导线网不闭合的问题.pdf

导线网不闭合的问题 新 加坡 W i l l i e Ta n 瑚 一 由于取样的分布是来知的 所以用缠1 生 闭合差与导线全长之比作为导线测量精度的表选式 理 论根据不足 本文提出了一种眦线性闭台差的渐近分布为基础的拙台 t 检验 前 言 导线平差常常 用两种 众 所 周 知的方 法进 行 即 B o wd i t e h平 差法和最 小二 乘法 前者 计算比较简单 所以得到通用 而后者理论上 较为完善 但计算较繁琐 随着多功能的微机 和小型计算机 的出现 B o wd i t e h法 的计算方 面的 优点 已经 被湮 埋 了 这 里不 打算对此问题 进行讨 论 但是 必须注意 最小二 乘法的优 点在于 在无偏 估计娄中 其估计 值是 最佳 线性 无 偏估计值 由于 这个特性 人 们可 以肯定 这 种估计值具有 由R a o Cr a mc r 不等式推导获取 的 最小方差 尤 其是 包括作出不 正确决 策的 风 险在 整个参数空 间是有 界 的 另 一 方 面 Bo wd i t e h法不 具有 这 些特性 人 们或许 面 临 着 带有 无 界风险估 计的问题 显然 由国家主 管部 门的 观点来 看 是不 愿这样做的 因为传 统上 都反 对冒风险 不 管我 们优先选 择哪一种方法 最好有一 个衡量 闭合上 的欠缺 的标 准 以便把不够标准 的测量结果排 除掉 在 最 小 二 乘 法平差情况 下 一种方法是利 用多重决定的系数 在统 计 文献里通 常标 注为 这是一种很好 的衡 量 拟 合质 量的 量 且仅仅是一个 O与 1之 间的数 字 一个好 的拟合将 显示 接近于i 但 这个 量在测量中并不符合要求 因为测量工作往往 非 常精确 以致许多经过最小二乘 法平差的 网 具有大于 0 9 9的 摄影测量工作者常引用 另一种量 它是由平均点位误差与目标 最大尺 度之比来定义的 这种量有任意性 其理论根 据不 足 对 B o w d i t e h平差而言 为简单起见 我 们将忽略其它有关方强 如坐标增量配赋法 用线性 闭合差 与导线全长之 比来 表达导线 测量 的精度是很通用的 的确 许多权藏人士B 用 这些比率来划分测量工作 从中消除不符合标 准的测量结果 但是这种方接也有任意性 尤 其是 它缺乏理 论 基 础 J o n e s 1 9 7 0 曾经证 明 在导线坝 I 量中有一个小的闭合羞并不能可 靠地保证 导线 各酒I 站 已经 精确地定位 了 我们之所以注意闭合差 并不是把它本身 作为各个测站的点位精度的一种衡量 而是作 为导线不闭合的一种总体的衡量 以便有关当 局 能够根据合乎实际而假 设的观测误差来摈 弃 不合标准的测量成果 对点位精度而言 人们 需要知道各单个估计量的取样分布 并且总是 要 应用最小二乘法 但是 最 小二乘法估计量 的使用及其取样分布可能不方便 因此 最好 找出一种简单的统计量 由这种统计量所有 的 铡量结果都可能面临被摈弃的机遇 而不管所 使 用的平差方法为何 本文的研 究正 是这种意 图的尝试 x 检 验 考察图 1 所 示的一般导线网 在方位角的 闭合差 已经分配到 各观测角 之后 线 性闭台差 有 其分量 M f e b s 卢 一 一X 2 1 I l 维普资讯 M E s i n 卢 一 1 一l t 2 M M i M 3 式中 这里和下面除另有规塞外 的总巍是从 2 加到 n 一2 n 是测站数 并 是点的坐标 值 口是 观测角 卢是 方位角 假定 口与 f不 相关 第一个和最后一个方位角及其相关测站 的坐标是已知的 一 一 图 1 具 有 涮站 的 一般 导 线网 模 拟 网只 有 8站 现在 需要 确定 闭合差分 量 的 分 布 由于 1 式的形式复杂 难于推导出确切的取样 分布 因此 另一种方法是依靠大样本的分布 特 性 或渐近的 结果 由于 1 式是部分坐 标的臻性组台 根据中心极限定理 M 是 渐 近正态分布 其平均值为零 未知方差 为 o 把 1 式扩展为台劳级数 可写成 o 口 c o s Og l P OOg l D 4 式中 J 是测量 长度 的方差 g是 等于 1 式右边的一个函数 卢是 方位角向量 C是具 有 典型元素 e o v 6 6 的协方差阵 一 是转置符号 为简单起见 假定 C在 4 式 中为常数 4 式的更通用的形式 是 加上 脚标 f 并 且把它放到和号之内 但是 这将 使情 况复 杂化 与欲推 导一个简单 统计量的 目 标不 一 致 我 们要寻找钧是一种近 似方 法 而 且测得距离的方法恒定这一假设也不算过于严 格 4 式中 除C外所有 来知参数都可 以进 行 估计 为了求出C 首先请注意 经过推算可得 卢 土 f 一1 1 8 0 6 式 的 总和是从 2到 用 6 式得 0 v E f 壶 0 一 壶 E O 1 f 圭 0 1 r 1 一 E E 0 1 Y a r I E I I j J L t i J 7 式中E表示期 望值 最后一行是通过 分解 第二 个方括 号的总和 而得 出的 以便使 t能从 2列 i 然 后再 从f l 到 因此 可 以获得协方 差阵 但是 这种 方法的应用需要 知道 各 个 日 角的方 差情况 如 果这个要求得 到放 宽 使得 各测站 的观测角的方差为常数 则得 0 0 l 0 1 O 0 1 2 3 l 0 1 2 3 O d 行 列式 8 式 中 是 各观测 角 0的常方差 因此 4 式 可改写为 o E c 0 s 卢 43 a a 卢 a a g 同 理 盯 E s i n 卢 o a a 卢 口 a a 卢 如 式中 h是等于 2 式右边的 函数 这两个方 程的求 解是很简单的 最 后 M 2 u l M 口 1 1 的渐近分布是自由度为 2的 分 布 应 当 注 意 在 1 I 式中近似方差取 代了真实 的未知 方差 通 常 测最 当局 应负责 为谩 I 量等级的 划分 制定标 准 正如 上面所 述 这 常常用闭合差 与 导线 全长 之 比 作 为 表 达 式 如 1 1 O 0 0 0 卢 口 1 8 0 5 原文误为 译注 暑 q 2 2 3 O 维普资讯 1 5 0 0 0 0 等等 根据上面提到的理由 这显然 是不够理想的 如果采用 1 1 式 则将根据 观j螬 I 角度和距离的标准差进行新绚拇准分受 如一等为 3 二等为 一 I一 1 0 等等 j 实倒 作为一 个例 子 请看 图 I中的 导线 网 它 有 下列数 据 方 位 角 距 离 m i 1 4i 27t 32 一 2 1 29 0 9 28 3 30 02 7 3 1 52 2 7 1 4 1 6 8 91 3 4 1 36 0 5 3 0 4 2 8 41 9 5 1 45 3 7 56 231 08 4 6 1 2 6 4 5 O 2 2 g i4 5 6 9 7 1 01 3 0t 38 1 t M x 0 2 4 6 m M r 一 0 2 0 8 m 注意 方 位角是分配 了闭 合差 后 由观测 角计算 所得 假定有关当局要求这种铡置必须附加下 剜标 准 口 0 0 2 0 n l 及 b 口 2 0 我 们感兴趣的是这种测 量是否满足这个要 求 用 9 式和 1 O 式得 E e o s 3 3 9 5 I E s i n 3 6 0 5 a g ae a h 8 一 2 s i n卢2 一 3 s i n a 日s i n 日 2 c o s 卢2 s e O 口3 B cos B r 2 55 9 7 8 1 一 2 97 1 1 30 4 l 2 3 6 0 因此 由 9 式和 1 O 式得 口 0 O 2 3 3 g 5 0 0 2 0 0 0 2 0 0 2 3 6 0 5 0 0 2 2 0 0 2 3 I 用 1 D 式得 M or M f a 4 7 6 该值小于从 X 分 布 表 中查取的自由度为 2 显著水平为 0 0 5的 临界值 5 9 9 因 此 可 以 得 出结论 闭台差 是可 以接受的 作为 另一 个 例子 假 定标 准建立在 以下较高水 平 n 口 0 0 1 m 及 6 口 1 0 1 1 式的计算值为1 8 5 4 大干 5 9 9 的临界 值 因此 这种测量在新的 标 准 是 不能按受 的 蠢特卡罗 M o n t e C a r l o 横 c I 由于 闭台差分量的分布仅仅是渐近的 我 们为图 1中所示的导线提供蒙特卡罗模拟 对 大样 本母 体而言 就没有 必要进 行模拟 但 类 似图 l中的小导线 就常常遇 到此 类模拟 模 拟 包括形成一种 虚 构 的角度观测 和 长 度 观 测 它们都是正态分布 其标准差分 q 为 2 O 和 0 O 2 O m 然 后 从这些角度计算方位角 最 后计 算线 性 闭合燕分量 总之 考 虑 到样本 容量很小 这种 结果还是令人鼓舞的 结论 在制定测量标 准时 最好是采用这 样一种 方法 它在整个参数空间怍出不正确决策的风 险 很小 如 果制定标 准的 取样分布是 已知的 至少是近似 已知的 那 么这 样做是可能的 这 下转封四页 因原文遗蒲图 此扯碚有删节 译注 1 2 3 4 5 1 2 3 4 4 l 2 3 3 3 1 2 2 2 2 l l 1 l 1 I l 船 r 维普资讯 上接 第 2 1页 样 我 们可 根据简单统计方法做 出关于测 量质 量的判 断 显然 由于不 知道取 样分布 生产 中规定的 1 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0等 形 式的 精度 就不能 满足这种 要求 本文建议的方 法是 对传 统方法的一种改 进 计算简单 由于这种标 准 是 以测 得的 角度 和距离的标准差为基 础的 我 们就能够 更好地 逼真 地制定一个 足够 高并且能 够达 到的标 准 使用 检 验时 需 要 澄 清一 系列误 解 这些结果 根据中心极限定理仅 仅 是渐 近的 但 是 即使对小导线 网而言 在相 当一 般的 条件 下 其样本分布很快趋于正态性 并且模 拟结 果 令人抱有希 望 线性闭合差分量的方差仅仅 是近 似的 因此 其质量取决于样本的容量 尽管有这些不利因素 它仍然不失为对使用一 个 比率法 的一种改进 因为这个 比率的 分布 我 们所 知甚 少 参考文献 P B J o n e s I 9 7 0 Th e No t i o n of a Pe r mi s s i b l e M i s e l os e i n Tr a v e r s i n g t h e Aa s t r a l i a n Su r v e y or V 2 3 3 P I 8 4 20 7 愿簟 澳大利亚测量 员 1 9 8 9年第 e期 汪恚 良译阵 控 测 绘译丛 征稿简则 1 测绘 译丛 是 技术性 刊物 本刊专 门译 载国外有关 大地测量 摄影测量与遥感 地图制图 普通 测量 工 程测量 地 籍测量 测绘仪器等方面 的 文章 介 绍国外新技术 新方法 新理论 新进 展以及生产 教学 和管理经验 适 当报导 国外测 绘科 技发 展方 向和 学术动态 2 选题 必须取 自国外有 关 测绘 科学 技术的公开出叛物