2012年考研数学三真题及参考答案

免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 2012 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析数学三试题解析 一 选择题 1 8 小题 每小题 4 分 共 32 分 下列每小题给出的四个选项中 只有一项符合题目要求的 请将所选项前的 字母填在答题纸指定位置上 1 曲线 2 2 1 xx y x 渐近线的条数为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 解析 C 由lim1 1 x yy 得为水平渐近线 由 1 lim1 x yx 得为垂直渐近线 由 1 1 lim 1 2 x yx 得非垂直渐近线 选 C 2 设函数 2 1 2 xxnx f xeeen 其中 n 为正整数 则 0 f A 1 1 1 n n B 1 1 n n C 1 1 n n D 1 n n 解析 解析 A 22 2 1 2 2 1 2 1 2 0 1 1 1 1 1 xxnxxxnx xxnx n fxe eeeeen eene fnn 选 A 3 设函数 f t连续 则二次积分 2 2 2 02cos df r rdr A 2 2 24 2222 02 x x x dxxy f xy dy B 2 2 24 22 02 x x x dxf xy dy C 2 2 2222 0 2 1 4 2 x dxxy f xydy xx 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 D 2 2 22 0 2 1 4 2 x dxf xydy xx 解析 解析 B 原式 2 2 24 22 02 x x x dxf xydy 4 已知级数 1 1 1 sin n i n n 绝对收敛 2 1 1 n i n 条件收敛 则 范围为 A 0 1 2 B 1 2 1 C 1 3 2 D 3 2 2 解析 解析 D 1 2 11 sin n n n 且 1 1 1 sin n n n n 绝对收敛 13 1 22 即 又 2 1 1 n n n 条件收敛 02112 3 2 2 选 D 5 设 1234 1234 0011 0 1 1 1 cccc 其中 1234 cccc 为任意常数 则下列向量组线性相关 的是 A 123 B 124 C 134 D 234 解析 解析 C 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 34 34 0 0 cc 34 与 1 成比例 1 与 3 4 线性相关 134 线性相关 选 C 或 134 134 011 0110 ccc 134 线性相关 选 C 6 设 A 为 3 阶矩阵 P 为 3 阶可逆矩阵 且 P 1AP 1 1 2 123 P 1223 Q 则 1 Q AQ A 1 2 1 B 1 1 2 C 2 1 2 D 2 2 1 解析 解析 B 1 11 100100100 110110110 000001001 QPQ AQP AP 1001100 1101110 0012001 100100100 110110010 002001002 选 B 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 7 设随机变量 X 与 Y 相互独立 且都服从区间 0 1 上的均匀分布 则 22 1 A 1 4 B 1 2 C 8 D 4 解析 解析 D 1 0 1 0 xy x y f xyfx fy 其他 22 1 4 D D S P XYf x y dD S 选 8 设 1234 XXXX 为来自总体N 2 1 0 的简单随机样本 则统计量 12 34 2 XX XX 的分布 A N 0 1 B 1 t C 2 1 D 1 1 F 解析 解析 B 2 12 12 0 2 0 1 2 XX XXNN 2 34 34 2 2 0 2 0 1 2 XX XXNN 2 3412 2 1 1 22 XXXX t 即 12 34 1 2 XX t XX 选 B 二 填空题 9 14 小题 每小题 4 分 共 24 分 请将答案写在答题纸指定位置上 9 1 cossin 4 lim tan xx x x 解析 解析 2 e 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 解 原式 tan1 1 cossin tan1 4 lim 1 tan1 x xx x x x 4 1 sincos lim cos cossin 2 x xx xx ee 10 设函数 0 ln 1 21 1 x dyx x f xyf f x dx xx 求 解析 解析 4 0 1 0 x dy ff xfx dx dy ff dx 而1 2xfx 时 0 1 0 2 4 x dy ff dx 于是 11 函数 zf x y 满足 220 1 22 lim0 1 x y f x yxy xy 则 0 1 dz 解析 解析 0 2 x dzdxdy 解 令 22 1 xy 则 220 0 1 1f x yxyf 12 1 0 f x yxy 0 1 0 1 2 0 1 1 2 xy ffdzdxdy 12 由曲线 4 y x 和直线yx 及4yx 在第一象限中所围图形的面积为 解析 解析 4 ln2 解 12 01 4 4 Sxx dxx dx x 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 13 24ln24ln2 22 13 设 A 为 3 阶矩阵 A 3 A 为 A 的伴随矩阵 若交换 A 的第一行与第二行得到矩阵 B 则 BA 解析 27 解 3 BA 2 3 27 BABAA 14 设 A B C 是随机事件 A C 互不相容 11 23 P ABP C 则CP 解析 解析 3 4 解 1 P ABCP ABP ABC P AB C P CP C AC ABC 1 3 2 2 1 4 3 P AB P AB C P C 三 解答题 15 23 小题 共 94 分 请将解答写在答题纸指定位置上 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 15 本题满分 10 分 计算 2 2 2cos 4 0 lim xx x ee x 解析 解析 原式 2 2 2cos 2 2cos 4 0 1 lim xx x x e e x 2 43 00 22cos2 sin limlim 4 xx xxxx xx 2 0 11 cos1 lim 2312 x x x 16 本题满分 10 分 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 计算二重积分 x D e xydxdy 其中 D 为由曲线 1 yxy x 与所围区域 解析 解析 x D e xydxdy 1 1 0 x x x xe dxydy 11 22 00 1 111 1 0222 xxx xe dxex e dx 2 1 11121 22 022222 x eee xxe 17 本题满分 10 分 某企业为生产甲 乙两种型号的产品 投入的固定成本为 10000 万元 设该企业生产甲 乙两 种产品的产量分别为 x 件 和 y 件 且固定两种产品的边际成本分别为 20 2 x 万元 件 与 6 y 万元 件 1 求生产甲乙两种产品的总成本函数 C x y 万元 2 当总产量为 50 件时 甲乙两种的产量各为多少时可以使总成本最小 求最小的成本 3 求总产量为 50 件时且总成本最小时甲产品的边际成本 并解释其经济意义 解析 解析 1 设成本函数为 C x y则 20 2 x x Cx y 对 x 积分得 2 20 4 x C x yxy 再对 y 求导有 6 y Cx yyy 再对 y 积分有 2 1 6 2 yyyc 所以 2 2 1 206 42 x C x yxyyc 0 0 10000 10000 Cc 于是 2 2 1 20610000 42 x C x yxyy 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 2 若50 xy 则50 250 yxx 代入到成本函数得 2 2 1 206 50 50 10000 42 x C xxxx 2 3 3611550 4 xx 所以 令 3 360 24 26 2 C xxxy 得总成本最小为 24 26 11118C 3 总产量为 50 件且总成本最小时甲产品的边际成本为 24 26 32 x C 即在要求总产量为 50 件时 在甲 产品为 24 件时 改变一个单位的产量 成本会发生 32 万元的改变 18 本题满分 10 分 证明 2 1 lncos1 11 12 xx xxx x 证明 证明 令 2 1 lncos1 0 0 12 xx xxx x 2 12 lnsin 11 xx xxx xx 2 2 11 lnsin 11 xx xx xx 01x 时 1 ln0 1 x x 2 2 1 1 x xx x 又sin xx 0 x 10 x 时 1 ln0 1 x x 2 2 1 1 x xx x 又sin xx 0 x 0 x 为 x 在 1 1 内最小点 而 0 0 当 1 x 1 时 0 x 即 2 1 lncos1 12 xx xx x 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 19 本题满分 10 分 已知函数 f x满足方程 2 0fxfxf x 及 2 x fxf xe 1 求表达式 f x 2 求曲线的拐点 22 0 x yf xft dt 解析 解析 1 2 12 202 1 2 12 2 0 xx fxfxf xf xC eC e 代入 12 20 1 x fxf xeCC 得 x f xe 2 22 0 x xt yeedt 22 0 21 x xt yxeedt 22222 22 000 2422 12 2 xxx xtxtt yeedtx eedtxxedtx 令00 yx 得 当0 x 时 0y 当0 x 时 0y 故 0 0 为曲线 22 0 x yf xft dt 的拐点 20 本题满分 10 分 设 1001 0101 0010 0010 a a Ab a a I 求 A II 已知线性方程组Axb 有无穷多解 求a 并求Axb 的通解 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 解析 解析 I 534 A1 1 1a aa II 当1a 及1a 时 Ax b 有无穷多个解 当1a 时 1 1 10012 01011 00110 00000 通解为 12 11 10 10 xk 当1a 时 1100110010 0110101011 0011000110 1001000000 通解为 10 11 10 10 xk 21 本题满分 10 分 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 已知 101 011 10 01 A a a 二次型 123 f x x xxx 的秩为 2 1 求实数 a 的值 2 求正交变换 x Qy 将 f 化为标准型 解析 解析 1 ATA 1010 010 111 a a 101 011 10 01 a a 2 2 201 011 113 a aa aaa TT A A xx秩为 2 TT A A 2 A A A 2 rrr 也可以利用 T A A01a T22 A A 3 1 aa II 令 T 202 A A B 022 224 由E 解0 2 6 当 时 由 0 0EA x 即 Ax 0 得 1 1 1 1 当2 时 由 2 0EA x 1 1 0 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 当6 时 由 6E A x 0 1 1 2 取 1 r 23 111 111 1 1 1 326 102 rr 令 22 2 3 111 326 111 326 12 0 36 26 Q fxx xQyyy 22 本题满分 10 分 已知随机变量 X Y 以及 XY 的分布律如下表所示 X012 P 1 2 1 3 1 6 Y012 P 1 3 1 3 1 3 XY0124 P 7 12 1 3 0 1 12 求 1 P X 2Y 2 cov XY XY Y 与 免费领取考研专业课真题免费领取考研专业课真题微信关注公众号 高校教材教辅微信关注公众号 高校教材教辅QQ 群 群 459063364 解析 解析 1 1 4 2 2 12 P XYP XY 2 2 1 1 2 0P XYP XYP XY 2 1 0 1 2 0 P XYP XY 1 1 1 1 3 P XYP XY X Y 联合分布律为 Y X 012 i p 0 1 2 1 4 0 1 4 0 1 3 0 1 12 0 1 12 1 2 1 3 1 6 j p 1 3 1 3 1 3 1 2 0 0 2 1 P XYP XYP XY 11 0 44 2 cov cov XY YX YDY EXYEXEYDY