广义Γ-环上模的Morita结构及其应用.pdf

第 3 4卷第 3期 上 海 理 工 大 学 学 报 J Un i v e r s it y o f S h a n g h a i f o r S c ie n c e a n d T e c h n o l o g y Vo 1 3 4 No 3 2 0 1 2 文章编号 1 0 0 7 6 7 3 5 2 0 1 2 0 3 0 2 8 1 0 3 广义 一 环上模 的 Mo r it a结构及其应用 俞淑萍 上海医疗器械 高等专科学校 基础部 上海2 0 0 0 9 3 摘要 引进广义 r一 环上模的 Mo r it a结构概念 建立模 的 Mo r it a结构理论及其构造 M 应用它们 给 出左 右 A r t in单广义 r一 环结构定理的证明 关键词 广义 r一 环 投射模 Mo r it a结构 构造 M 中图分类号 0 1 5 3 3 文献标志码 A Mor it a s t r uc t ur e o f Ge ne r a liz e d F r ings a nd I t s Applic at io ns Y U S h u p i n g B a s ic C o ll e g e S h a n g h a i Me d ic a l I n s t r ume nt a t io n C o ll e g e S h a n g h a i 2 0 0 0 9 3 C h ina Ab s t r a c t Th e c o n c e p t o f Mo r it a s t r u c t u r e o f mo d u l e o n g e n e r a li z e d F r in g s wa s i n t r o d u c e d a n d it s t h e o r y a n d s t r u c t u r e M we r e c o n s t r u c t e d O n t h is b a s i s a n e w p r o o f o f t h e s t r u c t u r e t h e o r e m wh ic h i s o n le f t o r r ig h t k r t i n s imp le g e n e r a liz e d r r in g s wa s p r o v i d e d K e y w o r d s g e n e r a l iz e d F r in g s p r o j e c t mo d u l e Mo r it a s t r u c t u r e s t r u c t u r e M 文献 1 引进广义 r一 环 本文研究这种环上模 的 Mo r it a结构及其应用 该问题迄今 尚未有人讨论 过 本文中出现的广义 r一 环R均有 a一 单位元 V a r 设 M 为 R一 右模 N 为 R 一 左模 H o m M N 表示 M 到N 的模同态集 E n d M 表示模 M 自同 态集 本文中出现的不加定义 的概念和符号见文献 厂 1 2 1 广义 j 1 一环上模的Mo r it a 结构定义 根据结合环上模的 Mo r i t a 理论 可 以定义广义 r一 环R上 的模 a一 自由投射模 投射生成模及 一 张量积等概念 本文省略这些概念的定义过程 直接 利用这些概念 并不加证 明地给出广义 厂一 环 R 上 模的相应结果 定理 1 设 P为 R一 模 则下列条件等价 a P为投射模 b 任一短 正合列 0 一 M N P一0是 点分 裂 的 C P为 a一 自由模的直和因子 即存在 a 一自由 模 F与R模 P 使 P oP F 定理 2 R 一 模 P为投射模 的充分必要条件是 存在集 l E A P l A 三P H o m PR RR 使得对 任 意 X P 几 乎 有 0 且 a 从而为有限和 收稿 日期 2 0 1 1 0 3 1 0 作者简介 俞淑萍 1 9 6 1一 女 讲师 研究方向 序半群 E ma il y u s p s mi c e d u c n 上 海 理 工 大 学 学 报 2 0 1 2年 第 3 4卷 定理 1和定理 2可由广义 r一 环上模 的运算特 性 仿照文献 3 4 中结合环相应结果 的证明即可 证得 本文省略它们的证明 定义 1 设 R R 为广义 I 1 一环 M R MR M R M 兄 若有 R R 一 同态r 和R 同态 为 r M M R m o m m m M o M R m o m m m 它们满足 任意 y EM Y EM a 口 x a Y b d a y 即下面的两个同态映射图 1 a 和图 l b 可交 换 则称 R R M M r 为一个 Mo r it a结构 M固 M M f M M 1 R 标准 同构 a 与条件a 对应的同态映射交换 图 肼 M 1 固 f 固 1 jIf R O M 标准同构 b 与条件b 对应的同态映射交换图 图 1 同态映射交换 图 Fig 1 Ho mo mo r p hic fi g u r e 2 构造 M 标准同构 R M 标准同构 定理 3 设 M M 为广义 r一 环 R 上的 右 模 从 M 出发构造它的一个 Mo r it a 结构 并称之为 构造 M 证 明 令M Ho m MR RR R E n d M 分别规定 以下情形 情形 1 V口E F 1 C R 设 1 2 R 卢 F mEM 规定 1 P r 2 m 1 2 p l 1 2 m fl l 1 m m 1 1 则对任意 v Er ER 1 P r 2 l 2 m 1 1 2 卯 a 1 x fl l 1 2 竹 1 p l 1 2 m fl l 1 P r 2 m 显 然 1 2 E E n d M 故 1 2 E n d M 易验证 R 关 于这个结 构构 成广 义 r 一 环 1 为 R 的 a 一的单位元 且l C R 为区别于环 E n d MR 将这个 广义 r一 环 R 记 为 E n d r MR 即 R E n d MR 特 别 地 若 仅 对 a一而 言 即 F 7 a 就 得 到广 义 a一环 R E n d r M R 情形 2 若 1 E C R 口E r 设 1 2 R l 9 I 1 mE M 规定 1 2 m 1 2 mP 1 m 2 则 R 也为广义 I 1 一 环 情形 3 在情形 1中 当 r R m EM P Er 时 规定 raP 1 3 则 MR 为左R 模 即 M R MR 情形 4 在情形 2中 当 R m EM 9 r 时 规定 r t m 4 则 MR为R 模 即 M R MR 情形 5 在情形 1中 当 M R r时 规定 Y P r m Y r t 1 全 r P m 则 M 且 M R M壹 情形 6 在情形 2中 当 M R I 1 时 规定 P r m m m 全 r P m 6 则 M R M盍 对于情形 1与情形 2有下面的性质 a Y m l m 2 Y m 1 Y m 2 Y l m m m b Y m P r Y m 3 r r P y m r P Y m c Y m Y P r m 对于情形 1 3 5 因 1 C R 1 E C R 故 a 一 张量积就是张量积 令 r M oR M R r m Y m M oR M 一R 12 m Y E m Y 其中 E m Y m1 一 讹 Y m1 讹 Y m1 则 r为R R一 模 同态 而 为R 模 同态 因 E m Y m1 ma Y m1 E m Y a 1 E m Y 3 a l ml E m Y ot m1 故E m Y a m1 ma Y m1 同样 有 m y 3 m a y 故 由定 义 1可 知 R R 第 3 期 俞淑萍 广义 工 1 一 环上模的Mo r i t a 结构及其应用 E n d r MR M M r 为一个 Mo r it a 结构 对于 情形 2 4 6 可 以取 a一张 量 积 作 同态 映射 r M o口兄 M R r Y o m Y m M M 一R m Y 其 中 E m Y 1 一 ma Y m1 同样 R R M M r 为一个 Mo r it a结构 综合上述隋形 从 M 出发构造获得的 Mo r i t a 结构 R R M M r 称为 M 的构造 仍记为 M 3 构造 M 的性质和应用 先证明构造 M 有以下性质 定理 4 在构造 M 中 若 r 是单射 则 a MR R M M 尺 R M 均是投射模 b r 是同构映射 C 映 射 f X f c M R g卜 是 M 到R M 的双模同构映射 d C R 与 C R 同构 证明仿照文献 4 可证得结论 a d 本文省 略证明 现应用定理 4 给出左 右 A r t i n单广义 厂一 环 结构定理的另一个证明 定理 5 设 R 为广义 r一 环 则下列条件等价 a R 为左 右 A r t i n单 的 1 b R为单 的且含极小右理想 C L 竺 D R 其 中 L 为 R 的左 一 算子 环 R 为R 的右 a 一 算子环 V a r D 为 除环 D 上 的7 t阶方阵环 证 明a b 显 然 b c 设 R 有极小右理想 仿照文献 3 的引 理 1可得 存 在 e R e r 使得 f e e 1 1 e 1 B 1 且 R 有极小右理想 的直和分解 R e 1 e 1 R e 2 2 R e e R 其中 e i e e e i R i 1 2 均为极小右理想 因此 作为 右 一 模 R为既约右 R一 模 的直和 且 为 的直 和因子 又显 然 为有 限生成 的 而 R 为 a一自由 模 于是 由定理 1可知 J为有限生成投射模 由定 理 5可知 r 1 0 由 r为单 的 可知 r R 即 为投射生成模 按前文构造 M 则有 R R E n d r I R I I Ho m I R RR r 是一个 Mo r it a结构 现按情形 1 3 5下 的构造 M 与情形 2 4 6下 的构造 M 分别证 明定理 5中的 C 成立 若 M 是情形 1 3 5下的构造 则 由 r R 与 z 的定义可知 均为满射 故定理 1中各 结论成立 因 R 有13 单位元 1 V a r 由式 1 3 5 可知 R E n d I R E n d I R 且 R 为除 环 由定理 4得 为有 限生成右 R 一模 且 L E n d R E n d 矗 D 存在除环 D与正数 又显 然有 R L 故有 E n d R E n d 磊 若 M 是情形 2 4 6 下 的构造 则 由式 2 4 6 可知 1 C R r 但 由情形 2 1 C R 显 然 壶 有 意义 此 时亦 可 证 E n d R E n d R 从而式 5 成立 事实上 设 E n d R 显然 有 E n d I k 反之 设 5 9 E n d I k V m R m 9 m 口 r 对 V m m d 1 m 1 又显然 E n d 所 以 EE n d 壹 于是 E n d 矗 E n d R c a 因 R D 由文献 1 可 知 R 为右 A r t in 单 的 同样 因 R D 可知 R 为左 A r t i n单 的 故 R为左 右 A r t i n单 的 现给出一实例说明定理 5的应用 例 1 取除环 D上 n阶方阵环R D r 口 D 1 a l D d d i a g a M R R E n d M R M Ho rn M R RR r 如前文中定义 由定理 3得 R R M M r 为 M 的构造M 且满足定理 5中的条件 C 故 由 定理 5可 知 R D 是 一 个 左 右 A r t in单 的 广 义r一 环 参考文献 1 高振林 广义 r一环的交换条件E J 曲阜师范大学学 报 1 9 8 7 1 3 3 2 0 5 2 0 8 I 2 I Ga o Z L O n Re e s ma t r i x r e p r e s e n t a t io n s o f a b u n d a n t s e mig r o u p s u n t r i a d e q u a t e t r a n s u e r s a l s J C o mmu n Ko