1-1函数与映射.ppt

2020年3月22日星期日 1 高等数学 同济大学第五版 制作 蚌埠学院张裕生张迎秋 第一章函数与极限 2020年3月22日星期日 2 微积分是一门以变量为研究对象 以极限方法作为研究工具的数学学科 应用极限方法研究各类变化率问题和几何学中曲线的切线问题 就产生了微分学 应用极限方法研究诸如曲边梯形的面积等涉及到微小量无穷积累的问题 就产生了积分学 英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹同时发现了微积分 微积分研究的主要对象就是函数 2020年3月22日星期日 3 第一节映射与函数 二 常量与变量 一 集合 三 函数 第一章 2020年3月22日星期日 4 一 集合 1 集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合 组成这个集合的事物称为该集合的元素 一个集合 若它只含有有限个元素 则称为有限集 不是有限集的集合称为无限集 一般用A B C D表示集合 用a b c d表示集合中的元素 2020年3月22日星期日 5 集合的表示方法 1 列举法 把集合的全体元素一一列举出来 2 描述法 若集合M是由具有某种性质P的元素x的全体所组成 则M可表示为M x x具有性质P 例如A x y x y为实数 x2 y2 1 2020年3月22日星期日 6 元素为实数的集合称为数集 常见的数集 N Z Q R N N 全体自然数集 Z 全体整数的集 Q 全体有理数的集 R 全体实数的集 N 全体正自然数集 以后不特别说明的情况下考虑的集合均为数集 2020年3月22日星期日 7 元素与集合的关系 集合与集合的关系 A B是两个集合 如果集合A的元素都是集合B的元素 则称A是B的子集 记作 注 如果集合A与集合B互为子集 则称A与B相等 记作 若有且则称A是B的真子集 一个特殊集合 空集 2020年3月22日星期日 8 2 集合的运算 全集记为I或E 并集 交集 差集 的补集 余集 2020年3月22日星期日 9 集合的并 交 余运算满足下列法则 1 交换律 2 结合律 3 分配律 4 对偶律 笛卡儿积 直积 2020年3月22日星期日 10 3 区间和邻域 1 区间 介于某两个实数之间的全体实数构成区间 这两个实数叫做区间的端点 2020年3月22日星期日 11 左闭右开区间 左开右闭区间 无穷区间 2020年3月22日星期日 12 2 邻域 记作 左邻域 右邻域 2020年3月22日星期日 13 二 常量与变量 在自然科学中 我们会遇到各种不同的量 然而在观察这些量时 发现有着非常不同的状态 有的量在过程中不起变化 保持一定的数值 此量称为常量 又有些量有变化 可取各种不同的数值 这种量称为变量 2020年3月22日星期日 14 三 函数 1 函数的概念 定义 设和为两个变量 为一个给定的数集 如果对每一个 按照一定的法则变量总有确定的数值与之对应 就称为的函数 记为 数集称为该函数的定义域 叫做自变量 叫做因变量 函数的表示法有三种 解析法 图象法 列表法 2020年3月22日星期日 15 注 1 函数的定义域未必是连续的区间 如 2 函数相等定义域与对应法则都相同 如 与不同 如果自变量在定义域内任取一个数值时 对应的函数值总是只有一个 这种函数叫做单值函数 否则叫做多值函数 3 单值函数与多值函数 2020年3月22日星期日 16 4 分段函数 在定义域的不同范围内用不同式子表示的函数 不论分几段 总是一个函数 如 称为 分段点 定义域为 1 15 2020年3月22日星期日 17 符号函数 取整函数 3 1 3 3 1 4 狄利克雷函数 Dirichlet 2020年3月22日星期日 18 有界 无界 1 有界性 2 函数的几种特性 无界 对 总 使得 在 1 有界 在 0 1 无界 2020年3月22日星期日 19 2 单调性 2020年3月22日星期日 20 2020年3月22日星期日 21 3 奇偶性 偶函数 2020年3月22日星期日 22 奇函数 2020年3月22日星期日 23 4 周期性 注 通常说周期函数的周期是指其最小正周期 思考 是否存在无周期的周期函数 2020年3月22日星期日 24 直接函数与反函数的图形关于直线对称 3 反函数 设的定义域为 值域为 因此 对 都有唯一的 使得 若将y当作自变量 x当作因变量 按函数的概念 就得到一新函数 称之为函数的反函数 而叫做直接函数 2020年3月22日星期日 25 设有函数链 称为由 确定的复合函数 u称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 不可少 例如 函数 有复合函数 复合函数 2020年3月22日星期日 26 两个以上函数也可构成复合函数 例如 可定义复合函数 2020年3月22日星期日 27 2020年3月22日星期日 28 注 不是任何函数都可以复合成一个函数 或 2020年3月22日星期日 29 4 函数的运算 和 差 积 商 注 只有具备公共定义域的函数才能运算 2020年3月22日星期日 30 5 初等函数 1 基本初等函数 幂函数 思考幂函数的性质 2020年3月22日星期日 31 指数函数 思考指数函数的性质 2020年3月22日星期日 32 对数函数 2020年3月22日星期日 33 三角函数 正弦函数 余弦函数 2020年3月22日星期日 34 正切函数 余切函数 2020年3月22日星期日 35 正割函数 余割函数 2020年3月22日星期日 36 反三角函数 2020年3月22日星期日 37 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数统称为基本初等函数 2020年3月22日星期日 38 2 初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合后所得到的能用一个解析式子表示的函数 称为初等函数 本教材讨论的主要都是初等函数 2020年3月22日星期日 39 非初等函数举例 符号函数 当x 0 当x 0 当x 0 取整函数 当 2020年3月22日星期日 40 例1 解 2020年3月22日星期日 41 2020年3月22日星期日 42 五 小结 基本概念集合 区间 邻域 函数 函数的特性有界性 单调性 奇偶性 周期性 复合函数 反函数 基本初等函数 初等函数 2020年3月22日星期日 43 思考与判断题 是否存在既奇又偶的函数 是否周期函数的周期有无穷多个 任何周期函数 必有最小正周期 作业 P21 习题1 1 6 3 4 7 1 18 2020年3月22日星期日 44 思考 是否存在无周期的周期函数 狄里克雷函数为周期函数 任何正有理数都是周期 但