吴代鸣固体物理基础部分习题解答.pdf

17 17 17 17 铜的空位形成能约为铜的空位形成能约为1 26eV 间隙原子的形成能约为间隙原子的形成能约为4eV 试估计接近熔点试估计接近熔点1300K 时空位和间隙原子的浓度 并比较两者的数量级 时空位和间隙原子的浓度 并比较两者的数量级 解 对于空位 主要由解 对于空位 主要由 SchottkySchottkySchottkySchottky 肖特基 缺陷引起 肖特基 缺陷引起 B u k T nNe 空 空位浓度空位浓度 19 23 1 26 1 6 10 5 1 38 101300 1 32 10 B u k T n ee N 空 对于间隙原子 主要由对于间隙原子 主要由 FrenkelFrenkelFrenkelFrenkel 夫伦克尔 缺陷引起 夫伦克尔 缺陷引起 1 22 2 BB uu k Tk T nNNeNe 间 间隙原子浓度间隙原子浓度 19 23 4 1 6 10 28 2 1 38 101300 1 79 10 B u k T n ee N 间 比较两者相差比较两者相差 3 3 3 3 个量级个量级 18 18 18 18 试求产生试求产生 n n n n 个个 SchottkySchottkySchottkySchottky 缺陷后晶体体积的变化以及对晶体热容的贡献 缺陷后晶体体积的变化以及对晶体热容的贡献 解 产生解 产生 n n n n 个肖特基缺陷就意味着有个肖特基缺陷就意味着有 n n n n 个原子从晶体内移动到表面上来 这样 晶格的格个原子从晶体内移动到表面上来 这样 晶格的格 点就由原来的点就由原来的 N N N N 个增加到个增加到 N 1N 1N 1N 1 个个 令原来的体积为令原来的体积为 0 V 那么每个原子所占体积为那么每个原子所占体积为 0 V N 后来的体积后来的体积 0 00 1 Vn VVnV NN 体积变化为体积变化为 0 0 V VVn N 产生产生 n n n n 个肖特基缺陷 晶体的能量变化为个肖特基缺陷 晶体的能量变化为nu 而 而 V V E C T V VV Enun Cu TTT 而而 B u k T nNe 22 1 BB uu k Tk T BB nuNu Nee TkTk T 22 22 B u k T V BB Nunu Ce k Tk T 19 19 19 19 24 24 24 24 利用紧束缚近似导出的利用紧束缚近似导出的 s s s s 带能量的一般公式带能量的一般公式 0 m ik R m n n E kEeR 对 对 mmmm 的的 求和只限于最近邻 试求求和只限于最近邻 试求 bccbccbccbcc 和和 fccfccfccfcc 晶格晶格 s s s s 带的能量带的能量 E k 解解 1 1 1 1 对于 对于 bccbccbccbcc 晶格 最近邻原子数晶格 最近邻原子数 8 8 8 8 个 坐标为个 坐标为 222 aaa 代入上式得 代入上式得 222222222 xyzxyzxyz aaaaaaaaa i kkkikkkikkk ss E kEeee 111 8 coscoscos 222 sxyz Ek ak ak a 2 2 2 2 对于对于 fccfccfccfcc 晶格晶格 最近邻原子数最近邻原子数 12121212 个个 坐标坐标 0 0 0 222222 aaaaaa 代入上式得 代入上式得 2222 yzyz aaaa i kki kk ss E kEee 111111 4coscoscoscoscoscos 222222 sxyxzyz Ek ak ak ak ak ak a 25 25 25 25 已知简单立方晶格已知简单立方晶格 s s s s 带的能量为带的能量为 2 coscoscos sxyz E kEk ak ak a 试求试求 能带极值附近电子的有效质量以及能态密度 能带极值附近电子的有效质量以及能态密度 解 带顶 解 带顶 aaa 带底 带底 0 0 0 2 2 2 2cos x x E ak a k 2 2 2 2cos y y E ak a k 对于带顶 对于带顶 22 22 2 2 xx x m Ea k yyzzxx mmm 2 2 2 2cos z z E ak a k aaa 附近 有 附近 有 222 111 2 1 1 1 222 sxyx E kEkkk aaa 222 6 sxyz Ekkk aaa 令 令 0 6 sxxyy EEkkkk aa zz kk a 则 则 2 0 E kE kEk 2 0 EE k k 0 11 2 dkdE k EE k 3 3 4 V g EEE kd k 2 3 0 4 4 V EE kk dk 0 0 3 1 4 42 E EE kV EE kdE k 0 0 3 1 4 42 E EE kV EE kdE k 0 3 1 4 42 EEV 1 2 0 23 2 1 2 V g EEE 1 2 23 2 1 6 2 s V EE 对于带底 对于带底 22 22 2 2 xx x m Ea k 2 2 2 yyzz mm a 000附近有 附近有 222 111 2 111 222 sxyz E kEkkk 2 6 s Ek 2 0 Ek 2 0 E kE k 0 1 2 dkdE k E kE 3 3 4 V g EEE kd k 2 3 0 4 4 V EE kk dk 0 0 3 0 4 4 2 E E kEVdE k EE k E kE 1 2 0 23 2 1 2 V EE 1 2 23 2 1 6 2 s V g EEE 27 27 27 27 按近自由电子近似 靠近按近自由电子近似 靠近 BrillouinBrillouinBrillouinBrillouin 区界面时 电子的能量为区界面时 电子的能量为 1 2 2 00002 11 4 22 nnn E kEkEkGEkEkGV G 试证明电子的等能面与试证明电子的等能面与 BrillouinBrillouinBrillouinBrillouin 区界面垂直相交 区界面垂直相交 证明 证明 22 11 22 2 22 2 n E k kkG mmk 1 2 22 00 1 1 4 2 2 nn EkEkGV G 2 00 2 2 2 nn EkEkGkkG m 当当k 端点落在端点落在 BrillouinBrillouinBrillouinBrillouin 区边界上时 区边界上时 200 20 nnn k GGEkEkG 2 1 2 n E k kG mk E k k 与等能面垂直 而与等能面垂直 而 1 2 n kG 的方向沿的方向沿着着 BrillouinBrillouinBrillouinBrillouin 区区 n G 的边界 所以等能面与的边界 所以等能面与 BrillouinBrillouinBrillouinBrillouin 区边界垂直相交 区边界垂直相交 28 28 28 28 设有二维矩形晶格设有二维矩形晶格 原胞边长为原胞边长为 a a a a 和和 2a2a2a2a 若每原子提供两个价电子若每原子提供两个价电子 试分别用简约区图试分别用简约区图 示和重复区图示画出自由电子的费米面 如果受到若周期场的微扰 其费米面的形状什么示和重复区图示画出自由电子的费米面 如果受到若周期场的微扰 其费米面的形状什么 变化 变化 解 设解 设 12 2aaiaaj 则倒格子基矢则倒格子基矢 12 2 bibj aa 1 1 1 1 先计算费米波矢先计算费米波矢 F k 设原子数为设原子数为 N N N N 则电子数 则电子数 2N2N2N2N 则面积 则面积 2 22SNa aa N 倒易空间的面积元倒易空间的面积元 222 22 442 2Sa Na N 2 2 22 4 F k N S 2 F k a 2 2 2 2 第一区与第二区边界情况 第一区与第二区边界情况 1 22 b a 2 2 b a 12 22 F bb k 2 m 1 0 E 0 2 E k 试求 试求 T 0KT 0KT 0KT 0K 时的时的 FermiFermiFermiFermi 能能 解 如图所示 由于能带交叠 本来会填满带解 如图所示 由于能带交叠 本来会填满带 1 1 1 1 的电子的电子 有一部分会填充到带有一部分会填充到带 2 2 2 2 带 带 2 2 2 2 中电子数等于带中电子数等于带 1 1 1 1 中中 空穴数 对于带空穴数 对于带 1 1 1 1 2 1 1 k k E k m 1 1 2 2 0 m kEE 能态密度为 能态密度为 1 3 1 2 2 k VdS N E E k 2 23 1 4 2 2 Vk k m 1 22 mV k 3 2 1 1 22 2 0 2 mV EE 对于带对于带 2 2 2 2 同理有 同理有 3 2 2 0 22 22