2018考研数学冲刺模拟卷数学一答案与解析.doc

2018考研数学冲刺模拟卷（数学一）答案与解析一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）若函数在处连续，则（ ）(A)(B)(C)(D)【答案】A.【解析】在处连续选A.（2）设函数可导，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A.【解析】，所以选A。（3）设函数，单位向量，则_. （A）12（B）6（C）4（D）2【答案】D.【解析】选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙超过上甲的时刻记为（单位：s），则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D.【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要超过甲，则，当时满足，故选D.（5）设 为阶矩阵，且，则下列结论正确的是（A）的任意阶子式都不等于零 （B）的任意个列向量线性无关（C）方程组一定有无穷多解 （D）矩阵经过初等行变换可化为【答案】C. 【解析】对于选项C，所以选项C正确, 对于选项A和B，r(A)=m，由秩的定义可得，存在一个m阶行列式不为零，从而m阶行列式所在的列向量组线性无关，所以选项A和B不正确对于选项D，矩阵经过初等行变换和列变换才可化为，所以选项D不正确（6）设， ,其中为任意实数，则（A）必线性相关 （B）必线性无关（C）必线性相关 （D）必线性无关【答案】D. 【解析】所以，从而选项A和B均不正确，从而选项C不正确利用排除法可得正确答案为D对于选项D，从而可得，所以必线性无关（7）设二维随机变量的联合分布函数为，边缘分布函数分别为和 ，则（A） （B） （C） （D） 【答案】D. 【解析】设，则所以所以正确答案为D（8）设总体服从正态分布，是取自总体的简单随机样本，其均值、方差分别为，则（A） （B）（C） （D）【答案】C.【解析】而，且与相互独立所以所以正确答案为C.二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 函数的麦克劳林公式中项的系数为_【答案】.【解析】因为，故项的系数为。(10) 微分方程的通解为_【答案】，（为任意常数）.【解析】齐次特征方程为故通解为，（为任意常数）(11) 已知为某函数的全微分，则_.【答案】.【解析】由题意可得，故.(12) 幂级数在区间内的和函数_【答案】.【解析】（13）设为四维非零的正交向量，且，则的所有特征值为 .【答案】0,0,0,0 【解析】设矩阵的特征值为，则的特征值为由为四维非零的正交向量从而所以的特征值的特征值为所以4阶矩阵的4个特征值均为0.（14） 设二维随机变量服从正态分布，则 .【答案】【解析】所以相互独立相互独立，相互独立同理从而三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）设函数在内具有二阶导数，且满足等式，若求函数的表达式.【解析】(I)由于题目是验证，只要将二阶偏导数求出来代入题目中给的等式就可以了同理 代入，得 ，即 .则对应的特征方程为，故.由得，即（16）（本题满分10分）求【答案】.【解析】原式=.（17）（本题满分10分）设函数连续，且.已知，求的值.【解析】令，则，所以代入得 将等式两边对求导得 化简得 令得，化简得（18）（本题满分10分）设是区间上的任一非负连续函数，在区间内可导,且试证明在内，存在唯一实根.【解析】(1)要证,使；令,要证,使.可以对的原函数使用罗尔定理：,又由在连续在连续,在连续,在可导.根据罗尔定理,使.(2) 由,知在内单调增,故(1)中的是唯一的.（19）（本题满分10分）计算曲面积分，其中是球面被平面截出的顶部。【答案】【解析】由题意可知，故.（20）（本题满分11分）设均为四维列向量，非齐次线性方程组的通解为()求方程组的通解；()求方程组的通解.【解析】()由 的通解为可得，即所以可由线性表出，可由线性表出即可由线性表出从而所以方程组只有唯一解+2得所以程组的唯一解为;由()可得可由线性表出， 可由线性表出从而所以所以齐次线性方程组的基础解系中有2个线性无关的解向量，非齐次线性房出租有无穷多解由()中的即且线性无关所以的基础解系为由可得的一个特解为所以的通解为：.（21）（本题满分11分）设二次型的矩阵合同于.()求常数；()用正交变换法化二次型为标准形.【解析】()此二次型对应的实对称矩阵因为实对称矩阵与合同所以而，解得 () 解得矩阵的特征值为当时，解齐次线性方程组解得对应的一个线性无关的特征向量为当时，解解齐次线性方程组解得对应的一个线性无关的特征向量为当时，解解齐次线性方程组解得对应的一个线性无关的特征向量为因为矩阵有三个不同的特征值，所以三个特征值对应的特征向量均正交将单位化得从而正交变换矩阵在正交变换，使得.（22）（本题满分11分）将三封信随机地投入编号为的四个邮筒.记为1号邮筒内信的数目，为有信的邮筒数目.求：（）的联合概率分布；（）的边缘分布；（）在条件下，关于的条件分布.【解析】（）的所有可能取值为0,1,2,3；的所有可能取值为1,2,3从而的所有可能取值为（0,1），（0,2），（0,3），（1,1），（1,2）（1,3）（2,1）（2,2）（2,3）（3,1）（3,2）（3,3）所以的联合概率分布为YX12303/649/323/32109/649/32209/64031/6400（）的所有可能取值为1,2,3由的联合分布律得所以的边缘分布1231/169/163/8（）