数学(老师的饭碗2).doc

数学综合训练(三)1已知定点，N是圆上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（ B ）A椭圆B双曲线C抛物线D圆2已知函数，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且，不等式恒成立，则实数a的取值范围是 x15 。3对于连续函数在闭区间上的最大值称为在闭区间上的“绝对差”，记为，则= 4对有10个元素的总体1,2,3，10进行抽样，先将总体分成两个子总体A1,2,3,4和B5,6,7,8,9,10，再从A和B中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P15，所有Pij（1ij10）的和等于105设x，y，z为实数，则的最大值为 26设函数。（1）求函数单调区间； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）对任意n的个正整数 （1）求证：（2）求证：6（I）当时，在上是增函数当时，令得若则，从而在区间上是增函数若则，从而在区间上是减函数综上可知：当时，在区间上是增函数。当时，在区间上是增函数，在区间上是减函数（II）由（I）可知：当时，不恒成立又当时，在点处取最大值，且令得故若对恒成立，则的取值范围是（III）证明：（1）由（II）知：当时恒有成立即（2）由（1）知：； ； 把以上个式子相乘得,故7已知数列an满足（1）若方程的解称为函数的不动点，求的不动点的值；（2）若，求数列n的通项（3）当时，求证：7解：（1）由方程得，解得（2）两式相除得即由可以得到，则又得，（）。（3）当时，当时，= 8.已知实数上的增函数，设函数（1）求a的值并写出的表达式； （2）求证：当； （3）设是否存在相等的两项？若存在，求出所有相等的两项；若不存在，请说明理由。8.9 如图，过曲线：上一点作曲线的切线交轴于点，又过作 轴的垂线交曲线于点，然后再过作曲线的切线交轴于点 ，又过作轴的垂线交曲线于点，以此类推，过点的切线 与轴相交于点，再过点作轴的垂线交曲线于点（N） (1) 求、及数列的通项公式； (2) 设曲线与切线及直线所围成的图形面积为，求的表达式； (3) 在满足(2)的条件下, 若数列的前项和为，求证：N.(1) 解: 由，设直线的斜率为，则.直线的方程为.令，得， ， .直线的方程为.令，得. 一般地，直线的方程为，由于点在直线上，.数列是首项为，公差为的等差数列. （2）解： . （3）证明：. ，. 要证明，只要证明，即只要证明 证法1：（数学归纳法） 当时，显然成立； 假设时，成立，则当时，而.这说明，时，不等式也成立. 由知不等式对一切N都成立. 证法2: . 不等式对一切N都成立. 证法3:令,则,当时, ,函数在上单调递增.当时, .N, 即.不等式对一切N都成立.10已知双曲线与椭圆有公共焦点，且以抛物线的准线为双曲线的一条准线动直线过双曲线的右焦点且与双曲线的右支交于两点（1）求双曲线的方程；（2）无论直线绕点怎样转动，在双曲线上是否总存在定点，使恒成立？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）设，则由题意有： ，故双曲线的方程为， （2）解法一：由（1）得点为当直线l的斜率存在时，设直线方程，将方程与双曲线方程联立消去得：， 解得 假设双曲线上存在定点，使恒成立，设为则：，故得：对任意的恒成立，解得当点为时，恒成立；当直线l的斜率不存在时，由，知点使得也成立又因为点是双曲线的左顶点，所以双曲线上存在定点，使恒成立解法二（略解）：当直线l的斜率不存在时，由，且点在双曲线上可求得，当直线l的斜率存在时，将，代入，经计算发现对任意的恒成立，从而恒有成立因而双曲线上存在定点，使恒成立11.定义 （1）令函数的图象为曲线c1，曲线c1与y轴交于点A（0，m），过坐标原点O作曲线c1的切线，切点为B（n，t）（n0）设曲线c1 在点A、B之间的曲线段与OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值； （2）当解：（1）故A（0，9），过O作C1的切线，切点为，解得B（3，6） （2）令令单调递减。上单调递减。12已知数列中，且w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 求数列的通项公式；(2) 令，数列的前项和为，试比较与的大小；(3) 令，数列的前项和为求证：对任意，都有 解：(1)由题知， ， 由累加法，当时，代入，得时，又，故（2）时，方法1：当时，；当时，；当时，猜想当时，下面用数学归纳法证明：当时，由上可知成立；假设时，上式成立，即.当时，左边，所以当时成立由可知当时, 综上所述：当时,；当时, ；当时,方法2：记函数所以 则所以由于，此时；，此时；，此时；由于，故时，此时 综上所述：当时，；当时,（3）当时，所以当时且故对，得证 13.已知函数 (I)若函数在定义域内单调递增，求的取值范围； (II)若且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围； (III)设各项为正的数列满足：求证：解：（1）依题意在时恒成立，即在恒成立.则在恒成立，即 当时，取最小值的取值范围是 （3）设，则在为减函数，且故当时有.假设则，故从而即， 14.设是定义在上的函数，用分点 将区间任意划分成个小区间，如果存在一个常数，使得和式（）恒成立，则称为上的有界变差函数.（1）函数在上是否为有界变差函数？请说明理由；（2）设函数是上的单调递减函数，证明：为上的有界变差函数；（3）若定义在上的函数满足：存在常数，使得对于任意的、 时，.证明：为上的有界变差函数.解：（1）函数在上是增函数， 对任意划分， ，取常数，则和式（）恒成立，所以函数在上是有界变差函数. （2）函数是上的单调递减函数，且对任意划分， ，一定存在一个常数，使，故为上的有界变差函数. （3）对任意划分，取常