安徽省合肥一中2020届高三数学9月阶段性检测考试试题理.docx

安徽省合肥一中2020届高三数学9月阶段性检测考试试题 理（含解析）一、选择题1.函数的定义域为的定义域为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别求出函数和的定义域，得到集合和集合，然后根据集合的交集运算，得到答案。【详解】因为函数，所以，解得，故的定义域；集合，所以，解得，故的定义域；所以，故选A项.【点睛】本题考查求具体函数的定义域，集合的交集运算，属于简单题.2.复数满足，其中为虚数单位，则的实部与虚部之和为（ ）A. 1B. 0C. D. 【答案】B【解析】【分析】对进行化简计算，得到复数，然后计算出其实部与虚部之和，得到答案.【详解】因为所以所以的实部与虚部之和为，故选B项.【点睛】本题考查复数的运算，实部与虚部的概念，属于简单题.3.若，则等于（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求出与，然后利用两角差的余弦公式求出值。【详解】，则，则，所以，因此，故选：C。【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点：利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负；利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解。4.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据特殊位置的所对应的的值，排除错误选项，得到答案.【详解】因为所以当时，故排除A、D选项，而，所以即是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B项，故选C项.【点睛】本题考查根据函数的解析式判断函数图象，属于简单题.5.已知函数，将函数向右平移个单位后得到一个奇函数的图象，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】对进行化简，然后根据平移规则得到平移后的解析式，再根据奇函数的特点，求出的值.【详解】由，向右平移个单位后得到因为为奇函数，所以，所以，得，即因为，所以的最小值为，故选B项.【点睛】本题考查三角函数辅助角公式，函数的平移，奇函数和正弦型函数的性质，属于简单题.6. （ ）A. B. C. D. 2【答案】C【解析】【分析】根据定积分的计算公式进行计算，得到答案.【详解】，是半径为的圆的面积的四分之一，为，所以，故选C项.【点睛】本题考查定积分的计算，属于简单题.7.中，内角所对的边分别为，则“”是“为等腰三角形”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由进行推导，无法推出为等腰三角形，说明不充分，取三角形满足，说明不必要，得到答案.【详解】因为，所以，则所以，所以或，即，或，故无法由推出为等腰三角形，即为不充分条件；取等腰三边为时，此时无法推出，即为不必要条件，所以“”是“为等腰三角形”的既不充分也不必要条件，故选D项.【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，充分条件和必要条件，属于简单题.8.已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 4【答案】B【解析】【分析】先对进行整理，然后证明其关于对称，由，可得所求的，得到答案.【详解】因所以所以关于成中心对称，而，故.所以选B项.【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简，函数中心对称的证明和性质，属于中档题.9.中，所对的边分别为，若，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由三角形三边关系，得到，由，可得，再由余弦定理得到的范围，从而得到答案.【详解】由三角形三边关系，得到；因为由正弦定理得即由余弦定理得，因为，所以，且所以所以，当且仅当时，等号成立故所以选B项.【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，基本不等式，属于中档题.10.古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段分为两线段，使得其中较长的一段是全长与另一段的比例中项，即满足，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段的黄金分割点，在中，若点为线段的两个黄金分割点，设（ ，则（ ）A. B. 2C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得到从而得到，即得到相应的，再代入到计算得到结果.【详解】因为点为线段的两个黄金分割点，所以所以所以，所以故选C项.【点睛】本题考查平面向量定理的应用，属于中档题.11.关于数列，给出下列命题：数列满足，则数列为公比为2的等比数列；“的等比中项为”是“”的充分不必要条件；数列是公比为的等比数列，则其前项和；等比数列的前项和为，则成等比数列，其中，真命题的序号是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分别对四个命题进行判断，从而得到其是否为真命题，得到答案.【详解】命题，当时，满足，但数列不是等比数列，故错误；命题由“的等比中项为”可得“”，当时，不能得到的等比中项为，故正确；命题当等比数列的公比为1时，其前项的和为，故错误；命题，当时，不满足成等比数列，故错误.故选C项.【点睛】本题考查等比数列的求和和性质，判断命题的正确，属于简单题.12.已知函数，曲线上总存在两点使曲线在两点处的切线互相平行，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据在两点处的切线互相平行，得到，从而得到，再设，利用导数求出其最大值，从而得到答案.【详解】函数，可得曲线在两点处的切线互相平行，所以即，（，故等号取不到） 即恒成立，设，当时，单调递增；当时，单调递减；所以时，取最大值，所以，即，故选D项.【点睛】本题考查导数几何意义，利用导数研究函数的最值，解决恒成立问题，属于难题.二、填空题13.设等差数列的前项和为，若，则_.【答案】54【解析】【分析】根据等差数列中下标公式的性质，得到的值，再根据求和公式，求出.【详解】等差数列中，所以，即，所以【点睛】本题考查等差数列的下标公式和等差数列的求和，属于简单题.14.已知的夹角为_.【答案】【解析】【分析】对平方，然后代入已知条件，得到答案.【详解】所以【点睛】本题考查求向量的模长，属于简单题.15.已知函数的定义域为R，且满足，当时，则= _.【答案】【解析】【分析】根据，得到周期为4，再由当时，得到答案.【详解】因为函数满足，所以的周期为，所以而，所以所以.【点睛】本题考查数列周期的性质，求函数的值，属于中档题.16.中，内角所对的边分别为，若是与的等比中项，且是与的等差中项，则_ ,_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】根据是与的等比中项，得到，即，根据是与的等差中项，得到，即，代入到中进行化简，再利用,得到，从而得到的值，再利用之前的两个式子，将用代换，得到关于的方程，解出.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，因为是与的等差中项，所以即，所以，即所以，,所以，所以；所以得即，解得.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，三角函数公式的运用，属于中档题. 三、解答题17.已知函数部分图象如图所示，函数.（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调增区间和对称中心.【答案】（1）；（2）,【解析】【分析】（1）根据函数图象可得和周期，由周期求出，再由，得到，再得到的解析式；（2）根据的解析式，利用正弦函数的单调性与对称性求出其单调增区间和对称中心.【详解】（1）根据图像可知，所以周期，即，得，代入得，得因为，所以所以；（2）令解得所以单调增区间是令，可得所以对称中心为【点睛】本题考查正弦型函数图像的性质，辅助角公式，求三角函数的单调区间和对称中心，属于简单题.18.已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和为.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用，验证时，得到的通项；（2）得到的通项，然后利用错位相减法，得到其前项的和.【详解】（1）当时，当时，符合上式，所以（2）所以所以所以【点睛】本题考查通过求通项，错位相减法求数列的和，属于中档题.19.已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）求函数在上的最小值.【答案】（1）的极大值为的极小值为；（2）.【解析】【分析】（1）对求导，判断的正负，得到的单调性，然后得到的极值；（2）对进行分类，研究其导函数的正负，从而得到的单调性，求出其最值.【详解】（1），所以，令，得所以在和上，单调递增，上，单调递减，所以的极大值为，极小值为；（2），当时，所以上单调递增，所以，当时，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，i)当时，在上单调递减，所以ii)当时，在上单调递减，在上单调递增，所以综上所述：【点睛】本题考查利用导数求函数的极值和最值，分类讨论研究函数的单调性和最值，属于中档题.20.如图所示，合肥一中积极开展美丽校园建设，现拟在边长为0.6千米的正方形地块上划出一片三角形地块建设小型生态园，点分别在边上.（1）当点分别时边中点和靠近的三等分点时，求的余弦值；（2）实地勘察后发现，由于地形等原因，的周长必须为1.2千米，请研究是否为定值，若是，求此定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分别表示出和，根据公式得到的值，然后得到的值，从而得到的值；（2）设，表示出，表示出，再利用公式表示出，整理化简后得到定值，所以为定值，所以得到为定值.【详解】（1）由题意可知，所以，由题意可知，所以，所以.（2）设，所以在直角三角形中，所以，整理得，所以将代入上式可得，所以，所以为定值.【点睛】本题考查几何图形里正切的表示，两角和的正切公式，属于中档题.21.已知函数.（1）设是函数在处的切线，证明：；（2）证明：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据题意利用导数的几何意义，求出，再构造函数，再利用导数求出其最大值，得到，从而证明出；（2）由（1）可知，取，将所得到的不等式相加，再进行放缩，得到其值小于，从而得以证明 .【详解】（1）由可得，代入切点横坐标，得切线斜率所以切线设则所以时，单调递增，时，单调递减，所以故即.（2）由（1）可知对任意的恒成立，取，有取，有取，有则而所以，即，证毕.【点睛】本题考查利用导数求函数图像在一点的切线方程，利用导数求函数的最大值，放缩法证明不等式，属于难题.22.已知函数.（1）若，求实数的取值范围；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由得到单调增，不等式转化为，可得,解出的范围；（