第12章轴对称.doc

第十一章全等三角形111 全等三角形 教学目标 1教学知识点 知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边 2能力训练要求 通过全等三角形有关概念的学习，提高学生数学概念的辨析能力； 通过找出全等三角形的对应元素，培养学生的识图能力 3情感与价值观要求 通过感受全等三角形的对应美，激发学生热爱科学勇于探索的精神； 通过自主学习，体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新、多方位审视问题的创造技巧 教学重点 全等三角形的性质 教学难点 找全等三角形的对应边、对应角 教学方法 自学辅导式 教具准备 直尺、三角形纸板、同一底片冲出来的两张照片等 教学过程 一提出问题，创设情境 1演示：问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？ 一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的 2学生自己动手（同桌两名同学配合） 把同一底片洗出来的两张照片上的图形沿边框剪下，同桌的两名同学配合，把剪得的两张图形放在一起，发现完全重合 取一张纸，将自己的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样 3获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号 能够完全重合的两个图形叫做全等形请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义仔细阅读课本中“全等”符号表示的要求 二导入新课 多媒体课件播放：将ABC沿直线BC平移得DEF；将ABC沿BC翻折180得到DBC；将ABC旋转180得AED 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 师于是我们得到启示，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ 得到全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等全等三角形的对应角相等例1如图，OCAOBD，C和B，A和D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角问题：OCAOBD，说明这两个三角形可以重合，请同学们思考通过怎样变换可以使两三角形重合？ 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合一般是平移、翻转、旋转的方法 三课堂练习 课本P90练习1 课本P90习题131复习巩固1 四课时小结 通过本节课学习，我们了解了全等的概念，发现了全等三角形的性质，并且利用性质可以找到两个全等三角形的对应元素这也是这节课大家要重点掌握的找对应元素的常用方法有两种： （一）从运动角度看 1翻转法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素 2旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合，从而发现对应元素 3平移法：沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素 （二）根据位置元素来推理 1全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边 2全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角 五课后作业 课本P90习题111、复习巩固2、综合运用3 六教学后记 本节课可以通过丰富多彩的实验、投影、多媒体手段等让学生取得充分的感性认识，在此基础上，教学重心应放在“全等三角形的性质”上，因而对它的处理，不论从时间分配上，还是从教学手段的应用上都应给予高度重视在激发学生兴趣的同时，要对学生进行必要的能力训练1121 三角形全等的条件（一） 教学目标 1教学知识点 三角形全等的“边边边”的条件 了解三角形的稳定性 2能力训练要求 经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程 掌握三角形全等的“SSS”条件，了解三角形的稳定性 能运用“SSS”证明简单的三角形全等问题 3情感与价值观要求 让学生在自主探索三角形全等的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验 让学生体验数学来源于生活，又服务于生活的辩证思想 教学重点 三角形全等的条件 教学难点 寻求三角形全等的条件 教学方法 引导、讨论教学法 教具准备 投影片四张 教学过程 一创设情境，引入新课 1已知ABCABC，找出其中相等的边与角 2老师这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？ 生能，先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出 3是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题 二导入新课 1只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？ 2给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做 （1）三角形一内角为30，一条边为3cm （2）三角形两内角分别为30和50（4）三角形两条边分别为4cm、6cm 学生活动：分组讨论、探索、归纳，最后以组为单位出示结果作补充交流 可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等 3给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？ 生四种可能即：三内角、三条边、两边一内角、两内有一边 师在大家刚才的探索中，我们已经发现三内角不能保证三角形全等下面我们就来逐一探索其余的三种情况 4已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、11cm你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？ （1） 学生活动：讨论作法比较、验证结果探究、发现、总结规律 （2）教师活动： 教师可参与到学生的制作与讨论中，及时发现问题，因势利导 （3）活动结果展示 （4）作图方法 这反映了一个规律： 三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” 5用上面的规律可以判断两个三角形全等判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据请看例题 6 例（题、图略） （因为是初次涉及三角形全等的证明题，所以教师要起好示范板演作用强调对应顶点写在对应位置上，使学生养成良好的数学思维与书写习惯） 生活实践介绍：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的三角形的这个性质叫做三角形的稳定性所以日常生活中常利用三角形做支架就是利用三角形的稳定性例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等 三随堂练习 1课本P94练习 四课时小结 本节课我们探索得到了三角形全等的条件，发现了证明三角形全等的一个规律SSS并利用它可以证明简单的三角形全等问题 五课后作用 1习题112复习巩固1、2 习题112综合运用9 六教学后记 数学来源于生活，又服务于实践，通过本节学习要让学生掌握简单的证明三角形全等的方法，初步了解几何证明题的书写方法通过设计这些探究活动，让学生经历操作、观察、探索、交流、发现、归纳等数学活动，积累研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神1122 三角形全等的条件（二） 教学目标 1教学知识点 全等三角形的条件：边角边 2能力训练要求 经历探究全等三角形条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学规律的过程 掌握三角形全等的“边角边”条件 在探索全等三角形条件及其运用过程中，培养有条理分析、推理，并进行简单的证明 3情感与价值观要求 通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力与创新精神 教学重点 三角形全等的条件：边角边 教学难点 探究三角形全等的条件 教学方法 引导发现法 教具准备 多媒体课件 教学过程 一提出问题，创设情境 1在上节课的讨论中，我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时，都不能保证所画出的三角形一定全等给出三个条件时，有四种可能，能说出是哪四种吗？ 2这四种情况中我们已经研究了两种，三内角对应相等不能保证两三角形一定全等；三条边对应相等的两三角形全等今天我们接着研究第三种情况：“两边一内角” 二导入新课 （一）问题：如果已知一个三角形的两边及一内角，那么它有几种可能情况？ （两种： 1两边及其夹角 2两边及一边的对角） （二）探究1：先画一个任意ABC，再画出一个ABC，使AB=AB、AC=AC、A=A（即保证两边和它们的夹角对应相等）把画好的三角形ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗？ 探究2：先画一个任意ABC，再画出ABC，使AB=AB、AC=AC、B=B（即保证两边和其中一边的对角对应相等）把画好的ABC剪下，放到ABC上，它们全等吗？ 学生活动： 1学生自己动手，利用直尺、三角尺、量角器等工具画出ABC与ABC，将ABC剪下，与ABC重叠，比较结果 2作好图后，与同伴交流作图心得，讨论发现什么样的规律 教师活动： 教师可学生作完图后，由一个学生口述作图方法，教师进行多媒体播放画图过程，再次体会探究全等三角形条件的过程 操作结果展示归纳总结： “两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简记为“边角边”或“SAS”） 而 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等所以它不能作为判定两三角形全等的条件 （三）应用举例例如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA连结BC并延长到E，使CE=CB连结DE，那么量出DE的长就是A、B的距离为什么？ 师生共析如果能证明ABCDEC，就可以得出AB=DE 在ABC和DEC中，AC=DC、BC=EC要是再有1=2，那么ABC与DEC就全等了而1和2是对顶角，所以它们相等 三随堂练习 P97练习（学生板演） 提示：书写时最好按“边角边”的顺序，这样才不至于出错 四课时小结 这节课我们又探索出了两个三角形全等的条件到现在为止，我们有以下几种方法可以得到两个三角形全等 1定义 2SSS 3SAS 注意对应关系，两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等所以用“SAS”时，一定要注意找两边及其夹角对应相等才能满足两三角形全等 五课后作业 1课本习题1123、4、10题 2预习课P9799内容六教学后记： 本课要注意通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，培养开拓实践能力与创新精神。在探索全等三角形条件及其运用过程中，也要注意培养学生有条理分析、推理，并进行简单的证明 1123 三角形全等的条件（三） 教学目标 1教学知识点 三角形全等的条件：角边角、角角边 三角形全等条件小结 2能力训练要求 经历探究全等三角形条件的过程，进一步体会操作、归纳获得数学规律的过程 掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件 能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题 3情感与价值观要求 通过画图、探究、归纳、交流，使学生获得一些研究问题的经验和方法，发展实践能力和创新精神 教学重点 已知两角一边的三角形全等探究 教学难点 灵活运用三角形全等条件证明 教学方法 自学疏导法 教学过程 一提出问题，创设情境 1复习：（1）三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？ （2）到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？ 2师在三角形中，已知三个元素的四种情况中，我们研究了三种，今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢？ 二导入新课 1三角形中已知两角一边有几种可能？（ 两角和它们的夹边两角和其中一角的对边） 2做一做： 三角形的两个内角分别是60和80，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？3提炼规律：两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”） 4我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？ 出示探究问题：如图，在ABC和DEF中，A=D，B=E，BC=EF，ABC与DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ 例如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，B=C求证：AD=AE 5到此为止，在三角形中已知三个条件探索三角形全等问题已全部结束请同学们把三角形全等的判定方法做一个小结（ 有五种判定三角形全等的条件： 全等三角形的定义 边边边（SSS） 边角边（SAS） 角边角（ASA）角角边（AAS） 三随堂练习 课本P99练习1、2 补充练习图中的两个三角形全等吗？请说明理由 四课时小结 1五种判定三角形全等的方法：2推证两三角形全等时，要善于观察，寻求对应相等的条件，从而获得解题途径 五课后作业 1课本习题1125、6、11题六教学后记：本课要注意让学生经历探究全等三角形条件的过程，进一步体会操作、归纳获得数学规律的过程大部分学生都能积极参与，但在运用是仍觉得比较吃力，说明分析推理能力仍比较差。1124 三角形全等的条件（四） 教学目标 1.教学知识点 直角三角形全等的条件：“斜边、直角边” 2.能力训练要求 经历探究直角三角形全等条件的过程，体会一般与特殊的辩证关系 掌握直角三角形全等的条件：“斜边、直角边” 能运用全等三角形的条件，解决简单的推理证明问题 3.情感与价值观要求 通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法发展实践能力和创新精神 教学重点 探究直角三角形全等的条件 教学难点 灵活运用三角形全等的条件证明 教学方法 启发式 教学过程一创设情境，导入新课（按课本引入） 师这位师傅量了斜边长和没遮住的直角边边长，发现它们对应相等，于是他判断这两个三角形全等你相信吗？ 二导入新课今天我们就来探究“两个直角三角形全等的条件” 1. 做一做： 已知线段AB=5cm，BC=4cm和一个直角，利用尺规做一个直角三角形，使C=90，AB作为斜边做好后，将ABC剪下与同伴比较，看能发现什么规律？ （学生自主完成后，与同伴交流作图心得，然后由一名同学口述作图方法老师做多媒体课件演示，激发学习兴趣）作法：（略） 2. 探究结果总结： 斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”和“HL”） 3.你能用几种方法说明两个直角三角形全等呢？ “定义、SSS、SAS、ASA、AAS”这五种方法，但它又具有特殊性，还可以用“HL”的方法判定 4.议一议： 例1如图，ACBC，BDAD，AC=BD求证：BC=AD 分析：BC和AD分别在ABC和ABD中，所以只须证明ABCBAD，就可以证明BC=AD了三随堂练习（一）课本P101练习1、2四课时小结 通过本节学习，我们有如下收获： 1直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，而且还有直角三角形特殊的判定方法“HL” 2两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等，只须找两个条件（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）即可五课后作业 1课本习题1127、8、12题 2学完全等三角形的条件，你有什么收获？ 六教学后记：作业中出现以下情况：1.不事先说明是直角三角形，也用“HL”2.把直角相等的条件也写入大括号中，凑成三个条件。 上课时以讲清，但仍出现这种情况，说明学生在写作业之前没有复习，没有掌握好基本的方法。1131 角的平分线的性质（一）教学目标 1.教学知识点 角平分线的画法 2.能力训练要求 应用三角形全等的知识，解释角平分线的原理 会用尺规作一个已知角的平分线 3.情感与价值观要求 在利用尺规作图的过程中，培养学生动手操作能力与探索精神 教学重点 利用尺规作已知角的平分线 教学难点 角的平分线的作图方法的提炼 教学方法 讲练结合法 教学过程 一提出问题，创设情境 问题1：三角形中有哪些重要线段 问题2：你能作出这些线段吗？ 如果老师手里只有直尺和圆规，你能帮我设计一个作角的平分线的操作方案吗？ 二导入新课 1. 在已知AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MCOA，NCOB，MC与NC交于C点，连接OC，那么OC就是AOB的平分线了 师他这个方案可行吗？ （学生思考、讨论后，统一思想，认为可行） 2. 议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线你能说明它的道理吗？ 3. 老师再提出问题：通过上述探究，能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法自己动手做做看然后与同伴交流操作心得 （分小组完成这项活动，教师可参与到学生活动中，及时发现问题，给予启发和指导，使讲评更具有针对性） 4.讨论结果展示： 5. 议一议： （1）在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？ （2）第二步中所作的两弧交点一定在AOB的内部吗？ （3）这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明 6.练一练： 任意画一角AOB，作它的平分线 三随堂练习 课本P106练习 四课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，探究得到了角平分线仪器的操作原理，由此归纳出角的平分线的尺规画法，进一步体会温故而知新是一种很好的学习方法 五课后作业 1课本P108习题1121、2六教学后记：在作业中，学生仍习惯于应用全等解决相等问题，而常忽略角的平分线的性质的应用，这就使问题变得烦琐了要使学生充分认识这一点，在教学中要设计丰富多彩的活动，使学生能从各个角度认识角的平分线的性质，从而达到运用自如的目的，使学生深刻体会应用角的平分线的性质的优越性但时间毕竟有限。1132 角的平分线的性质（二）教学目标 1.教学知识点 角的平分线的性质 2.能力训练要求 会叙述角的平分线的性质及“到角两边距离相等的点在角的平分线上” 能应用这两个性质解决一些简单的实际问题 3.情感与价值观要求 通过折纸、画图、文字一符号的翻译活动，培养学生的联想、探索、概括归纳的能力，激发学生学习数学的兴趣 教学重点 角平分线的性质及其应用 教学难点 灵活应用两个性质解决问题 教学方法 探索、归纳的方法 教具准备 剪刀、折纸、投影片 教学过程 一创设情境，引入新课 请同学们拿出准备好的折纸与剪刀，自己动手，剪一个角，把剪好的角对折，使角的两边叠合在一起，再把纸片展开，你看到了什么？把对折的纸片再任意折一次，然后把纸片展开，又看到了什么？ 二导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线，能推出什么样的结论 操作：1折出如图所示的折痕PD、PE 2你与同伴用三角板检测你们所折的折痕是否符合图示要求 画一画： 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕，并度量所画PD、PE是否等长？ 拿出两名同学的画图，放在投影下，请大家评一评，以达明确概念的目的 问题1：你能用文字语言叙述所画图形的性质吗？ 问题2：（出示投影片）能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话请填下表： 于是我们得角的平分线的性质: 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 师那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢？问题3：根据下表中的图形和已知事项，猜想由已知事项可推出的事项，并用符号语言填写下表： 我们又可以得到一个性质：到角的两边距离相等的点在角的平分线上同学们思考一下，这两个性质有什么联系吗？ (这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换) 思考：如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1：20000）？ 1集贸市场建于何处，和本节学的角平分线性质有关吗？用哪一个性质可以解决这个问题？ 2比例尺为1：20000是什么意思？ （学生以小组为单位讨论，教师可深入到学生中，及时引导） 总结：应用角平分线的性质，就可以省去证明三角形全等的步骤，使问题简单化所以若遇到有关角平分线，又要证线段相等的问题，我们可以直接利用性质解决问题 例如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等 师生共析点P到AB、BC、CA的垂线段PD、PE、PF的长就是P点到三边的距离，也就是说要证：PD=PE=PF而BM、CN分别是B、C的平分线，根据角平分线性质和等式的传递性可以解决这个问题 三随堂练习 1课本P107练习 2课本P108习题1132 在这里要提醒学生直接利用角平分线的性质，无须再证三角形全等 四课时小结 今天，我们学习了关于角平分线的两个性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在角的平分线上它们具有互逆性，可以看出，随着研究的深入，解决问题越来越简便了像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等 五课后作业 课本习题1133、4、5题六教学后记:课堂上一再强调书写证明的格式，但在作业中仍存在不少问题；此外，写证明及作图依据时，混淆不清，不知该选择哪一个。说明还须不断强化练习。第十二章轴对称121 轴对称(1)教学目标1.通过丰富的实例认识轴对称图形，并能找出轴对称图形的对称轴 2.了解轴对称图形、两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别 3.经历丰富材料的学习过程，发展对图形的观察、分析、判断、归纳等能力4.体验数学与生活的联系、发展审美观教学重点：轴对称的有关概念；教学难点：轴对称图形与两个图形关于某条直线对称这两个概念之间的联系与区别教学准备 教师：收集有关轴对称的素材(包括图形、实物、图片等)学生：准备复写纸；收集有关窗花的素材，并要求进行剪纸-双喜字或其他窗花教学设计作品展示，交流体会1作品展示：让部分学生展示课前的剪纸作品(可以将作品粘贴到黑板上)；2小组活动： (1)在窗花的制作过程中，你是如何进行剪纸的?为什么要这样?(2)这些窗花(图案)有什么共同的特点?概念形成(一)轴对称图形1在学生充分交流的基础上，教师提出“轴对称图形”的概念，并让学生尝试给它下定义，通过逐步地修正形成“轴对称图形”的定义，同时给出“对称轴”2结合教科书第118页图14.1-1进一步分析轴对称图形的特点，以及对称轴的位置3学生举例：试举几个在现实生活中你所见到的轴对称例子4概念应用：(1)教科书第119页练习；(2)补充：判断下面的图形是不是轴对称图形?并简要说明理由 (二)两个图形关于某条直线对称对于第二个概念的建立，分两个步骤进行：先观察图形，再进行画图其目的是突出两个图形和这两个图形之间的关系，在这个基础上再给出定义，比较合理1观察教科书第119页中的图14.1-3，思考：图中的每对图形有什么共同的特点?2操作：取一张薄纸，先对折，然后中间夹一张复写纸，再在纸上任意画一个图案，取出复写纸后你发现两层纸上的图案有什么关系?3两个图形成轴对称的定义如下图，图形F与图形F就是关于直线l对称，点A与点A是对称的4举例：你能举出一些生活中两个图形成轴对称的例子吗?5练习：教科书第120页辨析概念分组讨论：轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念之间的联系和区别讨论后可列表比较如下：轴对称图形两个图形成轴对称区别一个图形两个图形联系1沿着某条直线对折后，直线两旁的部分都能够互相重合(即直线两旁的两部分全等)2都有对称轴(至少一条)3如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是轴对称图形实践和应用1下列图形是部分汽车的标志，哪些是轴对称图形?奔驰宝马大众奥迪3下图中的两个图形是否成轴对称?如果是，请找出它的对称轴归纳小结 通过本节课的学习，你有什么收获?布置作业 教科书第125页第1、2题，第126页第6题教学后记: 1本课努力体现数学与生活的联系，让学生能感受到数学就在我们身边同时，学生在这些图案的认识过程中学习新知，应用新知，激发他们学习数学的兴趣2处理好概念教学与能力培养的关系本课先让学生收集图案，然后在学生有了感性认识的基础上提出有关的概念，再让学生把概念运用到实际问题情景中，这样的设计过程有利于学生对数学概念的真正理解，也有利于学生学习能力的提高12.1 轴对称(2)教学目标 探索并理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质 探索并理解线段垂直平分线的两个性质 通过观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，初步形成数学学习的方法 在数学学习的活动中，养成良好的思维品质教学重点：图形轴对称的性质和线段垂直平分线的性质教学难点：由线段垂直平分线的两个性质得出的“点的集合”的描述教学准备 木棒、橡皮筋教学设计提出问题1下面的图形是轴对称图形吗?如果是，请说出它的对称轴 2如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系?(如下图，ABC和ABC关于直线MN对称) 3如图，ABC和ABC关于直线MN对称，点A、B、C分别是点A、B、C的对称点，线段AA、BB、CC与直线MN有什么关系?图3实验探究1折一折要解决问题3，我们可以从最简单的一个点开始：先将一张纸对折，用圆规在纸上穿一个孔，然后再把纸展开，记两个孔的位置为点A和点A，折痕为直线MN(如图3)显然，此时点A和点A关于直线MN对称连结点A，A，交直线MN于点P2说一说观察图形，线段AA与直线MN有怎样的位置关系?你能说明理由吗?类似地，点B与点B，点C与点C是否也有同样的关系?你能用语言归纳上述发现的规律吗?注：在这个基础上，教师给出垂直平分线的概念，然后把上述规律概括成图形轴对称的性质(教科书第121页)3想一想上述性质是对两个成轴对称的图形来说的，如果是一个轴对称图形，那么它的对应点的连线与对称轴之间是否也与同样的关系呢? (结合教科书第121页的图14.1-5让学生说明)从而得出：类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点连线的垂直平分线合作探究图4探究一：教科书第121页的“探究”学生先思考教科书上的问题，然后让学生以线段代替木条进行画图探究任意画一条线段AB，再画出它的垂直平分线MN，在MN上任意取点P1，P2，P3(如图4)，分别量一量点P1，P2，P3到A与B的距离，你有什么发现?你能说明理由吗?请与同伴交流处理方式：要求学生在独立尝试、独立思考的基础上进行合作交流，然后小组汇报学生可以量一量、折一折，也可以运用第十三章的知识证明三角形全等在学生充分讨论的基础上归纳出：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等想一想：如图5，我们在教科书第99页的练习1中,应用三角形全等的知识说明了CB=CB，你能运用今天所学的知识给出解释吗?图5问题：反过来，如果PA=PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上?图6探究二：如图6，PA=PB，取线段AB的中点O，连结PO，PO与AB有怎样的位置关系?从而得出：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上归纳结论：见教科书第122页的最后一段话3练习：教科书第123页小结提高 1本节课你学到了什么? 2轴对称图形的性质与线段垂直平分线的性质之间的联系；在解决问题的过程中所看到的新旧知识之间的联系作业布置：教科书第125页第3题，第126页第5、9题教学后记: “实践探究、合作探究、折一折、说一说、想一想”，充分体现了新课程所倡导的理念，此外本课非常注意知识的前后联系如在复习轴对称概念的基础上探究轴对称的性质，轴对称的性质与全等三角形联系，用本课的知识去解释前面的问题等等同时还注重知识的应用，因此，学生学起来兴致很高。12.1 轴对称(3)教学目标 了解线段垂直平分线的画法 会画两个成轴对称的图形(或一个轴对称图形)的对称轴 通过画图和欣赏，陶冶学生的审美情操教学重点：画图形的对称轴教学难点：对对称轴画法的理解教学设计提出问题问题1：如果我们感觉两个平面图形是成轴对称的，你准备用什么方法去验证?问题2：两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴?学习新知我们已经知道，如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此我们只要找到这两个图形的一对对应点，然后画出以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线就可以了如何画一条线段的垂直平分线呢?例1(补充)已知线段AB(如图1)，用直尺和圆规作线段AB的垂直平分线图1可按如下的步骤进行：图2(1)教师启发：根据线段垂直平分线的性质，只要找到与A，B两点的距离相等的两个点即可(2)作图示范写出作法，根据作法一步一步地作出图形(3)解后反思：在上述作法中，为什么有CA=CB，DA=DB?如图2，直线CD与AB的交点就是线段AB的中点，因此用这种方法可以作出线段的中点；你还有其他的方法画一条线段的垂直平分线吗?解决问题：练习：教科书第123页中的例题例2(补充)如图3，ABC和ABC是两个成轴对称的图形，请画出它的对称轴 实践和应用1练习：教科书第124页师生小结 1线段垂直平分线的作法； 2画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然后画垂线作业布置 教科书第125页第4题，第126页第7、8题；教学后记： “问题是数学的心脏”数学教学离不开问题的教学，在本课中始终围绕着问题展开首先提出问题，引起学生的思考，然后从简单的问题着手进行探讨在这个过程中，有教师的启发引导，有学生的独立思考，有解题后的反思，有问题的发散性，有解决问题方法的运用等，最后达到解决问题、提高学生解决问题能力的目的。12.2.1用坐标表示轴对称教学目标 能在直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点 能表示点关于坐标轴对称的点的坐标，表示关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律并检验其正确性的过程中，培养学生的语言表达能力，观察能力、归纳能力，养成良好的科学研究方法在找点、绘图的过程中使学生体验数形结合思想、体验学习的乐趣教学重点：用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标教学难点：找对称点的坐标之间的关系、规律教学准备 画有网格的平面直角坐标系图的练习纸教学设计创设情境,引入新课引言：同学们，我们的首都北京是大家都向往的地方，你们去过北京吗?让我们一起去北京逛一逛，好吗?(多媒体放映北京城，抽象出形象地图)引出问题：老北京的地图中，其中西直门和东直门是关于中轴线对称的，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，对应于如图所示的东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗?用坐标表示轴对称，可以很方便地确定一个地方的位置，实际上在我们日常生活中应用非常广泛，如工程建设的绘图等这节课我们就来学习用点表示轴对称引入课题：用坐标表示轴对称合作探究,探索新知(1)在直角坐标系中画出下列已知点A(2,-3)；B(-1，2)；C(-6，-5)；D(3，5)；E(4，0)；F(0，-3)(2)画出这些点分别关于x轴、y轴对称的点并填写表格(3)请你仔细观察点的坐标，你能发现关于坐标轴对称的点的坐标有什么规律吗?(4)请你想办法检验你所发现的规律的正确性说说你是如何检验的利用刚才发现的点关于x轴、y轴对称的点的坐标规律，我们可以很容易地在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴、y轴对称的图形分享成果，巩固新知看谁脑子转得快!(1、2抢答)：1说出下列各点关于X轴、y轴对称的点的坐标：(-2，6)，(1，-2)，(-1，3)，(-4，-2)，(1，0)2如下图，ABC关于X轴对称，点A的坐标为(1，-2)，说出点B的坐标3如下图，四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(-5，1)、B(-2，1)、C(-2，5)、D(-5，4)，分别作出与四边形关于x轴和y轴对称的图形变式探究,提升思维1分别作出PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=-1(记为n)对称的图形2你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗?3如果作关于直线x=3(记为m)和直线y=-4(记为n)对称的图形，你能发现对应点的坐标之间的关系吗?巩固练习：如下图.1请你画出下图关于y轴对称的图形，猜猜是什么图案?并说出一些对应点的坐标2再画出此图案关于直线x=-2对称的图形说出各点的坐标总结归纳1点关于某条直线对称的点的坐标可以通过寻找线段之间的关系来求。2点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)，即横坐标相等，纵坐标互为相反数；点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y)，即横坐标互为相反数，纵坐标相等布置作业: 教科书135页练习题第3题，习题14.2第2、4、6题教学后记：本节课的引入，能强烈地吸引学生的注意力，较好地激发学生的学习兴趣本堂课采用探究、发现式教学法，通过寻找关于坐标轴对称的点的坐标的一般规律，培养学生观察、归纳、分析问题、解决问题的能力最后一个练习中的图案设计，能较好地激发学生的学习兴趣，符合八年级学生的心理特征，也是本节课所学内容的一个较好运用12.3.1 等腰三角形(1)教学目标 经历剪纸、折纸等活动，进一步认识等腰三角形，了解等腰三角形是轴对称图形能够探索、归纳、验证等腰三角形的性质，并学会应用等腰三角形的性质培养分类讨论、方程的思想和添加辅助线解决问题的能力教学重点：等腰三角形的性质的探索和应用教学难点：等腰三角形的性质的验证教学准备 长方形的纸片、剪刀教学设计剪一剪师生拿出课前准备好的长方形的纸片，按教科书第140页的要求剪出ABC设问1：ABC有什么特点?学生思考后发现，上述过程中，剪刀剪过的两边是相等的，即ABC中ABAC像这样有两边相等的三角形叫等腰三角形并结合ABC介绍等腰三角形的“腰”“底边”“顶角”“底角”等概念注：结合亲自剪出的等腰三角形学习相关概念，加深印象折一折设问2：ABC是轴对称图形吗?它的对称轴是什么?让学生认识到动手操作也是一种验证方式猜一猜设问3：你还发现了什么现象，继而猜想等腰三角形ABC有哪些性质?学生讨论、汇报： BC 两个底角相等 BD=CD AD为底边BC上的中线 BADCAD AD为顶角BAC的平分线 ADBADC90AD为底边BC上的高用语言叙述为：性质1等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)；性质2等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(可简记为“三线合一”性质)证一证设问4：你能用所学的知识验证等腰三角形的性质吗?1证明等腰三角形底角的性质教师要求学生根据猜想的结论画出相应的图形，写出已知和求证已知：如图1，在ABC中，ABAC求证：BC师生共同分析证明思路并证明强调以下两点： (1)利用三角形全等来证明两角相等 (2)添加辅助线的方法可以多样例如，常见的作顶角BAC的平分线，或作底边BC上的中线或作底边BC上的高等让学生选择一种辅助线完成证明过程2证明等腰三角形的“三线合一”性质（注：鼓励学生用多种方法证明）用一用练习1(1)已知等腰三角形的一个底角是70，则其余两角为_.(2)已知等腰三角形一个角是70，则其余两角为_.(3)已知等腰三角形一个角是110，则其余两角为_.出示课本142页例1如图2，在ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD改编为：(1)图中共有几个等腰三角形?分别写出它们的顶角与底角(2)你能求出各角的度数吗?议一议等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗? 由等腰三角形是轴对称图形，还可以得到等腰三角形中问题较复杂，引导学生合作探究，更深入地认识等腰三角形哪些线段相等?作业 教科书第143页练习1、2、3教学后记： 学生对等腰三角形的“三线合一”性质不熟悉，而它的应用又很广泛因此，设计了多个问题、多种形式以加深印象此外应用性质计算、证明时，要注意引导学生对解题思路和方法进行总结，切实提高学生分析问题，解决问题的能力12.3.1 等腰三角形(2)教学目标 会阐述、推证等腰三角形的判定定理学会比较等腰三角形性质定理和判定定理的联系与区别经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值教学重点：等腰三角形的判定定理的探索和应用教学难点：等腰三角形的判定与性质的区别教学准备 师生准备作图工具教案设计：创设情境，提出问题出示课本143页思考题学生思考、回答后教师设问：在一般三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系?如何验证?学生根据命题画出图形，并写出已知、求证探索分析,解决问题1分析思路：引导学生类比等腰三角形性质的证明，添加辅助线，构造以AB，AC为边的两三角形，并证明它们全等此时辅助线可作ADBC于D；或AD平分BAC交BC于D；但不能作BC边上的中线2得出等腰三角形的判定定理应用举例,变式练习出示教科书144页例2 小组合作