初三数学几何综合题3.pdf

2 0 0 6 年第4 期 1 5 练习题 1 在R t A B C 中 已知么C 9 0 n b c 分别 是么A 么曰 么C 的对边 t a nA t a nB 是一元二次方 程z 2 一版 1 2 k 2 3 7 k 2 6 i 0 的两个实数根 1 求七的值 2 当c 1 0 且n 6 时 求 A B C 的周长 2 如图6 已知 直径为l O 的o M 与 菇轴交于A B 两点 圆心肘的坐标为 3 0 o 肘与Y 轴的负 半轴交于点C 抛物 线y 蠢x 2 k c 经过点C 且与z 轴 交于D E 丽点 点A J 小一 例 缸l B x U C 图6 在此抛物线的对称轴上 1 求此抛物线的解析式 2 在算轴的正半轴上是否存在点P 使以点 P 0 G 为顶点的三角形与 x A O C 相似 如果存 在 求出点P 的坐标 如果不存在 请说明理由 3 N 断过D C 两点的直线与 M 的位置关 系 并说明理由 3 如图7 在R t XA B C 中 么A C B 9 0 0 A B 1 0 B C 8 点 D 在B C 上运动 不运 动到点曰 c D E C A 交 A B 于点E 设B D 并 A D E 的面积为y 1 求 关于茹的函数 关系式及自变量石的取值范 围 CDB 图7 2 何时 A D E 的面积最大 最大面积是多 少 4 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每 份0 7 0 元 销售价是每份1 元 卖不掉的报纸还可 以以0 2 0 元的价格退回报社 在一个月内 以3 0 天 计算 有2 0 天每天可以卖出1 0 0 份 其余1 0 天每天 只能卖出6 0 份 但每天报亭从报社订购的份数必须 相同 若以报亭每天从报社订购的报纸份数为自变 量x 每月所获得的利润为函数Y 1 写出 与戈之间的函数关系式 并指出自变 量菇的取值范围 2 报亭应该每天从报社订购多少份报纸 才能 使每月获得的利润最大 最大利润是多少 参考答案或提示 1 1 由么C 9 0 t a l lA t a nB 1 有1 2 k 2 3 7 k 2 6 1 解得七I 告 后2 1 但当 1 时 1 0 舍去 故J 的值为瓮 2 A B C 的周长为2 4 2 1 联结M C 解析式为y 丽9 戈2 号戈一4 2 存在点P 当 C O Pc n A O C 时 筹 宕 所以 D P 酉C 0 2 8 则P 8 O 当 P O C c I XA o c 时 宕 器 l 所以 O P A O 2 则P 2 0 综合 P 的坐标为 8 0 或 2 0 3 过D C 两点的直线与o M 相切 证略 3 1 y 一詈石2 3 x 0 石 8 2 当戈 4 时 即当D 为B C 中点时 A D E 有 最大面积 其值为6 r 9 x z 6 0 且x 为正整数 4 1 y x 4 8 0 6 0 x 1 0 0 且z 为正整数 2 当z 1 0 0 时 有最大值 最大值为5 8 0 二 几何综合题 吕学林 灭津市第 I 学 3 0 0 0 5 1 几何综合题大多是圆与平行线 三角形 四边 形 锐角三角函数等知识的综合 近年来 以一题多 问和开放性为特点的几何综合题 经常出现在各省 市中考试卷上 同学们在总复习阶段 适量地研究一 些具有典型性的几何综合题的解法 将有助于所学 知识的融会贯通 有助于几何图形的识别 有助于重 要定理的理解 更有助于对不同类型的问题在辅助 线的添加 知识的综合运用以及分析问题 解决问题 能力的提高 例1 如图1 已知B C 为半圆0 的直径 加上 B C 于点D 过点B 作弦 B F 交A D 于点E 交半圆 0 于点F 弦A C 与B F 交于点日 且衄 B E 求证 一 1 A B A F BDoC 图1 2 M I B C 2 A 曰 B E 2 0 0 4 四川省中考题 证明 1 因为B C 是半圆0 的直径 所以 A B 上 A C 则么1 么3 9 0 万方数据万方数据 1 6中学教与学 由A D 上B C 有么C 么3 9 0 0 则么1 么C 又A E B E 有么l 2 则么C 2 故A B A F 2 由 1 易知R t H A B R t B A C 所以 岩 器 即A H 曰c 朋 脚 又么1 么3 9 0 2 么4 9 0 得么3 4 所以 A E E H 又A E B E 则B H 2 B E 故a I t B C 2 A B B E 点评 1 要证弧相等 就证弧所对的圆周角相 等 这是常用的解题方法 2 第二问证明方法不唯一 可联结A F 通过 A F H B C H 获证 例2 如图2 P A 为圆的切线 A 为切 点 P B C 为割线 么A P C 的平分线分别 交A B A C 于点D E 求证 1 A D A E 2 A B A E A C D B 图2 2 0 0 4 广东省广州市中考题 证明 1 如图2 由P E 平分么P 知么1 么2 又删为圆的切线 则L 3 么C 因为L 4 么1 么3 么5 L 2 么C 所以 4 5 故A D A E 2 因为么5 么4 么B D P 么1 2 所以 P D B c 9 蹦 有面D B 篱 又L 3 么C 么P 么P 所以 A 朋 C P A 有丽A B 等 故丽A B 筹 即A B A E A C 加 点评 1 此题图形蕴含内容很多 如A D A E P A B P C A P A D P C E P A E0 9 P B D P A 2 P B P C 等等 如能了解这些特点 解 题易如反掌 2 第二问还可通过过点D 作D F A C 交B C 于点 证 A P D 丝 F P D 的方法获证 例3如图3 A B C 内接于 0 A B A C 0 0 与B C 相切于 点曰 与A B 相交于 点E 与0 0 相交 于点D 直线A D 交 图3 0 于点 交C B 的延长线于点G 求证 1 E F C G 2 A B E B D E A G 证明 1 联结B D 由已知有么A B C 么C 因为么C 么B D F 么B D F 么B E F 所以 么A B C 么B E F 椒E F C G 2 由 1 的结论知么G 么A F E 因为么A F E 么D B E 所以 G 么D B E 由C G 与0 0 相切 知么E D B 么A B C 么c 则 肋E G C A 有丽E B 筹 故A B E B D E 们 点评 1 若证肼 C G 须证么A B C 么B E F 或么G 么A F E 灵活运用和圆有关角的定理是关 键 2 第二问的思路是 欲证A B E B D E A G 即 让 丽A B 訾 则须证 脚 D 髓 当条件不足无 法证出时 应考虑到 等线段代换 将A B 换成A C 例4 如图4 已知 四边形A B C D 为正方 形 以点D 为圆心 A D 为半径的圆弧与以B C 为直径的0 0 相交于 点P C 联结A C A P C P 延长C P A P 且分 别交A B B C 0 0 于点 E 日 F 联结O F DC 糜 AEB 图4 1 求证 A E P C E A 2 判断线段A B 与O F 的位置关系 并证明你 的结论 3 求B H H C 的值 2 0 0 1 四川省中考题 证明 1 如图4 在 A E P 和 C E A 中 因为 A B 与0 D 相切 知么P A E 么A C E 又么A E P 么C E A 所以 A E P C E A 2 A B O F 由题意知A B 上B C 又由 1 的结论知么A P E 么C A E 4 5 因为么C P F 么A P E 4 5 所以 么C O F 2 L C P F 9 0 即O F 上B C 淑A B O F 解 3 由 2 的结论知B H O H A B O F 11 因为o 曰c A B 所以 B H O H 2 1 二二 又O C O B O H B H 所以 B H H C 2 4 1 2 最评 1 第二向具有开放性 2 解证一题多问的习题 应注意利用上一问的 结论 万方数据万方数据 2 0 0 6 年第4 期 1 7 例5 1 如图5 O A O B 是o O 的两条半径 且倒上O B 点C 是O B 的延长线上任意一点 过点 c 作C D 切0 0 于点D 联结A D 交O C 于点E 求 证 C D C E 图5 2 将图5 中的半径 移动交0 A 于点F 交0 0 图6 那么 1 的结论是 3 当图5 中的半 径O B 所在直线O C 向 上平行移动到0 0 外的 C F 点层是D A 的延长 线与C F 的交点 其他条 件不变 如图7 那么 1 的结论是否仍然成 立 为什么 图7 2 0 0 4 云南省昆明市中考题 证明 1 如图5 联结O D 由题意 知0 1 上 C D 则么1 么2 9 0 0 又O A 上O B 有么A 么3 9 0 由O A O D 有么1 么A 则L 2 3 因为么3 L 4 所以 么2 L 4 故C D C E 2 C E C D 仍然成立 如图6 由题意知C F 上A O 于点F 联结0 1 7 则 有么1 A 2 9 0 由C F 上A O 有么A 么3 9 0 又O A O D 有么A 么1 则L 2 3 易知L 2 L 4 故C D C E 3 C D C E 仍然成立 如图7 延长0 1 4 交C F 于点G 联结O D 证明 略 点评 1 见切线 连半径 是解证几何题常见 的添加辅助线的方法 2 证明的思路是 要证C D C E 须证么C E D 么C D E 由于已知这两个角分别与 O A D 么O D A 互余 所以得证 例6如图8 已知 o0 与00 内切于点 P 过点P 作直线硎分 别交o0 I o0 2 于点A B C 为0 0 上一点 过 点曰作o0 的切线叩 图8 交直线A C 于点p 1 求证 A C A O A P 船 2 若将两圆内切改为外切 其他条件不变 1 中的结论是否仍然成立 请你画出图形 并证明你 的结论 2 0 0 4 湖北省武汉市中考题 证明 1 如图8 过点P 作两圆外公切线M N 联结P C 则么3 么C 由M N 叩与0 0 2 相切 知L 3 么1 则么1 么C 由么1 L 2 知么2 么C 又么A 么A 所以 a s q A C P 故丽A B 磐 即A C a q A P A B 2 结论成立 如图9 联结P C 呈 过点P 作两圆的内公 切线M N 则么1 么2 由删 即是o0 2 的切线 有么3 L 4 因为么2 A 3 所 以 1 L 4 图9 又么A 么A 所 以 XA 曰9 A C P 故筹 磐卿A c a q A P A B 点评 1 两圆相切 作公切线是解证几何题常 见的添加辅助线的方法 2 第二问两圆由内切变外切 要会画出相应的 图形 有助于解题 例7如图1 0 已知么A C G 9 0 A C 2 B 为 C G 边上的一个动点 联结佃 将 A C B 沿边A B 所 在的直线翻折得到 A D B 过点D 作D F 上C G 于点 F 1 当B C T 2 4 J 时 判断直线F D 与以A B 为直 径的0 0 的位置关系 并加以证明 图l O图1 1 2 如图1 1 点曰在C G 上向点C 运动 直线F D 与以A B 为直径的0 0 交于点D H 联结A l l 当 C A B 么B A D 么D A t I 时 求B C 的长 垩一衫 万方数据万方数据 1 8 中学教与学 2 0 0 4 北京市中考题 证明 1 直线F D 与以A B 为直径的圆相切 如图1 0 联结O D 因为I XA D B 是将 A C B 沿边A B 所在的直线翻 折得到的 所以 XA D B 竺 A C B 则么A D B 么A C B 9 0 0 0 D O B i 1A B 故点D 在0 0 上 在R t A C B 中 因为B C 笔 A C 2 所以 t a n d C 船 筹 了 5 篇么 么脚 3 0 0 则么A B C 么A B D 6 0 所以 B O D 是等边三角形 由么A B C 么B O D 知F C D O 又D F 上C O 知么O D F 么B F D 9 伊 即 0 1 j F D 故F D 为O0 的切线 解 2 如图1 1 延长A D 交C G 于点E 同 1 可 证点C 在0 0 上 所以 四边形A D B C 是圆内接四 边形 则有A 4 么l h 2 同理 么5 么2 么3 因为么1 么2 么3 所以 L 4 L 5 又D F j C G 则L 4 么5 4 5 又么A C G 9 0 所以 E C A C 2 设B C 石 则B D B C x 因为么E D B 9 0 0 所以 E B 2 茹 由E B B C E C 有 2 x 戈 2 解得髫 2 2 2 故B c 2 2 2 点评 1 证明圆的切线的方法常用连半径证垂 直 作垂直证半径 2 第二问解法是利用线段和求解的 还可利用 割线定理求解 找准已知线段与所求线段的关系是 解题的关键 例8如图 1 2 已知P 是 o0 的直径A B 的延长线上的一 4 点 割线P C D 交 0 0 于点C D 弦D F 上加于点 H C F 交A B 于 点E 石泳 o y el B l 图J 2 1 求证 尸A P B P O P E 2 若D E 上C F 么P 1 5 0 O O 的半径为2 求 弦C F 的长 2 0 0 2 北京市东城区中考题 证明 1 如图1 2 联结O D 由题意知D F 上朋 则A D A F 廊 有么1 么2 所以 么3 L 4 二 故 P D O XP E C 有两P D 器 即 P D P C P O P E 因为尉 P B P D P C 所以 P A P B P O P E 解 2 由 1 知A B 垂直平分D F 则E D E F 有么5 6 又D E 上C F 有么5 d 6 4 5 0 因为么7 么6 4 5 0 么P 1 5 0 所以 么2 6 0 么1 在R t xD H O 中 么1 6 0 O D 2 则 O H 1 D H 5 由 xD H E 为等腰直角三角形 则D E 佰 又么1 L 2 有R t xD H O R t XD E C 故器 器测龛 丽1 有E C 压j 所以 C F E C E F E C D E 2 6 点评 1 用中间积作过渡也是求证等积式常用 的方法 2 当线段不好求解时 可分段解决 在几何计 算题中 使用三角函数求解可使计算简捷 例9如图1 3 已知船是0 0 的直 径 C 是B A 的延长 线上一点 C P 切0 0 于点P 弦P D 上A B 于点E 过点曰作加 上C P 于点9 交0 0 于点H G 是A B 上一 图1 3 点 且曰G 告加 联结A G 交肋于点F 联结胛 若P D 6 5 赢 d B F E 3 朽 求 1 么C 的度数 2 p H 的长 2 0 0 4 四川省中考题 解 1 联结O P 由题意知C P 上O P 又P D j 船 他是0 0 的直径 且肋 6 3 则 P E 丁1 肋 3 压 因为B G 了1 佃 所以 B G 6 0 么B A G 3 0 在R t A E F 中 因为协n 么E 4 F t a n3 0 筹 迎3 所以 墟 压E F 又t a n B F E 篾 3 佰 所以 嬲 3 朽E F 万方数据万方数据 2 0 0 6 年第4 期 1 9 而P E 2 A E B E 贝1 1 3 朽 2 朽E F 3 朽E F 解得E F 3 盯 一 3 舍 故A E 3 B E 9 A B 1 2 O E 3 则0 P i 1A 8 6 因为C P 上O P P E 上A 曰 所以 么C 么0 船 在m O P E 中 因为s i nL o P E 器 专 所以 么嗍 3 0 0 故么C 3 i f 2 在R t C O P 中 由 1 知么C 3 0 0 O P 6 则C O 1 2 C P 6 3 C B 1 2 6 1 8 在R t C B O 中 因为么C 3 0 C B 1 8 所以 即 9 c O 9 3 印 9 4 3 6 4 3 3 3 故即2 凹 即 3 3 2 Q H X9 Q H 3 点评 1 当求角遇到困难时 将未知角转移到 直角三角形中 运用三角函数求解 2 综合计算题是勾股定理 三角函数 切割线 定理 射影定理 一元二次方程 线段和差笺知识的 综合运用 练习题 1 如图1 4 P 是正 A B C 的外接圆船上的一 点 以交船于点E 求证 1 P A P B P C 2 南 而1 丽1 固 图1 4图1 5 2 如图1 5 已知 A B C 内接于 0 么A 的平分 线A F 与过点B 的切线交于点 与0 0 交于点E 与B C 交于点D E l i 上B F 于点日 求证 1 B C 2 B H 2 A D E F C D B F 3 如图1 6 船 为半圆0 的直径 P 为射线删上的一个 动点 P T 为o O 的 切线 丁为切点 作 图1 6 么A P T 的平分线P E 交曰丁于点E 问 在点P 逐渐 靠近点A 的过程中 1 刀长如何变化 为什么 2 么B P E 大小如何变化 为什么 3 么P E B 大小如何变化 为什么 4 如图1 7 已知0 0 与0 0 2 相交于点A B 且 点0 在O0 上 1 A D 是O0 的直径 联结D B 并延长交o0 于点c 求证 C 0 2 上A D 囝C I l1