计算机图形学5.ppt

第五章自由曲线曲面 5 1曲线和曲面的表示显式表示 y f x 隐式表示 f x y 0参数表示 P t x t y t z t 显式或隐式表示存在下述问题 1 与坐标轴相关 2 会出现斜率为无穷大的情形 如垂线 3 不便于计算机编程 参数表示 曲线上任一点的坐标均表示成给定参数的函数 假定用t表示参数 平面曲线上任一点P可表示为 空间曲线上任一三维点P可表示为 参数表示例子 直线圆 参数表示的优点 1 有更大的自由度控制曲线曲面的形状 2 可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换 而不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变换 3 可以处理斜率无穷大的情况 4 代数 几何相关和无关的变量是完全分离的 对变量个数不限 便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间中 5 便于采用规格化的参数变量如 区间 a b 可由区间 0 1 通过仿射变换得到 若仿射变换关系为 直线上的插值点可以下两式表示6 易于用矢量和矩阵表示几何分量 简化计算 有一空间点A 从原点O到A点的连线表示一个矢量 此矢量称为位置矢量 空间一点的位置矢量有三个坐标分量 而空间曲线是空间动点运动的轨迹 也就是空间矢量端点运动形成的矢端曲线 其矢量方程为 此式也称为单参数的矢函数 它的参数方程为 曲线的矢函数求导与数量函数的求导一样 矢函数也可以求导 设当参数变为时 矢函数对应的位置由变为 线段对应的矢量差为 其变化率为当时 这个矢量的极限叫做c u 的一阶导矢 记为或 2 曲线的矢函数求导 又设因为所以矢函数的导矢也是一个矢函数 因此也有方向和模 矢量的方向平行于割线MM1 当时 就转变为M u 点的切线矢量 故又称导矢为切矢 3 曲线的自然参数方程设在空间曲线C u 上任取一点作为计算弧长的初始点 曲线上其他点到M0之间的弧长s是可以计算的 如用弧长积分公式或累计弦长公式 这样曲线上每个点的位置与它的弧长之间有一一对应关系 以曲线弧长作为曲线方程的参数 这样的方程称为曲线的自然参数方程 弧长则称为自然参数 弧长微分公式为 引入参数u 上式可改写为 鉴于矢量的模一定为非负 可得 4 曲线的法矢量设空间曲线的自然参数方程为C C s 曲线的切矢为单位矢量 记为T 因为 对左式求导 得到 说明垂直 鉴于不是单位矢量 可以认为 单位矢量N s 定义为曲线的主法线单位矢量 简称为主法矢 主法矢N s 总是指向曲线凹入的方向 而k s 是一标量系数 成为曲线的曲率 而矢量称为曲率矢量 其模就是该曲线的曲率 记 称为曲率半径 令垂直于T和N的单位矢量为B 称此矢量副法线单位矢量 由切线和主法线所确定的平面称为密切平面 由主法线和副法线组成的平面称为法平面 由切线和副法线构成的平面称为从切面 5 插值 逼近和拟合 型值点 是指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点 控制点 是指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点 曲线曲面本身不一定通过控制点 插值和逼近 这是曲线曲面设计中的两种不同方法 插值设计方法要求建立的曲线曲面数学模型 严格通过已知的每一个型值点 而逼近设计方法建立的曲线曲面数学模型只是近似地接近已知的型值点 拟合 是指在曲线曲面的设计过程中 用插值或逼近的方法使生成的曲线曲面达到某些设计要求 分段的参数表达式对某些曲线 定义一个函数来表示形状是很容易的事情 例如 直线 圆和椭圆都是很简单的函数 用参数来表示点 对许多其他的曲线 找一个函数来定义它们是很困难的 定义复杂曲线的主要策略是分治法 把曲线分成简单的小段 每一段都有简单的形式 例如 考虑下图的曲线 前两条曲线可以很容易用两段来定义 对于图b中的曲线 需要不同的类型的片段 一条直线和一个圆 6 连续性设计一条复杂曲线时 常常通过多段曲线组合而成 这需要解决曲线段之间如何实现光滑连接的问题 曲线间连接的光滑度的度量有两种 一种是函数的可微性 把组合参数曲线构造成在连接处具有直到n阶连续导矢 即n阶连续可微 这类光滑度称之为Cn或n阶参数连续性 另一种称为几何连续性 组合曲线在连接处满足不同于Cn的某一组约束条件 称为具有n阶几何连续性 简记为Gn Cn连续包含在Gn连续之中 1 参数连续性0阶参数连续性 记作C0连续性 是指曲线的几何位置连接 即 假定参数曲线段pi以参数形式进行描述 1阶参数连续性记作C1连续性 指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数 2阶参数连续性 记作C2连续性 指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数 2 几何连续性0阶几何连续性 记作G0连续性 与0阶参数连续性的定义相同 满足 1阶几何连续性 记作G1连续性 指一阶导数在相邻段的交点处有切矢方向相同 大小不等2阶几何连续性 记作G2连续性 指相邻曲线段在交点处其一阶和二阶导数方向相同 大小不等 C1连续保证G1连续 C2连续能保证G2连续 但反过来不行 也就是说Cn连续的条件比Gn连续的条件要苛刻 在曲线造型中一般只用到C1 C2 G1 G2连续 5 2Bezier曲线1962年 法国雷诺汽车公司的P E Bezier构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手 Bezier曲线由一组折线集即Bezier特征多边形来曲线的起点和终点与该多边形的起点终点重合 且多边形的第一和最后一条边表示切矢量的方向 5 2Bezier曲线 1 Bezier曲线的定义在给定空间 个点 0 1 n 称下列参数曲线为 次的Bezier曲线其中 是Bernstein基函数 即 一般称折线 0 1 n为C u 的控制多边形 0 1 n各点为C u 的控制顶点 控制多边形是C u 的大致形状的勾画 C u 是对 0 1 n的逼近 图5 1Bezier曲线 Bernstein基函数具有下列性质 1 非负性 对于所有的i n以及均有成立 2 规范性 3 对称性 4 递推性5 端点性 6 最大性 在处达到最大值 7 可导性8 升阶公式 9 分割性10 积分性 2 Bezier曲线的性质Bezier曲线C u 具有以下性质 1 端点性质2 端点切矢量Bezier曲线在点处与边相切 在点处与边相切 3 端点的曲率 在C u 两端点的曲率分别为 这是因为 说明 曲率只与相邻的3个顶点有关 4 对称性若保持原全部顶点的位置不变 只是把次序颠倒过来 则新的Bezier曲线形状不变 但方向相反 5 几何不变性Bezier曲线的位置和形状只与特征多边形的顶点的位置有关 它不依赖坐标系的选择 移动第i个控制顶点将对曲线上参数为的那个点处发生最大的影响 6 凸包性因为C u 是多边形各顶点 0 1 n的加权平均 而权因子 这反映在几何图形上有两重含义 a Bezier曲线C u 位于其控制顶点 0 1 n的凸包之内 b Bezier曲线C u 随着其控制多边形的变化而变化 7 变差缩减性对于平面Bezier曲线C u 平面内任意条直线与其交点的个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数 Bezier曲线比特征多边形的折线更光顺 3 常用Bezier曲线的矩阵表示由Bezier曲线C u 的定义 可推出常用的一次 二次 三次Bezier曲线矩阵表示1 一次Bezier曲线 矩阵表示为这是一条从到的直线段图8 2一次Bezier曲线 2 二次Bezier曲线矩阵表示为图8 3二次Bezier曲线 这是一条起点P0终点P2的抛物线 3 三次Bezier曲线矩阵表示为 图8 4三次Bezier曲线 4 Bezier曲线的DeCasteljau算法给定三维空间点以及一维标量参数 假定 并且那么即为Bezier曲线上参数处的点 DeCasteljau P n u C ComputepointonaBeziercurveusingDeCasteljaualgorithm Input P n u Output C apoint for i 0 i n i Q i P i for k 1 k n k for i 0 i n k i Q i 1 0 u Q i u Q i 1 C Q 0 5 Bezier曲线的几何作图法利用DeCasteljau算法可以以几何方式计算参数值处的曲线点 1 根据给定的参数值 在控制多边形的每条边上确定某一分割点 使分割后的线段之比为 由此得分割点为 由此组成一个边数为 n 1 的新的多边形 2 用相同的方法对该多边形再次分割 得到分割点形成另一个新的多边形 3 按相同的过程分割n 1次后 得到两个顶点 再分割得到所求的点即为所求的处的曲线点 图8 6Bezier曲线的几何作图法 7 Bezier曲线的升阶有时为了便于Bezier曲线的修改 需要增加控制顶点提高灵活性 而不要改变原来曲线的形状 也就是将n次的Bezier曲线进行升级表达为n 1次的Bezier曲线 即 只需将左边乘以然后比较的系数 即可得到 几何意义 1 新的控制顶点是对老的特征多边形在参数处进行线性插值的结果 2 升阶后的新的特征多边形在老的特征多边形的凸包内 3 升阶后的新的特征多边形更逼近Bezier曲线 例如对于二次Bezier曲线 升阶后的控制顶点为 8 Bezier曲线的顶点反求已知Bezier曲线上给定参数处的位置矢量和参数阶次 利用Bezier曲线定义和端点特性 可列出一组方程 求解方程组 就可得到相应的控制顶点 例子 已知三次Bezier曲线上的四个点分别为Q0 120 0 Q1 45 0 Q2 0 45 Q3 0 120 它们对应的参数分别为0 1 3 2 3 1 反求三次Bezier曲线的控制顶点 由已知条件可得方程组 Q0 P0 u 0 Q1 8 27 P0 4 9 P1 2 9 P2 1 27 P3 u 1 3 Q2 1 27 P0 2 9 P1 4 9 P2 8 27 P3 u 2 3 Q3 P3 u 1 bezier曲线的端点性质得到的 其余两式是由三次Bezier曲线的展开式 C u 1 u 3P0 3u 1 u 2P1 3u2 1 u P2 u3P3分别将Q0 Q1 Q2 Q3的x y坐标代入方程组求解 可得 x0 120 x1 35x2 27 5x3 0y0 0y1 27 5y2 35x3 120 9 Bezier曲线的拼接设有两条Bezier曲线和 其控制顶点分别为 0 2 n和Q0 Q2 Qm 现考虑两条曲线的拼接 不同阶几何连续的条件如下 1 一阶连续性根据端矢量条件 其连续条件为即 1 二阶连续性根据二阶导矢量 为满足连续性条件 可得 图8 8Bezier曲线的拼接 10 有理Bezier曲线有理Bezier曲线的定义式为 与Bezier曲线相比 除了可以调节有理Bezier曲线的控制顶点外 还可以调节其权因子的大小来改变曲线的形状 因而具有更强的造型功能 其性质包括 1 端点性质 2 端点切矢量3 凸包性质 4 有理再生性 若控制顶点落在一条直线上 曲线为直线 5 仿射和透视不变性 6 权因子的作用 当权因子全为零时 曲线与控制顶点无关 当某一权因子增大 小 时 曲线向相应的控制顶点靠近 远 当权因子为无穷大时 该控制顶点即为曲线上的点 11 Bezier曲线的应用 Bezier曲线用于设计各种平面图形 如花瓶外形 特征点的设计如图 注意拼接问题 5 4B 样条曲线 Bezier曲线有许多优越性 但有两点不足 特征多边形的顶点个数决定了Bezier曲线的阶次 并且在阶次较大时 特征多边形对曲线的控制将会减弱 Bezier曲线不能作局部修改 改变一个控制点的位置对整条曲线都有影响 其原因是基函数Bernstein的参数u在 0 1 区间内均不为零 1972年 Gordon Rie feld等人拓展了Bezier曲线 用B样条基函数代替Bernstein基函数 即形成了B样条曲线 曲面 1B样条基函数 给定参数轴上的一个分割 由下列递推关系定义的称为U的p次 p 1阶 B样条基函数 其中P表示B样条的次数 即为阶 为节点 为节点矢量 该表达式意味着 是一阶跃函数 在区间外均为零 对于p 0 是两个 次基函数的线性组合 计算一系列的基函数 需要指定节点矢量和次数 是一分段多项式 我们仅仅对其在区间感兴趣 称为第i个节点区段 其长度可以为零 若则称上式中除uj 1 uj k以外的每一节点为U的k重节点 例如 1 令 p 2 如下计算0 1 2次的B 样条基函数 可以发现 仅仅在区间内有值非零 这是二次Bernstein多项式 因此 具有如下节点矢量 的B 样条实际上就是Bezier表达式 2B样条基函数的性质 1 局部性 即只在区间中为正 在其它地方均取零值 在给定节点区段 最多只有个值为非零 2 非负性对于所有的 这是由下式决定的 3 规范性对任意节点区段 4 分段多项式 在每一长度非零的区间 上都是次数不高于 次的多项式 5 连续性 的求导公式如下 在 重节点处的连续阶不低于 因此增加次数可提高连续性次数 增加重节点数将降低连续性次数 6 可微分性 3B样条曲线定义 为给定空间的 个控制顶点 是 个节点矢量 称下列参数曲线 为 次的B样条曲线 折线 为B样条曲线的控制多边形 控制顶点个数 节点个数 具有如下关系 设 次数 图8 11B样条曲线 4 B样条曲线的性质 位于控制顶点 所建立的凸包内 图8 12B样条曲线凸包性 1 严格的凸包性 曲线严格位于控制多边的凸包内 如果 2 分段参数多项式 在每一区间 上都是次数不高于 3 可微性或连续性 在每一曲线段内部是无限次可微的 在定义域内重复度为 的节点处则使 次可微或具有 4 几何不变性 B样条曲线的形状和位置与坐标系的选取无关 的多项式 阶参数连续性 5 局部可调性 只在区间 中为正 在其它地方均取零值 次的B样条曲线在修改时只被相邻的 而与其它顶点无关 当移动其中的一个顶点 定义在区间 上那部分曲线 并不对整条曲线产生影响 因为 使得 个顶点控制 时 只影响到 6 近似性 控制多边形是B样条曲线的线性近似 若进行节点插入或升阶会更加近似 次数越低 B样条曲线越逼近控制顶点 7 变差缩减性 设 n为B样条曲线的控制多边形 某平面与B 样条曲线的交点个数不多于该平面与其控制多边形的交点个数 图8 13B样条曲线的变差缩减性 例子 给定控制顶点 定义一条三次B样条曲线 各种关系如下确定 这说明 节点矢量 2 曲线定义域 3 当定义域 内不含重节点时 曲线段数 n p 1 6 4 当曲线由 四个控制顶点定义 与其他顶点无关 5 移动 时将至多影响到定义在 区间上那些曲线段的形状 6 在 上的三次B样条基及计算定义在 上那段三次B样条曲线将涉及 共6个节点 5 重节点对B样条曲线的影响 节点的非均匀或非等距分布包含两层含义 1 节点区间长度不等 2 重节点 即节点区间长度为零 1 重节点的重复度每增加1 曲线段数就减1 同时样条曲线在该重节点处的可微性或参数连续阶降1 2 当定义域端点节点重复度为 时 次B样条曲线的端点将与 相应的控制多边形的端顶点重合 并在端点处与控制多边形相切 3 当在曲线定义域内有重复度为的节点时 次B样条曲线插值于相应的控制多边顶点 4 当端节点重复度为 时 次B样条曲线就具有和 次Bezier曲线相同的端点几何性质 5 次B样条曲线若在定义域内相邻两节点都具有重复度 可以生成定义在该节点区间上那段B样条曲线的Bezier点 6 当端节点重复度为 的 一个非零节点区间 则所定义的该 次B样条曲线就是 次Bezier曲线 次B样条曲线的 定义域仅有 6 均匀B样条曲线 节点矢量中节点为沿参数轴均匀等距分布 所有节点区间长度 为大于零的常数 可将定义在每个节点区间 上用整体参数 表示的B样条基变换成用局部参数 表示 只需做参数变换 则B样条曲线可改写为矩阵形式 将上式改写为矩阵形式 其中1 3次系数矩阵 分别为 则可以很容易写出三次均匀B样条曲线的方程 7 非均匀B样条曲线 非均匀B样条函数其节点参数沿参数轴的分