江苏省南京师大附中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷.doc

2014-2015学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置）1（3分）设全集U=0，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4，则（A）（B）=2（3分）函数y=log2（3x2）的定义域是3（3分）如图，设实数a，b，c，d0，且不等于1，曲线，分别表示函数y=ax，y=bx，y=logcx，y=logdx在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d的大小顺序为4（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有人5（3分）已知幂函数y=x的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是6（3分）已知函数f（n）=，其中nN，则f（8）等于7（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=8（3分）函数y=lg（x22x）的单调递增区间是9（3分）f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，若f（x）f（2x），则x的取值范围是10（3分）（log43+log83）（log32+log92）+log=11（3分）函数f（x）=xlog2x3的零点所在区间为（k，k+1）（kZ），则k的值是12（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是13（3分）若函数y=x23x4的定义域为0，m，值域为，4，则m的取值范围是14（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x（0，1）时，f（x）=2x2，则f（log6）=二、解答题：（本大题共6小题，共计58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.）15（8分）集合A=x|3x10，B=x|2x7，C=x|xa，（1）求AB；（2）求（RA）B；（3）若AC，求a的取值范围16（8分）函数y=a2x+2ax1（a0且a1）在区间1，1上有最大值14，试求a的值17（10分）已知a为实数，当a分别为何值时，关于x的方程|x26x+8|a=0有两个、三个、四个互不相等的实数根？18（10分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t（0，40，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a0且a1）若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？19（10分）已知函数f（x）=2ax+（aR）（1）当0a时，试判断f（x）在（0，1上的单调性并用定义证明你的结论；（2）对于任意的x（0，1，使得f（x）6恒成立，求实数a的取值范围20（12分）已知函数f（x）=lg（1）判断函数f（x）的奇偶性；（2）若f（x）1，求实数x的取值范围；（3）关于x的方程10f（x）=ax有实数解，求实数a的取值范围2014-2015学年江苏省南京师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题；每小题3分，共42分，把答案填在答题卡的相应位置）1（3分）设全集U=0，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4，则（A）（B）=0，1，4考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：由全集U，以及A，B，求出A的补集与B的补集，找出两补集的并集即可解答：解：全集U=0，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4，A=4，B=0，1，则（A）（B）=0，1，4，故答案为：0，1，4点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2（3分）函数y=log2（3x2）的定义域是x|x考点：函数的定义域及其求法 分析：对数函数的真数一定要大于0，即，3x20，从而求出x的取值范围解答：解：因为3x20，得到x故答案为：x|x点评：对数函数定义域经常考，注意真数一定要大于03（3分）如图，设实数a，b，c，d0，且不等于1，曲线，分别表示函数y=ax，y=bx，y=logcx，y=logdx在同一坐标系中的图象，则a，b，c，d的大小顺序为dcab考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：根据指数函数的和对数的函数的图象和性质判断即可解答：解：由函数的图象可得y=ax 是减函数，y=bx是减函数，故底数a，b都是大于0且小于1的实数作出直线x=1和函数图象的交点，可得ab，故0ba1由函数的图象可得函数y=logcx 和y=logdx是增函数，故底数c，d都是大于1的实数作出直线y=1和函数图象的交点，可得dc，故有 dc1综上可得 dcab故答案为：dcab点评：本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，属于基础题4（3分）某高级中学高一特长班有100名学生，其中学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，而学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，那么同时学绘画和音乐的学生有33人考点：Venn图表达集合的关系及运算 专题：集合分析：根据学生学特长之间的关系即可得到结论解答：解：学体育的学生既不能学绘画，也不能学音乐，人数是21人，学绘画和学音乐的人数是10021=79人，学绘画的学生有67人，学音乐的学生有45人，同时学绘画和音乐的学生有67+4579=33人，故答案为：33点评：本题考查两个集合的交集、并集、补集的定义，比较基础5（3分）已知幂函数y=x的图象过点（8，4），则这个函数的解析式是f（x）=考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域 专题：函数的性质及应用分析：设幂函数f（x）=x，把点（8，4）代入即可解出解答：解：设幂函数f（x）=x，把点（8，4）代入可得4=8，解得=f（x）=故答案为：f（x）=点评：本题考查了幂函数的定义，属于基础题6（3分）已知函数f（n）=，其中nN，则f（8）等于7考点：函数的值 专题：计算题分析：根据解析式先求出f（8）=ff（13），依次再求出f（13）和ff（13），即得到所求的函数值解答：解：函数f（n）=，f（8）=ff（13），则f（13）=133=10，f（8）=ff（13）=103=7，故答案为：7点评：本题是分段函数求值问题，对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解7（3分）设lg2=a，lg3=b，则log512=考点：对数的运算性质 专题：计算题分析：利用换底公式进行转化求解是解决本题的关键，然后将所得分式的分子与分母的真数化为2，3的乘积的形式进行代入计算出结果解答：解：log512=故答案为：点评：本题考查对数换底公式的运用，考查对数运算性质的应用，考查学生等价转化的能力和运算化简得能力8（3分）函数y=lg（x22x）的单调递增区间是（2，+）考点：对数函数的单调性与特殊点 专题：计算题分析：由x22x0，得x0或x2，u=x22x在（2，+）内单调递增，而y=lgu是增函数，由“同增异减”，知函数y=lg（x22x）的单调递增区间是（2，+）解答：解：由x22x0，得x0或x2，u=x22x在（2，+）内单调递增，而y=lgu是增函数，由“同增异减”，知函数y=lg（x22x）的单调递增区间是（2，+）故答案为：（2，+）点评：本题考查对数函数的单调性和应用，解题时要认真审题，注意灵活运用“同增异减”求解复合函数的单调区间的方法9（3分）f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，若f（x）f（2x），则x的取值范围是（1，2）考点：函数单调性的性质 专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用分析：由于f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，则f（x）f（2x），等价为，解出即可解答：解：由于f（x）是定义在（0，+）上的单调增函数，则f（x）f（2x），等价为，解得，即有1x2则解集为（1，2）故答案为：（1，2）点评：本题考查函数的单调性的运用：解不等式，考查运算能力，属于基础题10（3分）（log43+log83）（log32+log92）+log=考点：对数的运算性质 专题：函数的性质及应用分析：利用对数的运算法则和换底公式求解解答：解：（log43+log83）（log32+log92）+log=（log6427+log649）（log94+log92）+=log64243log98+=1=故答案为：点评：本题考查对数式化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意对数性质和运算法则的合理运用11（3分）函数f（x）=xlog2x3的零点所在区间为（k，k+1）（kZ），则k的值是2考点：函数零点的判定定理 专题：函数的性质及应用分析：求f（x），判断函数f（x）取得最值的情况，以及取得零点的情况，及零点的个数，并且能够得到函数f（x）只有一个零点，并且是在（2ln2，+）内容易判断f（2）0，f（3）0，所以零点在区间（2，3）内，所以根据已知f（x）在（k，k+1），kZ，内有零点，所以k=2解答：解：f（x）=ln2+log2x，令f（x）=0得，x=2ln2，且02ln21；x（0，2ln2）时，f（x）0，x（2ln2，+）时，f（x）0；f（x）在（0，2ln2）上单调递减，在（2ln2，+）上单调递增；又x趋向于0时，log2x0，x0，xlog2x0，即函数f（x）在（0，2ln2）内不存在零点；又f（2）=230，f（3）=3log2330；f（x）在区间（2，3）内存在一个零点，且在（2ln2，+）内只有一个零点；由已知f（x）零点所在区间为（k，k+1），（kZ）；k=2故答案为：2点评：考查通过判断函数导数符号判断函数单调性的方法，以及函数零点的概念，以及单调函数取得零点的情况12（3分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，则m的取值范围是0m4考点：一元二次不等式的应用 专题：不等式的解法及应用分析：问题等价于mx2+mx+10对一切xR恒成立，分m=0，和m0两种情况可得答案解答：解：函数f（x）=的定义域是一切实数，mx2+mx+10对一切xR恒成立，当m=0时，上式变为10，恒成立，当m0时，必有，解之可得0m4，综上可得0m4故答案为 0m4点评：本题考查二次函数的性质，涉及函数的定义域和不等式恒成立问题，属基础题13（3分）若函数y=x23x4的定义域为0，m，值域为，4，则m的取值范围是，3考点：二次函数的性质 专题：计算题；数形结合分析：根据函数的函数值f（）=，f（0）=4，结合函数的图象即可求解解答：解：f（x）=x23x4=（x）2，f（）=，又f（0）=4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3m的取值范围是：m3故答案，3点评：本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题14（3分）已知f（x）是R上的奇函数，满足f（x+2）=f（x），当x（0，1）时，f（x）=2x2，则f（log6）=考点：抽象函数及其应用 专题：计算题；函数的性质及应用分析：由题意先判断3log62，从而可知先用f（x+2）=f（x）转化到（1，0），再用奇偶性求函数值即可解答：解：3log62，又f（x+2）=f（x），f（log6）=f（log6+2）=f（log），1log0，0log21，又f（x）是R上的奇函数，f（log）=f（log2）=（2）=（2）=，故答案为：点评：本题考查了抽象函数的应用，属于中档题二、解答题：（本大题共6小题，共计58分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.）15（8分）集合A=x|3x10，B=x|2x7，C=x|xa，（1）求AB；（2）求（RA）B；（3）若AC，求a的取值范围考点：交、并、补集的混合运算 专题：集合分析：（1）由A与B，求出两集合的并集即可；（2）由全集R及A，求出A的补集，找出A补集与B的交集即可；（3）根据A与C的交集不为空集，求出a的范围即可解答：解：（1）A=x|3x10，B=x|2x7，AB=x|2x10；（2）A=x|3x10，B=x|2x7，RA=x|x3或x10，则（RA）B=x|2x3；（3）A=x|3x10，C=x|xa，且AC，a3点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键16（8分）函数y=a2x+2ax1（a0且a1）在区间1，1上有最大值14，试求a的值考点：指数函数综合题 分析：令b=ax构造二次函数y=b2+2b1，然后根据a的不同范围（a1或0a1）确定b的范围后可解解答：解：令b=ax则a2x=b2y=b2+2b1=（b+1）22 对称轴b=1若0a1，则b=ax是减函数，所以a1a所以0ab所以y的图象都在对称轴b=1的右边，开口向上 并且递增所以b=时有最大值所以y=b2+2b1=14b2+2b15=0（b3）（b+5）=0b0，所以 b=3，a=符合0a1若a1则b=ax是增函数，此时0bay的图象仍在对称轴b=1的右边，所以还是增函数b=a时有最大值所以y=b2+2b1=14b0，所以b=a=3，符合a1所以a=或a=3点评：本题主要考查指数函数单调性的问题对于这种类型的题经常转化为二次函数，根据二次函数的图象和性质进行求解17（10分）已知a为实数，当a分别为何值时，关于x的方程|x26x+8|a=0有两个、三个、四个互不相等的实数根？考点：函数的零点与方程根的关系 专题：计算题；作图题；函数的性质及应用分析：方程|x26x+8|a=0的解的个数可转化为函数y=|x26x+8|与y=a的交点的个数，作函数y=|x26x+8|的图象，由数形结合求a解答：解：方程|x26x+8|a=0的解的个数可转化为函数y=|x26x+8|与y=a的交点的个数，作函数y=|x26x+8|的图象如下，故由图象可知，当a=0或a1时，关于x的方程|x26x+8|a=0有两个互不相等的实数根，当a=1时，关于x的方程|x26x+8|a=0有三个互不相等的实数根，当0a1时，关于x的方程|x26x+8|a=0有四个互不相等的实数根点评：本题考查了函数图象的作法及方程的根与函数交点的关系，属于中档题18（10分）某校学生研究性学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化老师讲课开始时学生的兴趣激增，接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散该小组发现注意力指标f（t）与上课时刻第t分钟末的关系如下（t（0，40，设上课开始时，t=0）：f（t）=（a0且a1）若上课后第5分钟末时的注意力指标为140，（1）求a的值；（2）上课后第5分钟末和下课前5分钟末比较，哪个时刻注意力更集中？（3）在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？考点：分段函数的应用 专题：计算题；应用题；函数的性质及应用分析：（1）由题意，10060=140，从而求a的值；（2）上课后第5分钟末时f（5）=140，下课前5分钟末f（35）=1535+640=115，从而可得答案；（3）分别讨论三段函数上f（t）140的解，从而求出f（t）140的解，从而求在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持的时间解答：解：（1）由题意得，当t=5时，f（t）=140，即10060=140，解得，a=4；（2）f（5）=140，f（35）=1535+640=115，由于f（5）f（35），故上课后第5分钟末比下课前5分钟末注意力更集中；（3）当0t10时，由（1）知，f（t）140的解集为5，10，当10t20时，f（t）=340140，成立；当20t40时，15t+640140，故20t，综上所述，5t，故学生的注意力指标至少达到140的时间能保持5=分钟点评：本题考查了分段函数的应用，同时考查了实际问题转化为数学问题的能力，属于中档题19（10分）已知函数f（x）=2ax+（aR）（1）当0a时，试判断f（x）在（0，1上的单调性并用定义证明你的结论；（2）对于任意的x（0，1，使得f（x）6恒成立，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（1）利用定义证明即可，（2）利用导数判断函数的最值，需要分类讨论，问题得以解决解答：解：（1）f（x）在（0，1上的单调性递减，理由如下：设x1，x2（0，1，且x1x2，则f（x1）f（x2）=2ax1+2ax2=2a（x1x2）+=（12ax1x2），x1，x2（0，1，且x1x2，0a，x2x10，0x1x21，02ax1x21，12ax1x20，f（x1）f（x2）0，f（x）在（0，1上的单调性递减，（2）f（x）=2ax+，f（x）=2a=，当a0时，f（x）0，函数f（x）在（0，1单调递减，f（x）min=f（1）=2a6，解得a3，a0时，对于任意的x（0，1，使得f（x）6恒成立，当a0时，令f（x）=0，解得x=，当f（x）0，即x，函数f（x）单调递增，当f（x）0，即0x，函数f（x）单调递减，当1时，即0a时，f（x）在（0，1上的单调性递减，f（x）min=f（1）=2a6恒成立解得a3，当1时，即a时，f（x）在（0，上的单调递减，在（，1）上单调递增，f（x）min=f（）=2a+6恒成立，解得a，综上所述实数a的取值范围为（，+）点评：本题主要考查了函数的单调性和导数与函数的最值问题，以及求参数的取值范围，属于中档题20（12分）已知函数f（