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第二十七届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初一第2试一、选择题（每题4分。）题号12345678910答案 CDCDBBCCAD二、填空题（每题4分。）题号1112131415答案四35900题号1617181920答案473115三、解答题21 解：设：有次跳绳的个数是18，有次跳绳的个数是20，有次跳绳的个数是24. 则 （5分）消去，得 ，由题可知，且均为整数. 当，；(不合题意)当，；其中(符合题意)；当，；(不合题意)； 当，；(不合题意)当，；(不合题意)； 当，；(不合题意). 综上可知，当，时符合题意，所以她有3次跳绳的个数是20. （10分） 22. 证明：由于与的角分别对应相等，由三角形外角定理，得 所以只能 ，但 ，所以 于是 （5分） 由于 因此 相加得 但 所以 即 是直角三角形. （10分）AD为斜边BC上的高. 用两种方法计算直角三角形ABC的面积，得所以 （15分）23. 证明：不存在正整数，使. （2分）假设存在正整数，使成立因为 奇数的平方是被4除余1的数，偶数的平方为4的倍数，两个奇数的平方和为被4除余2的数，一个奇数的平方与一个偶数的平方之和是被4除余3的数， 只有两个偶数的平方和是4的倍数，而 是的倍数，故 是两个偶数的平方和.即 必同时为偶数不妨设（为正整数）则有 ，整理得 成立 同理，因为 是的倍数，故 同时为偶数不妨设（为正整数）则有 ，整理得 存在正整数 使得成立因为 被除余，故 必同时为奇数 （10分）不妨设 ，则 ，故 只能取1,3,5和当时，而77不是完全平方数，故非正整数；当时，而101不是完全平方数，故非正整数；当时，而117不是完全平方数，故非正整数；当时，而125不是完全平方数，故非正整数所以不存在正整数和使得成立. 所得矛盾表明
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