为。4、类似地， 用坐标面以及平行于面的平面去截该曲面时， 其截痕也是抛物线。综上所述，方程(2)所表示的曲面形状如下特别地，如果，那么方程(2)变为这一曲面可看成是面上的抛物线 绕轴旋转而成的旋转曲面，这曲面叫做旋转抛物面。由方程所表示的曲面叫做双曲抛物面或马鞍面。当 时，它的形状如下图所示点称之为鞍点。三、双曲面由方程(3)所表示的曲面叫做单叶双曲面。下面用截痕法来考察它的形状1、用坐标面与该曲面相截，其截痕为这是一个中心在原点，且半轴分别为与的椭圆。2、用平行于面的平面去截曲面，其截痕为它是中心在轴上，两个半轴分别为与的椭圆。3、用坐标面与该曲面相截， 其截痕为它是中心在原点，实轴为轴，虚轴为轴的双曲线。4、用平行于面的平面去截曲面，其截痕为它是中心在轴，两个半轴的平方为与的双曲线。如果，那么双曲线的实轴平行于轴，虚轴平行于轴。如果，那么双曲线的实轴平行于轴，虚轴平行于轴。如果，那么平面去截曲面所得截痕为一对相交于点的直线，它们是如果，那么平面去截曲面所得截痕为一对相交于点的直线，它们是5、类似地，用坐标面和平行于面的平面去截曲面， 所得的截痕也是双曲线，而用平面去截曲面