与圆有关的位置关系.doc

让更多的孩子得到更好的教育与圆有关的位置关系一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 理解并掌握设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上d=r；点P在圆内dr及其运用理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用了解三角形的外接圆和三角形外心的概念了解反证法的证明思想l 了解直线和圆的位置关系的有关概念理解设O的半径为r，直线到圆心O的距离为d，则有：直线和O相交dr理解切线的判定定理；理解切线的性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题l 了解切线长的概念理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用l 了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交，圆心距等概念理解两圆的位置关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题重点难点：l 重点：点和圆的位置关系的结论，不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用切线的判定定理；切线的性质定理及运用它们解决一些具体的题目切线长定理及其运用两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用l 难点：反证法的证明思路由点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题学习策略：l 与圆有关的位置关系包括：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系注意结合d与r、R之间的关系二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？（一）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O 一圈，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆（circle）（二）圆心为O，半径为r的圆是平面内到 O的距离 r的点的 （三）圆心 ，半径 的两个圆叫做同心圆圆心 ，半径 的两个圆叫做等圆同圆或等圆的半径 （四）垂径定理： 于弦的直径 这条弦，并且 弦所对的两条弧（五）在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 （六）点与直线的位置关系： 知识要点预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。若有其它补充可填在右栏空白处。详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#21895721知识点一：点和圆的位置关系由于平面上圆的存在，就把平面上的点分成了三个集合，即圆内的点，圆上的点和圆外的点，这三类点各具有相同的性质和判定方法；即点和圆的位置关系和点到圆心的距离的数量关系是相对应的，即知道位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系设O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则有知识点二：圆的确定已知圆心和半径可以确定圆，圆心确定圆的 ，半径确定圆的 （一）不在同一 上的 个点确定一个圆（二）经过三角形三个顶点可以作一个圆经过三角形各顶点的圆叫做三角形的 圆，外接圆的圆心是三角形三条 线的交点，叫做三角形的 心，这个三角形叫做这个圆的 三角形要点诠释：（1）由线段的垂直平分线的性质可知：平面内，经过已知两点的圆的圆心的轨迹是连结这两点的线段的 线（如图）（2）过同一条直线上的三点 作圆；过不在同一直线上的 个点确定一个圆，所以任意三角形有且只有 个外接圆三角形的外心是三角形三边 线的交点，到三角形三个顶点的距离 由于三角形的形状不同，所以其外心的位置也不相同，即锐角三角形的外心在三角形 部；直角三角形的外心在 上；钝角三角形的外心在三角形 部因为圆是由无数个点形成的闭合曲线，所以在圆上任取三个点，顺次连结就可形成一个圆内接三角形，所以圆有 个内接三角形（三）用反证法证明命题的一般步骤为：（1）假设命题的 不成立；（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出 ；（3）由矛盾判定假设 ，从而肯定命题的结论正确知识点三：直线和圆的位置关系（一）直线和圆的三种位置关系：（1）相交：直线与圆有 个公共点时，叫做直线和圆相交这时直线叫做圆的 （2）相切：直线和圆有 公共点时，叫做直线和圆相切这时直线叫做圆的 ，唯一的公共点叫做 （3）相离：直线和圆 公共点时，叫做直线和圆相离（二）直线与圆的位置关系的判定和性质直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样通过一些条件来进行分析判断呢？由于圆心确定圆的 ，半径确定圆的 ，因此研究直线和圆的位置关系，就可以转化为直线和点（圆心）的位置关系下面图（1）中直线与圆心的距离小于半径；图（2）中直线与圆心的距离等于半径；图（3）中直线与圆心的距离大于半径如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质；从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定知识点四：切线的判定定理和性质定理（一）切线的判定定理：经过半径的 并且 于这条半径的直线是圆的切线要点诠释：切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有 个交点，二是直线与过交点的半径 ，缺一不可（二）切线的性质定理：圆的切线 于过 的半径知识点五：切线长定理（一）切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和 点之间的 的长，叫做这点到圆的切线长要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的 的长，不是“切线的长”的简称切线是直线，而非线段（二）切线长定理：从圆外一点可以引圆的 条切线，它们的切线长 ，这一点和圆心的连线 两条切线的夹角要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段 和角 知识点六：三角形的内切圆（一）三角形的内切圆：与三角形各边都 的圆叫做三角形的内切圆（二）三角形的内心：三角形 圆的圆心是三角形三条 线的交点，叫做三角形的内心要点诠释：（1）任何一个三角形都 个内切圆，但任意一个圆都有 个外切三角形；（2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即（S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径）（3）三角形的外心与内心的区别：名称确定方法图形性质外心（三角形外接圆的圆心）三角形三边 的交点（1）OA= = ；（2）外心不一定在三角形内部内心（三角形内切圆的圆心）三角形三条 的交点（1）到三角形三边距离 ；（2）OA、OB、OC分别平分 、 、 ；（3）内心在三角形 部知识点七：圆和圆的位置关系（一）圆与圆的五种位置关系的定义两圆外离：两个圆 公共点，且每个圆上的点都在另一个圆的 部时，叫做这两个圆外离两圆外切：两个圆有 公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的 部时，叫做这两个圆外切这个唯一的公共点叫做 两圆相交：两个圆有 公共点时，叫做这两圆相交两圆内切：两个圆有 公共点，并且除了这个公共点外，一个圆上的点都在另一个圆的 部时，叫做这两个圆内切这个唯一的公共点叫做 两圆内含：两个圆 公共点，且一个圆上的点都在另一个圆的 部时，叫做这两个圆内含要点诠释：（1）圆与圆的位置关系，既考虑它们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点个数分类，又可以分为： （含外离、内含）、 （含内切、外切）、 ；（2）内切、外切统称为 ，唯一的公共点叫作 ；（3）具有内切或内含关系的两个圆的半径不可能相等，否则两圆重合（二）两圆的位置与两圆的半径、圆心距间的数量关系：设O1的半径为r1，O2半径为r2， 两圆心O1O2的距离为d，则：两圆外离 d r1+r2两圆外切 d r1+r2两圆相交 r1-r2 d r1+r2 （r1r2）两圆内切 d r1-r2 （r1r2）两圆内含 d r1-r2 （r1r2）注意：（1）这种数量关系既是性质又是判定；（2）注意判定两圆相交时必须具备r1-r2 d r1+r2，缺一不可；（3）d 0时，两圆是同心圆；（4）判定两圆位置关系的方法有二，定义或d与r1、r2的关系（三）两圆相切的性质思考：相切两圆的连心线与两圆的切点有何关系？因为圆是轴对称图形，对称轴是过圆心的直线，而对于两个圆来说， 线是它们公共的对称轴，因此两圆组成的图形关于 线对称，于是得到：相切两圆性质：若两圆相切，则切点一定在 线上要点诠释：（1）区别“连心线”（形直线）与“圆心距”（数量）；（2）也可以认为是：相切两圆的圆心、切点在同一直线上；（3）常作连心线辅助线经典例题自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。若有其它补充可填在右栏空白处。更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#218957类型一：判断直线和圆的位置关系例1在RtABC中，C=90，AC=3厘米，BC=4厘米，以C为圆心，r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？为什么？（1）r =2厘米；（2）r =2.4厘米；（3）r =3厘米思路点拨：因为题目给出了O的半径，所以解题关键是求圆心C到直线AB的距离，也就是要求出RtABC斜边AB上的高为此，可过C点向AB作垂线段CD，然后可根据CD的长度与r进行比较，确定C与AB的关系解：类型二：运用切线的性质定理解题例2如图，AB为O的直径，C为O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D求证：AC平分DAB证明：总结升华： 类型三：切线的判定例3如图，P点是AOB的平分线OC上一点，PEOA于E，以P为圆心，PE为半径作P 求证：P与OB相切思路点拨：要证OB是P的切线，且不知道是否有公共点，所以作PFOB于F，只需证PF=PE即可证明：举一反三：【变式1】已知：如图，在梯形 ABCD中，ABDC，B=90，AD=AB+DC，AD是O的直径求证：BC和O相切思路点拨：从已知条件不易判断直线BC与O有没有公共点，所以不便利用判定定理“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”联想到“和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”，考虑作辅助线OEBC，垂足为E，只要证明OE等于O的半径即可根据梯形中位线的性质定理和已知条件，这点不难证明证明：【变式2】如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB和CD相等，且AB与小圆切于点E求证：CD与小圆相切思路点拨：因为AB与小圆切于点E，联想切线的性质定理，若连接OE，则ABOE要证CD与小圆相切，而已知条件中并未明确CD和小圆是否有公共点，所以可作OFCD，垂足为F只要证明OF等于小圆的半径即可因为AB、CD为大圆的弦，而且相等，而OE、OF分别为两弦的弦心距，因此有OE=OF，即OF等于小圆的半径于是可得出证法证明：例4ABC内接于O，D为AB延长线上一点，且DCB=A，求证：CD是O的切线思路点拨：要证CD是O切线，且已知公共点C，所以连接OC，用判定定理，只需OCCD，即证：OCB+DCB=90 方法一：要证直角可利用直径所对圆周角是直角方法二：此题也可采用圆周角定理举一反三：【变式1】如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于D，DEAC于E，求证：DE是O的切线思路点拨：要证DE是O切线，且已知公共点D，所以连接OD，只需证ODDE即可，又已知DEAE，所以需证：ODAC方法一：方法二：【变式2】如图，ABC中，ACB=90，以AC为直径的O，交AB于D，E为BC中点求证：DE是O切线思路点拨：要证DE是O切线，且已知公共点D，所以连接OD，只需证ODE=OCB=90即可方法一：需证ODEOCE方法二：此题证明ODE=OCE还有另外证法【变式3】已知：如图，AB是O的直径，BC是O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是O的切线思路点拨：因为AB是直径，BC切O于B，所以BCAB要证明DC是O的切线，而DC和O有公共点D，所以可连接OD，只要证明DCOD也就是只要证明ODC=OBC而这两个角分别是ODC和OBC的内角，所以只要证ODCOBC这是不难证明的证明：类型四：切线长定理的应用例5已知，如图，O是ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若AB=7，AC=8，BC=9，求AD、BE、CF的长思路点拨：AD、BE、CF的长都是O的切线长，可以通过切线长定理建立方程而求解：设AD=x，则BD=7-x解：举一反三：【变式1】已知：如图，PA，PB是O的切线，A、B为切点，过上的一点C作O的切线，交PA于D，交PB于E（1）若P=70，求DOE的度数；（2）若PA=4cm，求PDE的周长思路点拨：根据切线长定理，要求DOE只需要求出AOB，而AOB+P=180解：总结升华： 【变式2】已知：如图，ABC中，C=90，BC=4，AC=3，求ABC的内切圆O的半径r方法一：思路点拨：把O的半径r与ABC的边联系起来，可以通过切线的性质证明四边形ODCF是正方形，再利用切线长定理可求解方法二：此题亦可采用：面积变换求解总结升华： 那么由此两种表达式你可以验证一个什么重要定理呢？请同学们试一试【变式3】已知：如图，ABC的内切圆O切边AB、BC、AC于点D、E、F，且A=50，求DEF的度数方法一：思路点拨：因为DEF是圆周角，可以先求相应的圆心角DOF，由切线的性质，知ODAB，OFAC，从而可求出DOF方法二：此题还可由切线长定理和内心性质求解解：总结升华： 类型五：两圆的位置关系例6已知相交两圆的半径分别为，圆心距为d，试求d的整数值思路点拨：对于半径分别为r1，r2的两圆相交，若圆心距为d，则|r1-r2|dr1+r2解：举一反三：【变式1】已知两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，且满足，试确定这两圆的位置关系思路点拨：欲找到r1，r2，d之间的关系，需将已知的r1，r2，d之间的二次方程，利用分解因式法降次解：想一想，若两圆内切，圆心距为3cm，其中一个圆的半径为5cm，则另一个圆的半径为 【变式2】如图，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD、BC的长是方程x2-20x+75=0的两根，以D为圆心，AD长为半径的圆，和以C为圆心，BC长为半径的圆之间有怎样的位置关系？思路点拨：问题转化为比较AD+BC与DC之间的大小关系解：例7如图，在长为25cm，宽为18cm的矩形ABCD中截下一个最大的O2后，若想在剩余的材料中再截去一个最大的O1，试求O1的半径思路点拨：可设O1的半径为rcm，利用已知条件，将问题转化为解直角三角形解：举一反三：【变式1】如图，要想在半径为R的圆铁片内剪下四个相等的圆片，那么其半径r的最大值是多少？思路点拨：欲使四个相等的圆片最大，只要使这相邻小圆片分别两两外切，且都内切于已知圆想一想，若还要在剩下的空余剪下五个小圆（如图），半径最大值是多少？【变式2】已知：如图所示，半圆O的直径为2R，分别以AO、OB为直径在半圆O内分别作半圆C和半圆F，若D与O内切，且分别与C、F外切，试求D的半径r思路点拨：仍需要依据各圆之间的位置关系，将问题转化为解直角三角形解：例8已知：如图，两圆相交于A、B点，割线BEF与割线ACD互相平行，试比较线段EF与CD的大小，并证明解：三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。相关内容请参看网校资源ID：#tbjx22#218957。对于本节的学习，应注意下面几个问题：（1）首先要掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系的得出过程，结合相应图形得出各位置关系下的d与r