《Matlab数据处理》PPT课件.ppt

第四章MATLAB数据处理 声明和致谢 课件取自网络电子课件 中科院MATLAB课件 只进行了很少的编辑和加工 对不知名的网络电子课件作者表示感谢 主要内容 微积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解概率分布与伪随机数生成数据插值数据拟合 4 1微积分问题的解析解4 1 1极限问题的解析解 单变量函数的极限格式1 L limit fun x x0 格式2 L limit fun x x0 left 或 right 例 试求解极限问题 symsxab f x 1 a x x sin b x L limit f x inf L exp a b例 求解单边极限问题 symsx limit exp x 3 1 1 cos sqrt x sin x x 0 right ans 12 在 0 1 0 1 区间绘制出函数曲线 x 0 1 0 001 0 1 y exp x 3 1 1 cos sqrt x sin x Warning Dividebyzero Type warningoffMATLAB divideByZero tosuppressthiswarning plot x y 0 12 o 4 1 2函数导数的解析解 函数的导数和高阶导数格式 y diff fun x 求导数 默认为1阶 y diff fun x n 求n阶导数例 一阶导数 symsx f sin x x 2 4 x 3 f1 diff f pretty f1 cos x sin x 2x 4 222x 4x 3 x 4x 3 原函数及一阶导数图 x1 0 01 5 y subs f x x1 y1 subs f1 x x1 plot x1 y x1 y1 更高阶导数 tic diff f x 100 tocelapsed time 4 6860 原函数4阶导数 f4 diff f x 4 pretty f4 2sin x cos x 2x 4 sin x 2x 4 4 12 22223x 4x 3 x 4x 3 x 4x 3 3sin x cos x 2x 4 cos x 2x 4 12 24 48 222423 x 4x 3 x 4x 3 x 4x 3 42sin x 2x 4 sin x 2x 4 sin x 24 72 24 252423 x 4x 3 x 4x 3 x 4x 3 多元函数的偏导 格式 f diff diff f x m y n 或f diff diff f y n x m 例 求其偏导数并用图表示 symsxyz x 2 2 x exp x 2 y 2 x y zx simple diff z x zx exp x 2 y 2 x y 2 x 2 2 x 3 x 2 y 4 x 2 2 x y zy diff z y zy x 2 2 x 2 y x exp x 2 y 2 x y 直接绘制三维曲面 x y meshgrid 3 2 3 2 2 2 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y surf x y z axis 33 22 0 71 5 contour x y z 30 holdon 绘制等值线 zx exp x 2 y 2 x y 2 x 2 2 x 3 x 2 y 4 x 2 2 x y zy x x 2 2 y x exp x 2 y 2 x y 偏导的数值解 quiver x y zx zy 绘制引力线 例 symsxyz f sin x 2 y exp x 2 y z 2 df diff diff diff f x 2 y z df simple df pretty df 22222 4zexp xy z cos xy 10cos xy yx 42422422sin xy xy 4cos xy xy sin xy 4 1 3积分问题的解析解 不定积分的推导 格式 F int fun x 例 用diff 函数求其一阶导数 再积分 检验是否可以得出一致的结果 symsx y sin x x 2 4 x 3 y1 diff y y0 int y1 pretty y0 对导数积分sin x sin x 1 2 1 2 x 3x 1 对原函数求4阶导数 再对结果进行4次积分 y4 diff y 4 y0 int int int int y4 pretty simple y0 sin x 2x 4x 3 例 证明 symsax f simple int x 3 cos a x 2 x f 1 16 4 a 3 x 3 sin 2 a x 2 a 4 x 4 6 a 2 x 2 cos 2 a x 6 a x sin 2 a x 3 cos 2 a x 3 a 4 f1 x 4 8 x 3 4 a 3 x 8 a 3 sin 2 a x 3 x 2 8 a 2 3 16 a 4 cos 2 a x simple f f1 求两个结果的差ans 3 16 a 4 定积分与无穷积分计算 格式 I int f x a b 格式 I int f x a inf 例 symsx I1 int exp x 2 2 x 0 1 5 无解I1 1 2 erf 3 4 2 1 2 2 1 2 pi 1 2 vpa I1 70 ans 1 085853317666016569702419076542265042534236293532156326729917229308528 I2 int exp x 2 2 x 0 inf I2 1 2 2 1 2 pi 1 2 多重积分问题的MATLAB求解例 symsxyz f0 4 z exp x 2 y z 2 cos x 2 y 10 cos x 2 y y x 2 4 sin x 2 y x 4 y 2 4 cos x 2 y x 4 y 2 sin x 2 y f1 int f0 z f1 int f1 y f1 int f1 x f1 simple int f1 x f1 exp x 2 y z 2 sin x 2 y f2 int f0 z f2 int f2 x f2 int f2 x f2 simple int f2 y f2 2 exp x 2 y z 2 tan 1 2 x 2 y 1 tan 1 2 x 2 y 2 simple f1 f2 ans 0顺序的改变使化简结果不同于原函数 但其误差为0 表明二者实际完全一致 这是由于积分顺序不同 得不出实际的最简形式 例 symsxyz int int int 4 x z exp x 2 y z 2 x 0 1 y 0 pi z 0 pi ans Ei 1 4 pi log pi eulergamma 2 log 2 pi 2 hypergeom 1 2 pi 2 Ei n z 为指数积分 无解析解 但可求其数值解 vpa ans 60 ans 3 10807940208541272283461464767138521019142306317021863483588 主要内容 微积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解概率分布与伪随机数生成数据插值数据拟合 4 2函数的级数展开与级数求和问题求解 4 2 1Taylor幂级数展开4 2 2Fourier级数展开4 2 3级数求和的计算 4 2 1Taylor幂级数展开4 2 1 1单变量函数的Taylor幂级数展开 例 symsx f sin x x 2 4 x 3 y1 taylor f x 9 pretty y1 22333444087530676515273738645981 3x 4 9x x x x x x x5481972072901224720918540 taylor f x 9 2 ans 1 15 sin 2 1 15 cos 2 8 225 sin 2 x 2 127 6750 sin 2 8 225 cos 2 x 2 2 23 6750 cos 2 628 50625 sin 2 x 2 3 15697 6075000 sin 2 28 50625 cos 2 x 2 4 203 6075000 cos 2 6277 11390625 sin 2 x 2 5 585671 2733750000 sin 2 623 11390625 cos 2 x 2 6 262453 19136250000 cos 2 397361 5125781250 sin 2 x 2 7 875225059 34445250000000 sin 2 131623 35880468750 cos 2 x 2 8 symsa taylor f x 5 a 结果较冗长 显示从略ans sin a a 2 3 4 a cos a sin a a 2 3 4 a 4 2 a a 2 3 4 a x a sin a a 2 3 4 a 1 2 sin a cos a a 2 3 cos a 4 cos a a 4 sin a 2 sin a a a 2 3 4 a 2 4 2 a a 2 3 4 a x a 2 例 对y sinx进行Taylor幂级数展开 并观察不同阶次的近似效果 x0 2 pi 0 01 2 pi y0 sin x0 symsx y sin x plot x0 y0 r axis 2 pi 2 pi 1 5 1 5 holdon forn 8 2 16 p taylor y x n y1 subs p x x0 line x0 y1 endp x 1 6 x 3 1 120 x 5 1 5040 x 7p x 1 6 x 3 1 120 x 5 1 5040 x 7 1 362880 x 9p x 1 6 x 3 1 120 x 5 1 5040 x 7 1 362880 x 9 1 39916800 x 11p x 1 6 x 3 1 120 x 5 1 5040 x 7 1 362880 x 9 1 39916800 x 11 1 6227020800 x 13 p x 1 6 x 3 1 120 x 5 1 5040 x 7 1 362880 x 9 1 39916800 x 11 1 6227020800 x 13 1 1307674368000 x 15 4 2 2级数求和的计算 是在符号工具箱中提供的 例 计算 formatlong sum 2 0 63 数值计算ans 1 844674407370955e 019 sum sym 2 0 200 或symsk symsum 2 k 0 200 把2定义为符号量可使计算更精确ans 3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602751 symsk symsum 2 k 0 200 ans 3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602751 例 试求解无穷级数的和 symsn s symsum 1 3 n 2 3 n 1 n 1 inf 采用符号运算工具箱s 1 3 m 1 10000000 s1 sum 1 3 m 2 3 m 1 数值计算方法 双精度有效位16 大数吃小数 无法精确 formatlong s1 以长型方式显示得出的结果s1 0 33333332222165 例 求解 symsnx s1 symsum 2 2 n 1 2 x 1 2 n 1 n 0 inf simple s1 对结果进行化简 MATLAB6 5及以前版本因本身bug化简很麻烦ans log 2 x 1 2 1 2 1 2 x 1 2 1 2 1 实际应为log x 1 x 例 求 symsmn limit symsum 1 m m 1 n log n n inf ans eulergamma vpa ans 70 显示70位有效数字ans 5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677 4 2 3二元函数的梯度计算 格式 若z矩阵是建立在等间距的形式生成的网格基础上 则实际梯度为 例 计算梯度 绘制引力线图 x y meshgrid 3 2 3 2 2 2 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y fx fy gradient z fx fx 0 2 fy fy 0 2 contour x y z 50 holdon quiver x y fx fy 绘制等高线与引力线图 绘制误差曲面 zx exp x 2 y 2 x y 2 x 2 2 x 3 x 2 y 4 x 2 2 x y zy x x 2 2 y x exp x 2 y 2 x y surf x y abs fx zx axis 33 220 0 08 figure surf x y abs fy zy axis 33 220 0 11 建立一个新图形窗口 为减少误差 对网格加密一倍 x y meshgrid 3 1 3 2 1 2 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y fx fy gradient z fx fx 0 1 fy fy 0 1 zx exp x 2 y 2 x y 2 x 2 2 x 3 x 2 y 4 x 2 2 x y zy x x 2 2 y x exp x 2 y 2 x y surf x y abs fx zx axis 33 220 0 02 figure surf x y abs fy zy axis 33 220 0 06 主要内容 微积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解概率分布与伪随机数生成数据插值数据拟合 4 3概率分布与伪随机数生成4 3 1概率密度函数与分布函数概述 通用函数计算概率密度函数值 函数pdf格式P pdf name K A P pdf name K A B P pdf name K A B C 说明返回在X K处 参数为A B C的概率密度值 对于不同的分布 参数个数是不同 name为分布函数名 例如二项分布 设一次试验 事件Y发生的概率为p 那么 在n次独立重复试验中 事件Y恰好发生K次的概率P K为 P K P X K pdf bino K n p 例 计算正态分布N 0 1 的随机变量X在点0 6578的密度函数值 解 pdf norm 0 6578 0 1 ans 0 3213例 自由度为8的卡方分布 在点2 18处的密度函数值 解 pdf chi2 2 18 8 ans 0 0363 随机变量的累积概率值 分布函数值 通用函数cdf用来计算随机变量的概率之和 累积概率值 函数cdf格式cdf name K A cdf name K A B cdf name K A B C 说明返回以name为分布 随机变量X K的概率之和的累积概率值 name为分布函数名 例 求标准正态分布随机变量X落在区间 0 4 内的概率 解 cdf norm 0 4 0 1 ans 0 6554例 求自由度为16的卡方分布随机变量落在 0 6 91 内的概率 解 cdf chi2 6 91 16 ans 0 0250 随机变量的逆累积分布函数 MATLAB中的逆累积分布函数是已知 求x 命令icdf计算逆累积分布函数格式icdf name K A icdf name K A B icdf name K A B C 说明返回分布为name 参数为a1 a2 a3 累积概率值为P的临界值 这里name与前面相同 如果F cdf name X A B C 则X icdf name F A B C 例 在标准正态分布表中 若已知F 0 6554 求X解 icdf norm 0 6554 0 1 ans 0 3999例 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过1 设计的 设男子身高X 单位 cm 服从正态分布N 175 6 求车门的最低高度 解 设h为车门高度 X为身高 求满足条件F X h 0 01故 h icdf norm 0 99 175 6 h 188 9581 4 3 2常见分布的概率密度函数与分布函数4 3 2 1Poisson分布 其要求x是正整数 其中 x为选定的一组横坐标向量 y为x各点处的概率密度函数值 例 绘制l 1 2 5 10时Poisson分布的概率密度函数与概率分布函数曲线 x 0 15 y1 y2 lam1 1 2 5 10 fori 1 length lam1 y1 y1 poisspdf x lam1 i y2 y2 poisscdf x lam1 i end plot x y1 figure plot x y2 4 3 2 2正态分布 正态分布的概率密度函数为 例 x 5 02 5 y1 y2 mu1 1 0 0 0 1 sig1 1 0 1 1 10 1 sig1 sqrt sig1 fori 1 length mu1 y1 y1 normpdf x mu1 i sig1 i y2 y2 normcdf x mu1 i sig1 i end plot x y1 figure plot x y2 4 3 2 3分布 例 x 0 5 02 5 x eps 0 02 0 5 0 0 02 5 x sort x 替代 y1 y2 a1 1 1 2 1 3 lam1 1 0 5 1 2 1 fori 1 length a1 y1 y1 gampdf x a1 i lam1 i y2 y2 gamcdf x a1 i lam1 i end plot x y1 figure plot x y2 4 3 2 4分布 卡方分布 其为一特殊的分布 a k 2 l 1 2 例 x eps 0 02 0 5 0 0 02 2 x sort x k1 1 2 3 4 5 y1 y2 fori 1 length k1 y1 y1 chi2pdf x k1 i y2 y2 chi2cdf x k1 i end plot x y1 figure plot x y2 4 3 2 5分布 概率密度函数为 其为参数k的函数 且k为正整数 例 x 5 0 02 5 k1 1 2 5 10 y1 y2 fori 1 length k1 y1 y1 tpdf x k1 i y2 y2 tcdf x k1 i end plot x y1 figure plot x y2 4 3 2 6Rayleigh分布 例 x eps 0 02 0 5 0 0 02 5 x sort x b1 5 1 3 5 y1 y2 fori 1 length b1 y1 y1 raylpdf x b1 i y2 y2 raylcdf x b1 i end plot x y1 figure plot x y2 4 3 2 7F分布 其为参数p q的函数 且p q均为正整数 例 分别绘制 p q 为 1 1 2 1 3 1 3 2 4 1 时F分布的概率密度函数与分布函数曲线 x eps 0 02 0 5 0 0 02 1 x sort x p1 12334 q1 11121 y1 y2 fori 1 length p1 y1 y1 fpdf x p1 i q1 i y2 y2 fcdf x p1 i q1 i end plot x y1 figure plot x y2 4 3 3概率问题的求解 图4 9 例 b 1 p1 raylcdf 0 2 b p2 raylcdf 2 b P1 p2 p1P1 0 8449 p1 raylcdf 1 b P2 1 p1P2 0 6065 例 symsxy f x 2 x y 3 P int int f x 0 1 2 y 0 1 2 P 5 192 symsxy f x 2 x y 3 P int int f x 0 1 y 0 2 P 1 4 3 4随机数与伪随机数 例 b 1 p raylrnd 1 30000 1 xx 0 1 4 yy hist p xx hist 找出随机数落入各个子区间的点个数 并由之拟合出生成数据的概率密度 yy yy 30000 0 1 bar xx yy y raylpdf xx 1 line xx y 主要内容 微积分问题的解析解函数的级数展开与级数求和问题求解概率分布与伪随机数生成数据插值数据拟合 一个多项式的幂级数形式可表示为 也可表为嵌套形式或因子形式N阶多项式n个根 其中包含重根和复根 若多项式所有系数均为实数 则全部复根都将以共轭对的形式出现 4 4数据插值4 4 1关于多项式MATLAB命令 幂系数 在MATLAB里 多项式用行向量表示 其元素为多项式的系数 并从左至右按降幂排列 例 被表示为 p 2145 poly2sym p ans 2 x 3 x 2 4 x 5Roots 多项式的零点可用命令roots求的 例 r roots p 得到r 0 2500 1 5612i0 2500 1 5612i 1 0000所有零点由一个列向量给出 poly 由零点可得原始多项式的各系数 但可能相差一个常数倍 例 poly r ans 1 00000 50002 00002 5000注意 若存在重根 这种转换可能会降低精度 例 r roots 1 615 2015 61 r 1 0042 0 0025i1 0042 0 0025i1 0000 0 0049i1 0000 0 0049i0 9958 0 0024i0 9958 0 0024i舍入误差的影响 与计算精度有关 polyval 可用命令polyval计算多项式的值 例 计算y 2 5 c 3 7 2 1 1 xi 2 5 yi polyval c xi yi 23 8125如果xi是含有多个横坐标值的数组 则yi也为与xi长度相同的向量 c 3 7 2 1 1 xi 2 5 3 yi polyval c xi yi 23 812576 0000 polyfit 给定n 1个点将可以唯一确定一个n阶多项式 利用命令polyfit可容易确定多项式的系数 例 x 1 1 2 3 3 9 5 1 y 3 887 4 276 4 651 2 117 a polyfit x y length x 1 a 0 20151 4385 2 74775 4370 poly2sym a ans 403 2000 x 3 2877 2000 x 2 27477 10000 x 5437 1000多项式为Polyfit的第三个参数是多项式的阶数 多项式积分 功能 求多项式积分调用格式 py poly itg p p 被积多项式的系数py 求积后多项式的系数poly itg mfunctionpy poly itg p n length p py p n 1 1 1 0 不包括最后一项积分常数 多项式微分 Polyder 求多项式一阶导数的系数 调用格式为 b polyder c c为多项式y的系数 b是微分后的系数 其值为 两个多项式的和与差 命令poly add 求两个多项式的和 其调用格式为 c poly add a b 多项式a减去b 可表示为 c poly add a b 功能 两个多项式相加调用格式 b poly add p1 p2 b 求和后的系数数组poly add mfunctionp3 poly add p1 p2 n1 length p1 n2 length p2 ifn1 n2p3 p1 p2 endifn1 n2p3 p1 zeros 1 n1 n2 p2 endifn1 n2p3 zeros 1 n2 n1 p1 p2 end m阶多项式与n阶多项式的乘积是d m n阶的多项式 计算系数的MATLAB命令是 c conv a b 多项式除多项式的除法满足 其中是商 是除法的余数 多项式和可由命令deconv算出 例 q r deconv a b 例 a 2 5 6 1 9 b 3 90 18 c conv a b c 6 195432 4539 792 162 q r deconv c b q 2 56 19r 0000000 poly2sym c ans 6 x 6 195 x 5 432 x 4 453 x 3 9 x 2 792 x 162 4 4数据插值4 4 2Lagrange插值 方法介绍对给定的n个插值点及对应的函数值 利用构造的n 1次Lagrange插值多项式 则对插值区间内任意x的函数值y可通过下式求的 MATLAB实现 functiony lagrange x0 y0 x ii 1 length x0 y zeros size x fori iiij find ii i y1 1 forj 1 length ij y1 y1 x x0 ij j endy y y1 y0 i prod x0 i x0 ij end算例 给出f x ln x 的数值表 用Lagrange计算ln 0 54 的近似值 x 0 4 0 1 0 8 y 0 916291 0 693147 0 510826 0 356675 0 223144 lagrange x y 0 54 0 55 0 78 ans 0 6161 0 5978 0 2484 精确解 0 616143 4 4 3Hermite插值 方法介绍不少实际问题不但要求在节点上函数值相等 而且要求导数值也相等 甚至要求高阶导数值也相等 满足这一要求的插值多项式就是Hermite插值多项式 下面只讨论函数值与一阶导数值个数相等且已知的情况 已知n个插值点及对应的函数值和一阶导数值 则对插值区间内任意x的函数值y的Hermite插值公式 MATLAB实现 hermite mfunctiony hermite x0 y0 y1 x n length x0 m length x fork 1 myy 0 0 fori 1 nh 1 0 a 0 0 forj 1 nifj ih h x k x0 j x0 i x0 j 2 a 1 x0 i x0 j a endendyy yy h x0 i x k 2 a y0 i y1 i y0 i endy k yy end 算例 对给定数据 试构造Hermite多项式求出sin0 34的近似值 x0 0 3 0 32 0 35 y0 0 29552 0 31457 0 34290 y1 0 95534 0 94924 0 93937 y hermite x0 y0 y1 0 34 y 0 3335 sin 0 34 与精确值比较ans 0 3335 x 0 3 0 005 0 35 y hermite x0 y0 y1 x plot x y y2 sin x holdon plot x y2 r 4 4 4Runge现象 问题的提出 根据区间 a b 上给出的节点做插值多项式p x 的近似值 一般总认为p x 的次数越高则逼近f x 的精度就越好 但事实并非如此 反例 在区间 5 5 上的各阶导数存在 但在此区间上取n个节点所构成的Lagrange插值多项式在全区间内并非都收敛 取n 10 用Lagrange插值法进行插值计算 x 5 1 5 y 1 1 x 2 x0 5 0 1 5 y0 lagrange x y x0 y1 1 1 x0 2 绘制图形 plot x0 y0 r 插值曲线 holdon plot x0 y1 b 原曲线为解决Rung问题 引入分段插值 算法分析 所谓分段插值就是通过插值点用折线或低次曲线连接起来逼近原曲线 MATLAB实现可调用内部函数 命令1interp1功能 一维数据插值 表格查找 该命令对数据点之间计算内插值 它找出一元函数f x 在中间点的数值 其中函数f x 由所给数据决定 格式1yi interp1 x Y xi 返回插值向量yi 每一元素对应于参量xi 同时由向量x与Y的内插值决定 参量x指定数据Y的点 若Y为一矩阵 则按Y的每列计算 算例对于t beta alpha分别有两组数据与之对应 用分段线性插值法计算当t 321 440 571时beta alpha的值 4 4 5分段插值 temp 300 400 500 600 beta 1000 3 33 2 50 2 00 1 67 alpha 10000 0 2128 0 3605 0 5324 0 7190 ti 321 400 571 propty interp1 temp beta alpha ti propty interp1 temp beta alpha ti linear ti propty ans 1 0e 003 0 32103 15572 43820 40002 50003 60500 57101 76576 6489 格式2yi interp1 Y xi 假定x 1 N 其中N为向量Y的长度 或者为矩阵Y的行数 格式3yi interp1 x Y xi method 用指定的算法计算插值 nearest 最近邻点插值 直接完成计算 linear 线性插值 缺省方式 直接完成计算 spline 三次样条函数插值 cubic 分段三次Hermite插值 其它 如 v5cubic 对于超出x范围的xi的分量 使用方法 nearest linear v5cubic 的插值算法 相应地将返回NaN 对其他的方法 interp1将对超出的分量执行外插值算法 yi interp1 x Y xi method extrap yi interp1 x Y xi method extrapval 确定超出x范围的xi中的分量的外插值extrapval 其值通常取NaN或0 算例 year 1900 10 2010 product 75 995 91 972 105 711 123 203 131 669 150 697 179 323 203 212 226 505 249 633 256 344 267 893 p1995 interp1 year product 1995 p1995 252 9885 x 1900 1 2010 y interp1 year product x cubic plot year product o x y 例 已知的数据点来自函数根据生成的数据进行插值处理 得出较平滑的曲线直接生成数据 x 0 12 1 y x 2 3 x 5 exp 5 x sin x plot x y x y o 调用interp1 函数 x1 0 02 1 y0 x1 2 3 x1 5 exp 5 x1 sin x1 y1 interp1 x y x1 y2 interp1 x y x1 cubic y3 interp1 x y x1 spline y4 interp1 x y x1 nearest plot x1 y1 y2 y3 y4 x y o x1 y0 误差分析 max abs y0 1 49 y2 1 49 max abs y0 y3 max abs y0 y4 ans 0 01770 00860 1598 x0 1 2 0 10 10 y0 1 1 25 x0 2 x 1 01 1 y lagrange x0 y0 x Lagrange插值 ya 1 1 25 x 2 plot x ya x y 例 y1 interp1 x0 y0 x cubic y2 interp1 x0 y0 x spline plot x ya x y1 x y2 命令2interp2功能二维数据内插值 表格查找 格式1ZI interp2 X Y Z XI YI 返回矩阵ZI 其元素包含对应于参量XI与YI 可以是向量 或同型矩阵 的元素 参量X与Y必须是单调的 且相同的划分格式 就像由命令meshgrid生成的一样 若Xi与Yi中有在X与Y范围之外的点 则相应地返回NaN 格式2ZI interp2 Z XI YI 缺省地 X 1 n Y 1 m 其中 m n size Z 再按第一种情形进行计算 格式3ZI interp2 X Y Z XI YI method 用指定的算法method计算二维插值 linear 双线性插值算法 缺省算法 nearest 最临近插值 spline 三次样条插值 cubic 双三次插值 算例 years 1950 10 1990 service 10 10 30 wage 150 697199 592187 625179 323195 072250 287203 212179 092322 767226 505153 706426 730249 633120 281598 243 w interp2 service years wage 15 1975 w 190 6288 例 x y meshgrid 3 6 3 2 4 2 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y surf x y z axis 3 3 2 2 0 7 1 5 选较密的插值点 用默认的线性插值算法进行插值 x1 y1 meshgrid 3 2 3 2 2 2 z1 interp2 x y z x1 y1 surf x1 y1 z1 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 立方和样条插值 z1 interp2 x y z x1 y1 cubic z2 interp2 x y z x1 y1 spline surf x1 y1 z1 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 figure surf x1 y1 z2 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 算法误差的比较 z x1 2 2 x1 exp x1 2 y1 2 x1 y1 surf x1 y1 abs z z1 axis 3 3 2 2 0 0 08 figure surf x1 y1 abs z z2 axis 3 3 2 2 0 0 025 二维一般分布数据的插值 功能 可对非网格数据进行插值格式 z griddata x0 y0 z0 x y method v4 MATLAB4 0提供的插值算法 公认效果较好 linear 双线性插值算法 缺省算法 nearest 最临近插值 spline 三次样条插值 cubic 双三次插值 例 在x为 3 3 y为 2 2 矩形区域随机选择一组坐标 用 v4 与 cubic 插值法进行处理 并对误差进行比较 x 3 6 rand 200 1 y 2 4 rand 200 1 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y x1 y1 meshgrid 3 2 3 2 2 2 z1 griddata x y z x1 y1 cubic surf x1 y1 z1 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 z2 griddata x y z x1 y1 v4 figure surf x1 y1 z2 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 误差分析 z0 x1 2 2 x1 exp x1 2 y1 2 x1 y1 surf x1 y1 abs z0 z1 axis 3 3 2 2 0 0 15 figure surf x1 y1 abs z0 z2 axis 3 3 2 2 0 0 15 例 在x为 3 3 y为 2 2 矩形区域随机选择一组坐标中 对分布不均匀数据 进行插值分析 x 3 6 rand 200 1 y 2 4 rand 200 1 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y 生成已知数据 plot x y x 样本点的二维分布 figure plot3 x y z x axis 3 3 2 2 0 7 1 5 grid 去除在 1 1 2 点为圆心 以0 5为半径的圆内的点 x 3 6 rand 200 1 y 2 4 rand 200 1 重新生成样本点 z x 2 2 x exp x 2 y 2 x y ii find x 1 2 y 0 5 2 0 5 2 找出满足条件的点坐标 x x ii y y ii z z ii plot x y x t 0 1 2 pi 2 pi x0 1 0 5 cos t y0 0 5 0 5 sin t line x0 y0 在图形上叠印该圆 可见 圆内样本点均已剔除 用新样本点拟合出曲面 x1 y1 meshgrid 3 2 3 2 2 2 z1 griddata x y z x1 y1 v4 surf x1 y1 z1 axis 3 3 2 2 0 7 1 5 误差分析 z0 x1 2 2 x1 exp x1 2 y1 2 x1 y1 surf x1 y1 abs z0 z1 axis 3 3 2 2 0 0 1 contour x1 y1 abs z0 z1 30 holdon plot x y x line x0 y0 误差的二维等高线图 命令3interp3三维网格生成用meshgrid 函数 调用格式 x y z meshgrid x1 y1 z1 其中x1 y1 z1为这三维所需要的分割形式 应以向量形式给出 返回x y z为网格的数据生成 均为三维数组 griddata3 三维非网格形式的插值拟合命令4interpnn维网格生成用ndgrid 函数 调用格式 x1 x2 xn ndgrid v1 v2 vn griddatan n维非网格形式的插值拟合interp3 interpn 调用格式同interp2 函数一致 griddata3 griddatan 调用格式同griddata 函数一致 例 通过函数生成一些网格型样本点 试根据样本点进行拟合 并给出拟合误差 x y z meshgrid 1 0 2 1 x0 y0 z0 meshgrid 1 0 05 1 V exp x 2 z y 2 x z 2 y cos x 2 y z z 2 y x V0 exp x0 2 z0 y0 2 x0 z0 2 y0 cos x0 2 y0 z0 z0 2 y0 x0 V1 interp3 x y z V x0 y0 z0 spline err V1 V0 max err ans 0 0419 4 4 6样条插值的MATLAB表示 定义一个三次样条函数类 S csapi x y 其中x x1 x2 xn y y1 y2 yn 为样本点 S返回样条函数对象的插值结果 包括子区间点 各区间点三次多项式系数等 可用fnplt 绘制出插值结果 其调用格式 fnplt S 对给定的向量xp 可用fnval 函数计算 其调用格式 yp fnval S xp 其中得出的yp是xp上各点的插值结果 例 x0 0 0 4 1 2 pi y0 sin x0 sp csapi x0 y0 fnplt sp holdon sp form pp breaks 00 4000123 1416 coefs 4x4double pieces 4order 4dim 1 ezplot sin t 0 pi plot x0 y0 o sp coefsans 0 16270 00760 99650 0 1627 0 18760 92450 38940 0244 0 48040 52380 84150 0244 0 4071 0 36370 9093 在 0 4000 1 区间内 插值多项式可以表示为 例 点 用三次样条插值的方法对这些数据进行拟合 x 0 12 1 y x 2 3 x 5 exp 5 x sin x sp csapi x y fnplt sp c sp breaks 1 4 sp breaks 2 5 sp coefs 1 4 sp breaks 5 8 sp breaks 6 9 sp coefs 5 8 c Columns1through700 120024 7396 19 35884 515100 48000 12000 240024 7396 10 45260 93770 30580 60000 24000 36004 5071 1 5463 0 50220 31050 72000 36000 48001 91390 0762 0 67860 23580 8400 Columns8through120 6000 0 24040 7652 0 57760 15880 7200 0 47740 6787 0 40430 1