系统工程第4章-分析模型ppt课件.ppt

第四章分析模型 人们日常决策大都依靠直觉判断 但系统工程人员并不是决策者 他们的工作是提供一种清晰的模型 将所推荐的方案的优缺点阐释清楚 供决策者参考 1模型的概念 一 模型及其分类一切客观存在的事物及其运动形态统称为实体 模型是对实体的特征及其变化规律的一种抽象或者表征 而且往往是对实体中那些所要研究的特定的特征的抽象 模型是把对象实体通过适当的过滤 用适当的表现规则描绘的简洁的模仿品 系统的属性是多方面的 系统模型只是系统某一方面本质属性的描述 所以同一系统或实体 模型不是唯一的 模型建立是以模型与原型之间的相似性为基础的 这里的相似可以是外表的相似 内部结构的相似或仅为功能的相似 模型可以是定量的 也可以是定性的 或是两者的结合模型 说明 2系统模型的特征它是现实系统的抽象或模仿 它是由反映系统本质或特征的主要因素构成 它集中体现这些主要因素之间的关系 模型的分类 实体模型和抽象模型两大类实体模型 实物模型 如城市规划模型 作战沙盘等 和模拟模型 地图 电路图 电路模拟机械运动 抽象模型 也称为符号模型 模型中丰富多彩的部分 包括数学模型 结构模型 仿真模型及诸如化学 音乐 美术等学科的符号模型 系统模型的分类及特征比较 1建模的原则 1 现实性 把本质的东西和关系反映进去 非本质的东西去掉 而又不影响反映现实的真实程度 2 简明性 模型既要精确 又要简明 3 适应性 在运算分析方面 适应问题的变化 操作方面等具有适应性 4 完整性 5 规范性 尽量借鉴标准形式 一般处理原则 力求达到真实性 在真实的基础上达到简明性 最后尽可能达到适应性要求 三 建模的原则及常用方法 二 现实世界与模型 现实世界的原型 数学结论 现实世界的分析 预测等 数学模型 现实事物在模型中的作用 现实事物按其在模型中的作用可以分为三类 可以忽略影响的因素对模型起作用但不属于模型描述范围的因素模型所需研究的因素 第一类因素可以忽略不计第二类属于环境的外部因素 可以视为外生变量 或者叫参数和输入变量 自变量第三类是描述模型行为的因素 叫做内生变量或者输出变量 因变量 4 2矩阵 文氏图 树形图 卡氏图 欲按照大学毕业学历和工程师职称两项指标将人员分类 设A具有大学学历 B具有工程师职称 相应A B表示没有大学毕业和不是工程师的人员 矩阵图可以用来推测各类人员数量的数学模型设待分类人员1000人 其中800属于A 700属于B 欲求各类人员数量 800 200 300 700 300 700 200 800 300 700 200 800 文氏图的表示方法 AB AB AB AB A B 我在西安 也就在陕西我不在陕西 也就不在西安我不在西安 但可能在陕西我在陕西 可能就在西安概括来讲 地处陕西是处于西安的必要条件 地处西安是地处陕西的充分条件 陕西 西安 树形图 见教材 AB AB AB AB 卡氏图 A B 如果有三种属性分类 则上面这些模型的情况如下 见课本 4 3权重有向图 例4 1能源需求模型 每一有向线段标出的数字表示起始节点变化单位值对于相邻节点的影响 1 4 3 2 2 6 0 7 1 2 1 8 0 4 5 8 1能源供给2价格3能源需求4人口 根据图绘制出此权重有向图的邻接矩阵 邻接矩阵中各权重均为常数 意味着各变量间系线性关系对于权重有向图进行灵敏度分析时 可以在某个节点引入单位变化值 然后研究各节点受到的影响 通过邻接矩阵可以研究各种输入条件下的系统行为和系统稳定性 人口转移模型 4 1 2 3 5 1 8 1 4 3 8 1 16 1 8 3 10 1 4 1 10 1 2 1 4 4 10 2 10 1 16 1 6 1 2 1 4 1 3 3 4 这类以权重为概率的有向图 其邻接矩阵称为传递矩阵P 传递矩阵的各元素称为传递概率 具有传递概率的即其记忆跨度只有一步的随机过程 是一种有多步距组成的链 相应发生的状态称为马尔可夫链 一个n种状态的马尔可夫链相应有一个传递概率矩阵 此矩阵每行元素之和为1 每行称为概率向量 对事件的全面预测 不仅要能够指出事件发生的各种可能结果 而且还必须给出每一种结果出现的概率 马尔可夫 Markov 预测法 就是一种预测事件发生的概率的方法 它是基于马尔可夫链 根据事件的目前状况预测其将来各个时刻 或时期 变动状况的一种预测方法 状态 指某一事件在某个时刻 或时期 出现的某种结果 状态转移过程 事件的发展 从一种状态转变为另一种状态 称为状态转移 马尔可夫过程 在事件的发展过程中 若每次状态的转移都仅与前一时刻的状态有关 而与过去的状态无关 或者说状态转移过程是无后效性的 则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程 几个基本概念 状态转移概率 在事件的发展变化过程中 从某一种状态出发 下一时刻转移到其它状态的可能性 称为状态转移概率 由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率是 1 状态转移概率矩阵 假定某一个事件的发展过程有n个可能的状态 即E1 E2 En 记为从状态Ei转变为状态Ej的状态转移概率 则矩阵 几个基本概念 称为状态转移概率矩阵 概率矩阵 一般地 将满足条件 3 的任何矩阵都称为随机矩阵 或概率矩阵 2 3 几个基本概念 不难证明 如果P为概率矩阵 则对于任何整数m 0 矩阵都是概率矩阵 标准概率矩阵 平衡向量 如果P为概率矩阵 而且存在整数m 0 使得概率矩阵中诸元素皆非零 则称P为标准概率矩阵 可以证明 如果P为标准概率矩阵 则存在非零向量 而且满足 使得 4 这样的向量 称为平衡向量 或终极向量 这就是说 标准概率矩阵一定存在平衡向量 几个基本概念 状态转移概率矩阵的计算 计算状态转移概率矩阵P 就是求从每个状态转移到其它任何一个状态的状态转移概率 为了求出每一个 一般采用频率近似概率的思想进行计算 几个基本概念 例题1 考虑某地区农业收成变化的三个状态 即 丰收 平收 和 欠收 记E1为 丰收 状态 E2为 平收 状态 E3为 欠收 状态 表1给出了该地区1960 1999年期间农业收成的状态变化情况 试计算该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵 表1某地区农业收成变化的状态转移情况 从表1中可以知道 在15个从E1出发 转移出去 的状态中 1 有3个是从E1转移到E1的 即1 2 24 25 34 35 2 有7个是从E1转移到E2的 即2 3 9 10 12 13 15 16 29 30 35 36 39 40 3 有5个是从E1转移到E3的 即6 7 17 18 20 21 25 26 31 32 计算 所以 同理可得 结论 该地区农业收成变化的状态转移概率矩阵为 5 状态概率及其计算 状态概率 表示事件在初始 k 0 状态为已知的条件下 经过k次状态转移后 在第k个时刻 时期 处于状态的概率 且 根据马尔可夫过程的无后效性及Bayes条件概率公式 有 6 7 记行向量 则由 7 式可以得到逐次计算状态概率的递推公式 8 式中 为初始状态概率向量 第k个时刻 时期 的状态概率预测如果某一事件在第0个时刻 或时期 的初始状态已知 即已知 则利用递推公式 8 式 就可以求得它经过k次状态转移后 在第k个时刻 时期 处于各种可能的状态的概率 即 从而就得到该事件在第k个时刻 时期 的状态概率预测 马尔可夫预测法 例题 将例题1中1999年的农业收成状态记为 0 1 0 将状态转移概率矩阵 5 式及代入递推公式 8 式 可求得2000 2010年可能出现的各种状态的概率 见表2 表2某地区1990 2000年农业收成状态概率预测值 终极状态概率预测 定义 经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终极状态概率 即 终极状态概率应满足的条件 马尔可夫预测法 例题 在例1中 设终极状态的状态概率为则 即 求解该方程组得 0 3653 0 3525 0 2799 这说明 该地区农业收成的变化过程 在无穷多次状态转移后 丰收 和 平收 状态出现的概率都将大于 欠收 状态出现的概率 市场占有率的预测在市场经济的条件下 各企业都十分注意扩大自己的市场占有率 因此 预测企业产品的市场占有率 就成为企业十分关心的问题 若我们假设 市场的发展变化只与当前市场条件有关 没有新的竞争者加入 也没有老的竞争者退出 顾客总量保持不变 顾客在不同品牌之间流动的概率保持不变 就可用马尔可夫预测法对市场占有率进行预测 当然 假设与市场实际存在差距 只要预测对象基本符合假设条件 就可以运用此法得出相对科学的预测结论 例2 某市场销售啤酒有甲 乙 丙三种品牌 4月份的市场占有率各为0 3 0 45 0 25 据抽样调查5月份消费者消费意向有所变化 见表 请用马尔可夫预测法 预测5月份甲 乙 丙牌啤酒市场占有率各是多少 若预计5月份该市啤酒总需求量为1200吨 甲 乙 丙牌啤酒各销售多少 若上述条件不变 预测6月份啤酒的市场占有率 由上表可知消费者在不同品牌之间流动产生的状态转移概率矩阵如下 计算5月份甲 乙 丙三种啤酒市场占有率预测值首先 要建立新转移概率矩阵4月份啤酒市场占有率矩阵 5月的状态概率矩阵为 5月份各品牌市场占有率为 甲品牌啤酒占有率是 乙品牌啤酒市场占有率是 丙品牌啤酒市场占有率是 计算5月份甲 乙 丙品牌销售量预测值甲品牌销售量 乙品牌销售量 丙品牌销售量 计算6月份甲 乙 丙品牌啤酒市场占有率预测值由上计算 可知5月份市场占有率矩阵为 6月份市场占有率矩阵应为 6月份甲品牌啤酒市场占有率为 6月份乙品牌啤酒市场占有率为 6月份丙品牌啤酒市场占有率为 根据马尔可夫链的基本原理 一般情况下 本期市场占有率仅取决于上期市场占有率和转移概率 因此要预测 月后的市场占有率 其矩阵为 在事件的预测中 被预测对象所经历的过程中各个阶段 或时点 的状态和状态之间的转移概率是最为关键的 马尔可夫预测的基本方法就是利用状态之间的转移概率矩阵预测事件发生的状态及其发展变化趋势 马尔可夫预测法的基本要求是状态转移概率矩阵必须具有一定的稳定性 因此 必须具有足够的统计数据 才能保证预测的精度与准确性 换句话说 马尔可夫预测模型必须建立在大量的统计数据的基础之上 这一点也是运用马尔可夫预测方法预测事件的一个最为基本的条件 设人口分布比例为 1 8 1 8 1 8 1 8 1 2 则可以计算出1年后 2年后的人口分布比例即 1 8 1 8 1 8 1 8 1 2 P 例4 3 萊式人口模型 人口预测中往往需要知道各年龄组的人口 这比人口总数有时还更有用 例如需要今后10年内各类学校 教师 护士 产科医生的需求量 莱式人口模型可以有效回答这类问题 从整体来看 这也是一个人口年龄段的转移 莱氏矩阵 教材P67 例4 4 设某种动物分为三个年龄段 t 0时其种群直方图如图所示 设一个时间跨度后 最大年龄段种群全部死亡 其他年龄组1 4死亡 各年龄生育率为m0 0 m1 1 m2 2试求年龄分布向量 4 4图解法 图解建模可以帮助我们获得变量间关系的总体图像 并凭借直觉推导出后果 主要作用于变量不多而信息不充分的条件下分析变量之间的定性关系具体作用有 平衡点分析和稳定性分析 一 平衡点分析 平衡点分析着眼于分析系统的平衡点随着系统某种外生变量将产生怎样的变化 新平衡点和旧平衡点有怎样的联系 蛛网模型 自由竞争的市场经济中 商品价格是由供求双方决定的 一个时期某种商品的过剩引起价格下跌 会促使厂家减少产量 下一周期可能因供不应求导致价格上涨 又会吸引厂家增加产量 如此循环不已 最终商品的数量和价格的波动是也来越小趋向于平衡 还是越来越大以至于政府不得不干预 下面我们以图解法进行分析 图4 14 1 盈亏平衡分析法盈亏平衡分析法是以成本形态为基础 对产量 成本 利润相互间的内在联系进行分析 构成这种分析方法的主要内容是盈亏平衡点 根据盈亏平衡点可以确定最低产量水平 所谓盈亏平衡点 是指企业盈利与亏损的分界点 即通常所说的保本点 一般地 当产品的产量小于盈亏平衡点产量Q 时 企业所处于亏损状态 当产品的产量大于盈亏平衡点产量Q 时 企业处于盈利状态 而且企业的盈利随着实际产量高出盈亏平衡点产量Q 的增大而增大 显然 企业选择的生产运营能力规模必须高出盈亏平衡点产量Q 一定的程度 这样才能为企业实际的产销量高出盈亏平衡点产量提供必要的空间 为企业盈利创造条件 V 费用 产销量Q 费用 F 产销量Q 单位变动成本 Va 产销量Q 单位固定成本 产销量 盈亏平衡分析法 固定成本 变动成本 利润区 产量 金额 销售收入线 总成本线 盈亏平衡点 Q0 Q1 A O B C D 亏损区 4 5拟合法 拟合法 建模者根据某种假设选择一种模型 用以解释所观察的行为 如果所收到的数据说明建模者的假设基本合理 则进一步按照某种法则去选择模型的参数经验法 建模者提不出一种能够满意解释行为的模型 因而通过数据去研究因变量和自变量的关系 以收集 分析数据为基础去建构一种经验模型的方法 称为经验法 时间序列 循环变动C Cyclical 不规则变动I Irregular 季节变动S Seasonal 最小二乘法的含义 根据原动态数列的变化趋势配合一条最理想的趋势线这条趋势线必须满足以下两个条件 根据散点图的分布规律进行选择 o o 直线型 抛物线型 指数曲线型 最小二乘法 一元线性回归法就是处理自变量 X 和因变量 y 两者之间线性关系的一种方法 其基本公式 式中 y 因变量 a b 回归系数 X 自变量 X Y着两个变量之间的关系 将在a b着两个回归系数的范围内 展开有规律的演变 因此 根据X Y等现有的实验数据或统计数据 寻求合理的a b等回归系数来确定回归方程 是运用回归分析的关键 利用已求出的回归方程中a b等回归系数的经验值再去确定X Y等值的未来演变 并与具体条件相结合 是运用回归分析的目的 用最小二乘法求a b的公式 直线趋势方程参数的计算 若令 t 0 某市1995 2005年国内生产总值统计资料见下表 根据表中资料运用最小二乘法预测2008年国内生产总值 某市1995 2005年国内生产总值 单位 千万元 例 第一步 确定趋势方程的类型 计算表 第二步 计算参数a和b的值 由可计算出则直线趋势方程为 第三步 进行预测 将t 8代入直线趋势方程得 即该市2008年国内生产总值的预测值为137 73千万元 4 7机理法 机理法是在研究系统运行机理的基础上提出假设 然后构建模型 系统工程的研究对象涉及各种领域 很难概括出通用方法 只有从专业角度研究该对象的运行特点 才能建构合适的分析模型 传销模型 传销是近年来风行全国的一种产品营销模式 它通过亲戚 朋友 同学等社会关系逐次将产品推销给消费者 对于每个传销产品的对象来说 将经历三个阶段 潜在期传销期脱离期 基本假设 潜在传销者S 现在未传销 将来可能传销者I 已经进入传销网 继续向外传销脱离者R 不再进行传销的人非传销者L 现在未传销 以后也不会 4 8优化技术在工程技术 经济管理 科学研究和日常生活等诸多领域中 人们经常遇到的一类决策问题 在一系列客观或主观限制条件下 寻求所关注的某个或多个指标达到最大 或最小 的决策 例如 生产计划要按照产品工艺流程和顾客需求 制定原料 零件 部件等订购 投产的日程和数量 尽量降低成本使利润最高 运输方案要在满足物资需求和装载条件下安排从各供应点到各需求点的运量和路线 使运输总费用最低 它们的特点就是 在若干可能的方案中寻求某种意义下的最优方案 数学上称为最优化问题 而研究处理这种问题的方法叫最优化的方法 优化模型是一类既重要又特殊的数学模型 而优化建模方法是也一种特殊的数学建模方法 优化模型一般有下面三个要素 1 决策变量 它通常是该问题要求解的那些未知量 2 目标函数 通常是该问题要优化 最大或最小 的那个目标的数学表达式 它是决策变量的函数 3 约束条件 由该问题对决策变量的限制条件给出 例1家具生产的安排家具公司生产桌子和椅子 用于生产的劳力共计450个工时 木材共有4立方米 每张桌子要使用15个工时 0 2立方木材售价80元 每张椅子使用10个工时 0 05立方木材售价45元 问为达到最大的收益 应如何安排生产 分析 1 求什么 生产多少桌子 x1生产多少椅子 x22 优化什么 收益最大Maxf 80 x1 45x23 限制条件 原料总量0 2x1 0 05x2 4劳力总数15x1 10 x2 450 2 约束优化 模型 以产值为目标取得最大收益 设 生产桌子x1张 椅子x2张 决策变量 将目标优化为 maxf 80 x1 45x2对决策变量的约束 0 2x1 0 05x2 4 15x1 10 x2 450 x1 0 x2 0 模型求解 1 图解法 用于决策变量是2维 整数规划背景 邮递包裹把形状可变的包裹用尽量少的车辆运走旅行背包容量一定的背包里装尽可能的多的物品 实例 某人出国留学打点行李 现有三个旅行包 容积大小分别为1000毫升 1500毫升和2000毫升 根据需要列出需带物品清单 其中一些物品是必带物品共有7件 其体积大小分别为400 300 150 250 450 760 190 单位毫升 尚有10件可带可不带物品 如果不带将在目的地购买 通过网络查询可以得知其在目的地的价格 单位美元 这些物品的容量及价格分别见下表 试给出一个合理的安排方案把物品放在三个旅行包里 问题分析 变量 对每个物品要确定是否带同时要确定放在哪个