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1.交错代数的定义定义1.1(6) 设是域, 称为上的向量空间, 如果满足下列条件: 在中定义一个加法, 对任意, , ; 有一个标量与向量的乘法, 即任意, 任意, 有; 向量的加法和标量与向量的乘法满足下列运算律: ; ; 中存在一个零向量, 记作, 对任意, 有; 任意, 存在, 使得, 则称为的负元; ; ; ; ;这里, , 是中的任意向量, , , 是域中的任意元素.定义1.2(4) 设是上的向量空间, “”是上的一个二元运算, 称“”是双线性的, 如果对任意, 任意, , , 有 ，; .定义1.3(4) 设是一个向量空间, “”是上的一个双线性运算, 且对任意, , 有: ; ;则称是一个交错代数. 下面所提到的交错代数, 如无说明, 都是域上的交错代数. 定义1.4(6) 设是域上的向量空间, 是的一个子集. 如果对于中的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的, 则称是的一个子空间.定义1.5 设是一个交错代数, 是的一个子集, 若是的一个子空间, 且在运算“”下封闭, 则称是的一个子代数. 定义1.6 设是一个交错代数, 是的一个子代数, 若对任意, 任意, 有 , 则称是的一个理想.定理1.7 设是一个交错代数, 是的子集族, 若是的子代数, 则也是的子代数; 若是的理想, 则也是的理想; 若, 都是的理想, 则也是的理想. 证明: 对于任意,任意, , 则对于任意, 有, , 由于为子空间, 则有, , 所以, , 从而是上的向量空间; 任意, , 则对于任意, 有, , 又为子代数, 则有, 所以， 因此是上的子代数. 由可知, 是上的子代数; 任意, , 则对于任意, 有, 又因为为理想, 故有, 所以, , 因此是上的理想. 任意, 任意, , 其中, , , , 因为和是理想, 则
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