第8章 第6节 双曲线

第六节双曲线考纲传真1.了解双曲线的实际背景，了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合的思想.4.了解双曲线的简单应用1双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|2c0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c0.当2a|F1F2|时，M点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中ca，b，c的关系c2a2b2(ca0，cb0)3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为yx，离心率为e.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知双曲线1(a0)的离心率为2，则a()A2B.C.D1D依题意，e2，2a，则a21，a1.3(2017福州质检)若双曲线E：1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|3，则|PF2|等于()A11B9C5D3B由题意知a3，b4，c5.由双曲线的定义|PF1|PF2|3|PF2|2a6，|PF2|9.4(2016全国卷)已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3)D(0，)A原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.则因此1n0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为_x21由于2xy0是1的一条渐近线，2，即b2a，又双曲线的一个焦点为(，0)，则c，由a2b2c2，得a2b25，联立得a21，b24. 所求双曲线的方程为x21.双曲线的定义及应用(2017哈尔滨质检)已知双曲线x21的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|，则F1PF2的面积为()A48B24C12D6B由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2，解得|PF2|6，故|PF1|8，又|F1F2|10，由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此SPF1F2|PF1|PF2|24.规律方法1.应用双曲线的定义需注意的问题：在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支同时需注意定义的转化应用2在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将|PF1|PF2|2a平方，建立|PF1|PF2|间的联系变式训练1已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上若|F1A|2|F2A|，则cosAF2F1()A.B.C.D.A由e2得c2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|F2A|2a.又|F1A|2|F2A|，故|F1A|4a，|F2A|2a，cosAF2F1.双曲线的标准方程(1)(2017广州模拟)已知双曲线C：1的离心率e，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为() 【导学号：31222317】A.1B.1C.1D.1(2)(2016天津高考)已知双曲线1(a0，b0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，则双曲线的方程为()A.y21Bx21C.1D.1(1)C(2)A(1)由焦点F2(5,0)知c5.又e，得a4，b2c2a29.双曲线C的标准方程为1.(2)由焦距为2得c.因为双曲线的一条渐近线与直线2xy0垂直，所以.又c2a2b2，解得a2，b1，所以双曲线的方程为y21.规律方法1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2By21(AB0，b0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点若A1BA2C，则该双曲线的渐近线为_. 【导学号：31222318】(1)A(2)xy0(1)如图，因为MF1x轴，所以|MF1|.在RtMF1F2中，由sinMF2F1得tanMF2F1.所以，即，即，整理得c2aca20，两边同除以a2得e2e10.解得e(负值舍去)(2)由题设易知A1(a,0)，A2(a,0)，B，C.因为A1BA2C，所以1，整理得ab.因此该双曲线的渐近线为yx，即xy0.规律方法1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e1这一条件2双曲线中c2a2b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程变式训练3(2015全国卷)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A.B2C.D.D不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为1(a0，b0)，则|BM|AB|2a，MBx18012060，M点的坐标为.M点在双曲线上，1，ab，ca，e.故选D.思想与方法1求双曲线标准方程的主要方法：(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2By21(AB0)B.1(x0)C.1(y0)D.1(x0)B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为1(x0，a0，b0)，由题设知c3，a2，b2945.所以点P的轨迹方程为1(x0)4已知F为双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B3C.mD3mA由双曲线方程知a23m，b23，c.不妨设点F为右焦点，则F(，0)又双曲线的一条渐近线为xy0，d.5(2017成都调研)过双曲线x21的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|()A.B2C6D4D由题意知，双曲线x21的渐近线方程为yx，将xc2代入得y2，即A，B两点的坐标分别为(2,2)，(2，2)，所以|AB|4.二、填空题6(2016江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦距是_2由双曲线的标准方程，知a27，b23，所以c2a2b210，所以c，从而焦距2c2.7已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_. 【导学号：31222319】双曲线y21的渐近线为y，已知一条渐近线为xy0，即yx，因为a0，所以，所以a.8(2016山东高考)已知双曲线E：1(a0，b0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|3|BC|，则E的离心率是_2如图，由题意知|AB|，|BC|2c.又2|AB|3|BC|，232c，即2b23ac，2(c2a2)3ac，两边同除以a2，并整理得2e23e20，解得e2(负值舍去)三、解答题9已知椭圆D：1与圆M：x2(y5)29，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程. 【导学号：31222320】解椭圆D的两个焦点为F1(5,0)，F2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c5.3分设双曲线G的方程为1(a0，b0)，渐近线方程为bxay0且a2b225，8分又圆心M(0,5)到两条渐近线的距离为r3.3，得a3，b4，10分双曲线G的方程为1.12分10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)，点M(3，m)在双曲线上(1)求双曲线的方程；(2)求证：0；(3)求F1MF2的面积. 【导学号：31222321】解(1)e，则双曲线的实轴、虚轴相等设双曲线方程为x2y2.2分过点(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.4分(2)证明：(32，m)，(23，m)(32)(32)m23m2.6分M点在双曲线上，9m26，即m230，0.8分(3)F1MF2的底|F1F2|4.由(2)知m.10分F1MF2的高h|m|，SF1MF246.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2017河南中原名校联考)过双曲线1(a0，b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于A，B两点，若OAB的面积为，则双曲线的离心率为()A.B.C.D.D由题意可求得|AB|，所以SOABc，整理得.因此e.2(2017天津河西区质检)已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x2)2y23相切，则双曲线的方程为_x21由双曲线的渐近线yx，即bxay0与圆(x2)2y23相切，则b23a2.又双曲线的一个焦点为F(2,0)，a2b24，联立，解得a21，b23.故所求双曲线的方程为x21.3已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与