例说微积分知识中学数学解题中的应用学士学位论文.doc

学号：2004050049哈尔滨师范大学学士学位论文题 目 例说微积分知识中学数学解题中的应用哈 尔 滨 师 范 大 学学士学位论文开题报告论文题目 例说微积分知识在中学数学解题中的应用专 业 数学与应用数学2009年 3 月课题来源：指导教师命题自拟题目课题研究的目的和意义： 目的是了解微积分的基本内容和思想方法，从而使微积分应用到中学数学解题中，使中学数学中的问题解法简化，例如不等式的证明，数列求和问题，在解析几何中也有巧妙的应用，并且学习微积分可以培养学生辩证思维方法和数学观念。国内外同类课题研究现状及发展趋势： 国内：大有热点之势，有很多学者热衷。国外：这方面相对比较发达，他们对数学起步较早，已有一定的经验。发展趋势：在数学教学中，抓好基础概念，是非常重要的。有助于提高学生的数学素质，培养学生解题的实际能力。各种解题方法的正确理解和掌握又是锻炼学生思维的多样性课题研究的主要内容和方法，研究过程中的主要问题和解决办法： 首先给出了微积分的基本内容与思想方法，并提出微积分时培养学生辩证思维方法的最佳内容，之后讨论了微积分在中学数学中的应用，并举例说明微积分在中学数学中都有哪些巧妙的应用，使解题得到简化。课题研究起止时间和进度安排：起止时间：2008年12月28日2009年4月20进度安排：2008.12.282009.3.20 学习相关的理论知识并分析其在教学过程中的具体应用;撰写课题方案。2009.3.212009.3.29 定期请教指导教师指导课题研究,请教相关问题,完成论文初稿。2009.4.62009.4.20 根据指导教师的意见和要求修改论文,完成成稿。课题研究所需主要设备、仪器及药品：杂志、复印机、计算机、打印机等。外出调研主要单位，访问学者姓名：指导教师审查意见：同意开题指导教师 （签字） 年 月 日 教研室（研究室）评审意见：同意开题数学教育教研室（研究室）主任 （签字） 年 月 日系（部）主任审查意见：同意开题 数学系 （部）主任 （签字） 年 月 日毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： 学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。作者签名： 日期： 年 月 日学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。涉密论文按学校规定处理。作者签名：日期： 年 月 日导师签名： 日期： 年 月 日指导教师评阅书指导教师评价：一、撰写（设计）过程1、学生在论文（设计）过程中的治学态度、工作精神 优 良 中 及格 不及格2、学生掌握专业知识、技能的扎实程度 优 良 中 及格 不及格3、学生综合运用所学知识和专业技能分析和解决问题的能力 优 良 中 及格 不及格4、研究方法的科学性；技术线路的可行性；设计方案的合理性 优 良 中 及格 不及格5、完成毕业论文（设计）期间的出勤情况 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）指导教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日评阅教师评阅书评阅教师评价：一、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格建议成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）评阅教师： （签名） 单位： （盖章）年 月 日教研室（或答辩小组）及教学系意见教研室（或答辩小组）评价：一、答辩过程1、毕业论文（设计）的基本要点和见解的叙述情况 优 良 中 及格 不及格2、对答辩问题的反应、理解、表达情况 优 良 中 及格 不及格3、学生答辩过程中的精神状态 优 良 中 及格 不及格二、论文（设计）质量1、论文（设计）的整体结构是否符合撰写规范？ 优 良 中 及格 不及格2、是否完成指定的论文（设计）任务（包括装订及附件）？ 优 良 中 及格 不及格三、论文（设计）水平1、论文（设计）的理论意义或对解决实际问题的指导意义 优 良 中 及格 不及格2、论文的观念是否有新意？设计是否有创意？ 优 良 中 及格 不及格3、论文（设计说明书）所体现的整体水平 优 良 中 及格 不及格评定成绩： 优 良 中 及格 不及格（在所选等级前的内画“”）教研室主任（或答辩小组组长）： （签名）年 月 日教学系意见：系主任： （签名）年 月 日学 士 学 位 论 文题 目 例说微积分知识在中学数学解题中的应用专 业 数学与应用数学 系 别 数学系学 院 数学科学学院哈尔滨师范大学2009年4月例说微积分知识在中学数学解题中的应用摘要：数学分析中的微积分在中学数学解题中有广泛的应用,可以起到以简驭繁的作用，如在代数方程根的讨论中、不等式的证明、恒等变形及恒等式证明、数列求和，在平面解析几何中也有及其巧妙的应用。使用微积分的方法，可使解法简化，并能使问题得以深化和拓广。此外，微积分可以培养学生辨证思维方法和数学观念，从而能够在以后的高等数学过程中得到更深一步的发展。关键词：微积分 中学数学 极限 辩证思维微积分是以数列为基础，贯穿极限思想方法，突出微分、积分这对基本矛盾，及其内在联系微积分基本定理。下面介绍的是微积分的基本内容以及基本思想方法，及其微积分在中学数学中解题中的应用。此外中学数学中也可以应用微积分来预测答案，确定初等解法的路线，构造习题，检测结果等。一、微积分的基本内容以及思想方法微积分的基本内容是由微分、积分、以及指出微分，积分是一对矛盾的微积分基本定理-牛顿莱布尼茨公式，这三个主要部分组成。极限、微分、积分概念，极限方法，微积分计算原理，运动辨证思想和数学观念的培养，组成了微积分的知识结构系统，极限概念和极限思想方法贯穿了微积分的全部内容。从进入高二阶段学习的学生认知水平来看，他们已开始摆脱具体事务的形式，进入具有形式逻辑的抽象，概括，分析，综合，演绎，可归纳等一般化理论思维阶段，并开始向更高级的思维-辨证思维形式发展。学习微积分这一具有丰富辨证思想的知识内容是培养和发展中学生思维能力不可分割的部分。并且学习微积分也是现代社会对人才的要求，和大学数学的学习内容得以衔接，无论是继续学习深造，还是步入社会在实践中学习提高，初等微积分的学习都难能使学生体验和见识变量数学的思想方法，拓宽他们对数学思想方法的认识和思路，培养辨证思维方式，进一步锻炼和形成理性思维，以适应科技迅速发展且竞争激烈的现代社会。无穷的方法，即极限思想方法是初等微积分的基本思想方法，所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象（例如圆面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形面积等）看作是某对象（内接正n边形的面积、匀速运动的物体的速度，小矩形面积之和）在无限变化过程中变化结果的思想（方法），它出发与对过程无限变化的考察，而这种考察总是与过程的某一特定的，有限的，暂时的结果有关，因此它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辨证思想，它不仅包括极限过程，而且又完成了极限过程。也就是说，它不仅是一个不断扩展式的“潜无穷”过程，又是完成了的“实无穷”，因此是“潜无穷”与“实无穷”的对立统一体，综观微积分的全部内容，极限思想方法及其理论贯穿始终，是微积分的基础。二、微积分的作用微积分是培养学生辩证思维方法的最佳内容。初等数学用的是静态观点，而微积分的用的是动态的观点；初等数学及决问题主要用的是形式变换方法，而微积分主要用的是矛盾转化方法；初等数学的逻辑基础是形式逻辑，而微积分的逻辑基础是辩证逻辑。下面将用辩证的观点，分析与综合相结合的方法，以案例的形式，对为什么微积分时培养学生辩证思维方法的最佳内容作以比较全面的论述。案例1 极限概念的定义及其蕴含的辩证思维方法。极限 一类变量无限变化趋势的数学模型。 定义1 无穷数列:当n趋向无穷大时，无限制逼近一个常数A,则称A,为无穷数列的极限，记作或。点评 （1）定义1直观而生动的显示出，又有限到无限变化，再由无限变化转化为有限，这就是有限与无限相互转化的辩证关系。 (2)定义1不足之处是只给极限概念的定性分析，而未上升到严格的量化分析。定义2设无穷数列与常数A,有如下关系：即对任给0，总存在相应的正整数N，使得当nN时，总有恒成立，则称无穷数列以A为极限，记作。案例2 导数（微分）的定义及其蕴含的辩证思维方法。导数 变量变化速度的数学模型。定义 设函数，分别为函数在点自变量的增量和相应y的增量。若，当时，极限存在，则称函数在点可导，记作 点评（1）在此定义中采用了欲进而先退的迂回方法，即先不直接正面探求，而退回到已知的平均变化率，再反其道而行之，有极限方法，将平均速度转化为瞬时速度。（2）此定义充分体现了“退”与“进”的互补关系，近似于精确的互相转化的辩证思维方法。案例3 定积分定义及其蕴含的辩证思维方法定积分 求变量总量的数学模型。定义 如果函数，与常数A有如下关系，即对的任意分割T, 不论点如何取,总有，则称函数在上可积，常数A叫做函数在上的积分，记作 点评 从定义可以看出有如下的辩证思维方法，“分”与“和”的辩证统一和互补关系；质与量的互转规律。上面用辩证思维分析的方法，揭示了微积分三个基本概念所蕴含的辩证思维方法，由于微积分学的整个内容是以这三个概念为核心而建构起来的，所以整个微积分学的内容充满了辩证概念思维方法，这正是微积分学培养学生辩证思维方法的最佳载体的根本原因。 三、微积分在中学中的应用 积分的知识和方法在中学数学的许多问题上，都能起到以简驭繁的作用，尤其是在不等式、恒等式及恒等边形；求极值；研究函数的变化性态及左图；求弧长、面积、体积等方面，不仅可使解题简化，并能使问题的研究更深入、全面。(一)指数、对数、三角函数 (二)等式的证明在研究变化过程中变量之间的相互制约关系时，更多的是不等式的研究，因此从某种意义上来说，对不等式的研究比等式更为长见，也更为重要，但不等式的证明方法多种多样，没有较为统一的方法，初等数学中经常通过恒等变形、数学归纳法、二次型等方法解决，或运用已有的基本不等式来证明，为此往往要进行恒等变形，这需要较高的技巧。利用微积分的方法，例如微积分的中值定理、函数的增减性、极值判定法、定积分的性质等，可简化不等式的证明过程，降低技巧性。例4:证明以下不等式（1） （2）证明：（1）设所以递增又，故设由已证明的得结果：，知递增且因y(0)=0,即知（2）设可知，所以递增，又，得到，于是知道，即，也即例5：证 (b0,c0.a1)证明：设 因为：，所以为减函数，于是有，即特别地，当b=c=1，有例6：试证证明：由定积分定义有：（三）恒等变形及恒等式证明 用初等方法证明恒等式，往往要有较高的技巧，用微积分的方法，就简单许多，例如对sin3=3sin-4sin3两端对求导，立即可得到cos3=4cos3-3cos.再如证明，也只要做短对x求导，且用特殊值确定常数即可解决。虽然我们不用微积分的一套方法，取代中学数学里必须有的恒等变形的知识和技巧训练，但做为数学的辅助手段，尚是可取的，例7：证明当证明：当x=1时，显然成立。当则由中值定理得令代入上式得 所以证毕本题用初等解法也不很困难，但须讨论，易出错。例8：求证证明：对两端求导得令显然，对应于x的不同值，可得若干类似的恒等式例9；证明证明：对两端从0到1积分即故 （四）数列求和中的应用数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，由许多初等解决方法。本段探讨的是运用微积分知识进行数列求和的基本方法，从中可见高等数学与初等数学的密切联系。1微分知识在数列求和中的应用首先证明一个等式：事实上利用二项式定理有：而因而：当时，两边同除以得：而当时，左边右边则恒有：从式出发利用微分知识可推出以下求和公式：公式1：对式两边求导则有：令公式2：由式可知：两边求二阶段导数则：令公式3：由式可知：X+2x2+3x3+nxn=两边求导得：令仿此：若式两边同时乘以x求导后令便会有：公式4：2，积分知识在数列求和中的应用用首先由于项式定理：两边对从0到1求积分，则：所以故从而有公式5：如果两边对从0到2，则：便可得到：公式6：继续推广公式7：例10：求证：其巧妙证法可为：设，所以则：（五）在平面解析几何中的妙用 这主要表现在用微积分方法求直线的斜率，有关二次曲线的切线、法线、和某些点的轨迹问题，都可以用微积分法解决，致使二次曲线的一般问题要用到多元微积分知识，在中学平面解析几何中，不能做深入研究。但是，类似的问题在各类考试中时有出现，他们用初等方法去解比较困难，用微分法知识去做，则很简单。例11：如图已知椭圆的面积的最小值为解：易求直线CD：。设切点，显见过点与CD平行的切线EF和CD的距离为最小。在X轴上方，椭圆方程为，因而，所以，故，由点到直线距离公式得P0到CD距离为，从厕最小为例12：设M是椭圆，上不是顶点的任一点，求过M点的切线方程。解：用隐含数求导法则得，所以过点M的切线方程为：，进一步整理得：类似的方法可求得双曲线、抛物线的切线方。例13：过点A（2，1）的直线I与双曲线交于点P1和P2，求线段P1P2中点的轨迹。这个问题用初等解法比较困难，我们先用微分中值定理建立一般的方法，再去解决它。若则由于元函数微分中值定理得，其中是点M（x,y）和点的连接线段的中点坐标，当满足隐含数存在性定理的条件时，方程确定了平面上的一条直线，设M和M1在此曲线上，若，由得利用这个结果证题：解：设P点的坐标为弦的斜率为K，则得又点P和点A都在P1P2上，所以整理得 （五）在函数中的应用1求函数的单调区间例14：已知确定的单调区间，并加以证明。解：（1） 由故在上为减函数。 ，递增区间：递增区间： 综上可知在下为减函数，在上为增函数。从上可以获知如果一个函数的单调性已知，那么函数的最大（小）值也就水到渠成了。求函数的最大（小）值，还有另一种思路，即计算函数在拐点处遇区间端点处的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。2 求根式函数的最大（小）值例15：函数的值域是解：先求定义域：1993x1994得驻点，计算驻点与区间端点处的函数值，得，可知，故值域是3、方程根的讨论例16试证:当0a1时,方程ax=x有唯一解,(0,1).证明设f(x)=ax-x,则当0a0,f(1) = a-10,所以由连续函数介值定理知,f(x) =0在(0,1)上有解,即 (0,1),使a=,此外,因为f(x) = axlna-10,所以f(x)在(-,+)上单调递减,故方程ax= x在(-,+)上只有一个根。由结论可知,当0 a1时,y= ax的图像与直线y = x有且只有一个交点。关于函数y =ax的图象与直线y = x是否有交点的问题,可通过对方程ax= x根的讨论得到完满的解答4、求分式函数的最大（小）值例17：求实数A取值范围，使得对于任意实数x和任意解：易知原命题等价于：设，上述二式可转化为：与令，得驻点只需计算于是令计算5、.函数的变化性态及作图函数的图象以其直观性有着别的工具不可替代的作用,特别是在说明一个函数的整体情况及其特征的时候,其作用尤为明显,这就要求我们能正确地作出函数的图象。中学教材在介绍二次函数、指数函数及三角函数等函数时,通常用描点法作出函数的图像。这种图像一般是粗糙的,不一定能准确地反映曲线在一些点和区间上的性态。利用导数作为工具,可有效地对函数的增减性、极值点、凹凸性等重要性态和关键点作出准确的判断,从而比较准确地作出函数的图象。一般来说,描绘函数的图像可以按以下步骤进行:(1)求出函数f(x)的定义域,确定图像范围。(2)判别函数f(x)是否具有奇偶性或周期性,缩小描绘图像的范围。(3)求函数f(x)的不连续点,并讨论函数在不连续点的左、右变化情况,可能存在极限,也可能趋向无穷(此时有垂直渐近线)。如果函数定义域是无限区间,则要讨论当| x |无限增加时,f(x)的变化趋势,若存在极限,则有水平渐近线;若趋于无穷,应考虑是否有斜渐近线。(4)计算函数f(x)的一、二阶导数,并求解f(x) =0和f(x) =0,讨论f(x)的单调性、局部极值、凹凸性与拐点,列表。(5)计算曲线的稳定点、局部极值点、拐点的坐标以及曲线与坐标轴交点的坐标。(6)在直角坐标系中,标出关键点的坐标,画出渐近线,再按讨论的性态逐段描绘综上所述,微积分在中学数学的几个应用中技巧独特,它使我们发现,一个完整的“解题单元”总是不同程度地包含:“陌生结构发散思维、求异思维熟悉结构不断尝试解题实现回顾解题、推广经验”这一过程在这一过程中,频繁的结构转换是惯用的希望这一过程能够带给学习者一些启发。参考文献1钱珮玲，邵光华：数学思想方法与中学数学，北京师范大学出版社，1999年7月2张奠宙，邹一心：现代数学与中学数学，上海教育出版社，1990年9月3龚彦琴：数学教学研究，2006年第1期 CALCULUS IN THE APPLICATION OF SECONDARY MATHEMATICS QUESTIONSTAN Xiang-WeiAbstract: Mathematical analysis of the infinitesimal calculus in secondary mathematics questions are broad applications can play a short drive to the complex role, as in algebra equation roots discussions, the kids prove, hang, deformation and hang equation certificates, series while in horizontal analytic geometry, and have ingenious applications. Use infinitesimal calculus methods enable solutions to simplify and enable problems to deepen and broaden. Furthermore, infinitesimal calculus students can develop standard ways of thinking and mathematical concepts that can in future be deeper step higher math course development.Key words: infinitesimal calculus；secondary mathematic；limit；dialectical thought论文（设计）题目 例说微积分知识在中学数学解题中的应用作 者谭相炜指导教师张宏伟指导教师职称副教授评阅人评阅人职称意 见 本文结构严谨，重点突出，论据翔实，层次清晰。举例能够很好说明微积分在中学数学解题中的应用，该文有一定的深度、广度及独到之处。是一篇合格学士学位论文评阅人签字评阅意见论文评阅人意见指导教师评语页论文（设计）题目例说微积分知识在中学数学解题中的应用作 者谭相炜指导教师张宏伟职 称副教授评 语该论文从五个方面微积分在数学解题方面的应用。论文选题有意义，内容比较完整，论证较充分，研究思路清晰，层次清楚。语句比较流畅，格式规范，论点比较明确，论据比较充分，研究结果有一定的意义。指导教师签字论文等级论文评阅人意见论文（设计）题目例说微积分知识在中学数学解题中的应用作 者谭相炜指导教师张宏伟指导教师职称副教授评阅人评阅人职称意 见 本论文选题有一定的意义，论证充分，论点突出，注重寻找出存在之问题，并找出解决的办法，对实践有一定的指导意义，达到学士论文的标准。评阅人签字评阅意见本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系 数学科学学院 专业 数学与应用数学 年级2005级 答辩人姓名 谭相炜 学号 2004050049 毕业论文（设计）题目 例说微积分在知识中学数学解题中的应用 毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）记录员 答辩小组组长签字 年 月 日 年 月 日本科毕业论文（设计）答辩登记表院（系）：数学科学学院 专业：数学与应用数学年级：2005级论文（设计）题目：例说微积分知识在中学数学解题中的应用答辩人：谭相炜学号：2004050049评阅人：指导教师：张宏伟 论文（设计）等级：答辩小组成员：答辩小组意见：秘书签名： 年 月 日论文（设计）答辩是否通过：通过（ ） 未通过（ ）论文（设计）最终等级：答辩小组组长签名：答辩委员会主席签名：学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行的研究工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经特别注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式注明并表示感谢。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者（本人签名）： 年 月 日学位论文出版授权书本人及导师完全同意中国博士学位论文全文数据库出版章程、中国优秀硕士学位论文全文数据库出版章程(以下简称“章程”)，愿意将本人的学位论文提交“中国学术期刊（光盘版）电子杂志社”在中国博士学位论文全文数据库、中国优秀硕士学位论文全文数据库中全文发表和以电子、网络形式公开出版，并同意编入CNKI中国知识资源总库，在中国博硕士学位论文评价数据库中使用和在互联网上传播，同意按“章程”规定享受相关权益。论文密级：公开保密（_年_月至_年_月）(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)作者签名：_ 导师签名：_年_月_日 _年_月_日独 创 声 明本人郑重声明：所呈交的毕业设计(论文)，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本设计（论文）不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本声明的法律后果由本人承担。作者签名: 二一年九月二十日毕业设计（论文）使用授权声明本人完全了解滨州学院关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定。本人愿意按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版，同意学校保存学位论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存设计（论文）；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布设计（论文）的部分或全部内容，允许他人依法合理使用。（保密论文在解密后遵守此规定）作者