线性代数模拟题及答案.doc

.模拟试题一一. 填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分）1n阶行列式D的值为c, 若将D的所有元素改变符号, 得到的行列式值为 .2设矩阵A = ，矩阵X满足 = ，则X = 3设n阶矩阵A满足 = 0 ，其中E为n阶单位阵，则 = 4设A，B均为3阶方阵，A 的特征值为 1，2，3，则= .5当 l 满足条件 时线性方程组 只有零解二、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案, 将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共20分) 1=( ). 6d 6d 4d 4d2. 向量组 的秩为s的充要条件是（ ）。 向量组不含零向量 向量组没有两个向量的对应分量成比例 向量组有一个向量不能由其余向量线性表示 向量组线性无关3. 当t =（ ）时，向量组 线性相关。 5 10 15 204已知向量组1，2，3线性无关，则向量组（ ）线性无关。 1+22+3, 21+42+3, 31+62 1, 1+2, 1+2+3 1+2, 2+3, 1+22+3 1-2, 2-3, 3-15. 已知, B为三阶非零矩阵且AB = 0, 则( ). 当t = 4时,B的秩必为1 当t = 4时,B的秩必为2 当t 4时,B的秩必为1 当t 4时,B的秩必为26设非齐次线性方程组A X = b中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A的秩为r ，则 r = m时，方程组A X = b有解 r = n时，方程组A X = b有唯一解 m = n时，方程组A X = b有唯一解 r n时，方程组A X = b有无穷多解7 设矩阵A和B等价，A有一个k阶子式不等于零，则B的秩（ ）k. = 8. 一个向量组的极大线性无关组（ ）. 个数唯一 个数不唯一 所含向量个数唯一 所含向量个数不唯一9. 下列关于同阶不可逆矩阵及可逆矩阵的命题正确的是( ). 两个不可逆矩阵之和仍是不可逆矩阵 两个可逆矩阵之和仍是可逆矩阵 两个不可逆矩阵之积仍是不可逆矩阵 一个不可逆矩阵与一个可逆矩阵之积必是可逆矩阵10已知任一n维向量均可由线性表示，则（ ）。 线性相关 秩等于n 秩小于n 秩不能确定 三计算题（16题每小题9分，第7题12分，共56分）1设矩阵A = ，矩阵B满足等式 B = ，求B 2. 设求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.3 向量是三元非齐次线性方程组的解向量，()且，求的通解4设5已知矩阵 与 相似。 （1）求y的值 ；（2）求一个满足P1AP的可逆矩阵P.6化二次型 为标准形，并求所用的非奇异线性变换矩阵. 7设有三维向量组问a为何值时：(1) 可由线性表示,且表法唯一；(2) 不能由线性表示；(3) 可由线性表示,且表法不唯一；求出全体表达式。四证明题（4分）二. 填空题1 (-1)nc 2 3 A3E 484 5l1且l-3二、单项选择题1 2. 3. 4 5. 6 7 8. 9. 10 三计算题1 由 B = 得 A B A = E ，即 B ( E A ) = E ，故 E A = 2 E A可逆且与B互为逆阵，从而B = = = 2. 构造矩阵，对A作行初等变换将其化为行简化阶梯形矩阵，即 显然，是的极大无关组并且3由题设可知，三元非齐次方程有解，由()知的基础解系含有一个非零解向量所以记易知，向量为齐次线性方程组的基础解系，向量为三元非齐次线性方程组的特解，故三元非齐次线性方程组的通解为：（为任意常数）4 5由1+4+5=2+2+y，得y=6；2对应的特征向量为（-1，1，0）T，（1，0，1）T；6对应的特征向量为（1，-2，3）T或（1/3，-2/3，1）T；P略6 由于f中含变量x1的平方项，故先集中含x1的项配方，就得到 令 即 把f化为平方和 所用的非奇异线性变换矩阵为 （）7解：设 （*）令A=（），则A的行列式（1）当时，方程组（*）有唯一解，此时向量可由线性表示,表法唯一；（2）当对方程组（*）的增广矩阵施行行初等变换：此时可得，所以方程组（*）无解，即向量不能由线性表示；（3）a=1时，对方程组（*）的增广矩阵施行行初等变换：此时可得，所以方程组（*）有无穷多解，即向量可由线性表示,且表法不唯一（*）的通解：k1（-1，1，0）T+k2（-1，0，1）T+（1，0，0）=（1-k1-k2，k1，k2）T四 模拟试题二一、填空题 （每小题2分，共20分）1设f（x）= ，则f（x）的展开式中 的系数为 ，2行列式的值为 3设矩阵A满足 = 0 ，其中E为单位阵，则 = 4设行列式D = = a ，则行列式D1 = = 5设 a = ，b = ，且A = ，则 = 6设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则 = 。7设3阶方阵A 、B满足 = E ，其中E为3阶单位阵，若A = ，则 = 8t 满足 时, , , 线性无关9中的向量 在基 下的坐标为 ） 10设A为3阶方阵，其特征值为3，-1，2，则2A2-3A+E的特征值为 10, 6, 3 二、单项选择题 (每小题2分，共10分) 1. 设A,B为方阵, 分块对角阵, 则C* = ( ). 2. 设A是mn矩阵,若非齐次线性方程组AX = B 的解不唯一,则结论( )成立. A的秩小于m m n A是零矩阵 AX = 0 的解不唯一3设1 ，2是矩阵A的两个不相同的特征值，是A的分别属于1 ，2的特征向量，则（ ）。 对任意k1 0 ，k2 0 ，k1 + k2都是A的特征向量 存在常数k1 0 ，k2 0 ，使k1 + k2是A的特征向量 当k1 0 ，k2 0时 ，k1 + k2不可能是A的特征向量 存在唯一的一组常数k1 0 ，k2 0 ，使k1 + k2是A的特征向量4向量组线性无关的充分条件是 。 均为非零向量。 中任意两个向量的分量不成比例。 中任意一个向量不能被其余向量线性表示。 中有一个部分组线性无关。5. 下列结论正确的是( ). X1, X2是方程组()X=O的一个基础解系, 则k1X1+k2X2是A的属于的全部特征向量,其中k1, k2 是全不为零的常数 A, B有相同的特征值, 则A与B相似 如果=0, 则A至少有一个特征值为零 若同是方阵A与B的特征值, 则也是A+B的特征值三、计算题 ( 14题每题8分，56题每题14分，共60分)1 若互不相同,求解方程: 2已知向量组线性无关，若线性相关，求a.3. 设求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.4设X1, X2, X3 是线性方程组AX = B的三个解, 其中 A是34矩阵,A的秩为2, X1 = ( -1,2,1,1 )T , X2 = ( 2,3,1,1 )T , X3 = ( 2,1,1,3 )T求AX = B的通解。5，为何值时，线性方程组有唯一解？无解或有无穷多解？在有无穷多解时，求其通解6.用正交变换法化二次型 f（ x1 ，x2 ，x3 ，x4 ）= 为标准形，并求出所用的正交变换 四证明题 （10分）设向量可由向量 线性表示，但不能由线性表示。证明：向量组 和向量组 等价。模拟试题二参考答案一、填空题1 -6 、 2、 3（1/4）A 4 24a 5 6 -1/16 7 1/2 8 t 1 9（12，-5，4，3） 10 10, 6, 3 二、单项选择题 1. 2. 3 4 5. 三、计算题 1 因f（ai）=0（因有两行相同） 所以 xi= ai （I=1，2，n-1）是方程的根。 2 因线性无关，只有系数全为0 所以对应的齐次线性方程组有非零解，由其系数行列式=0 解得a=-3/2 3. A=() 秩为2， 为一个极大无关组 4因A的秩为2，故基解系含有2个解。 基解系为 X1-X2，X1-X3 通解为 X1+c1（X1-X2）+c2（X1-X3 ） 5解：因为方程组的系数行列式，所以： 且时，时方程组有唯一解； ： ，方程组无解； 且时：() 时，方程组无解； () 时，方程组无穷多解，其同解方程组为：所以其基础解系，特解，通解分别为：（为任意常数） 6. 四证明题 （10分）证：因是的部分向量，所以可由线性表示， 且已知向量可由向量 线性表示，所以可由向量 线性表示； 因向量可由向量 线性表示，设 因kr0 （否则与向量不能由线性表示矛盾） 于是可解出，即可由线性表示。 所以向量组 和向量组 等价。 模拟试题三一 填空题 （每小题2分，共20分）1 实对称矩阵A的秩等于r, 它的正惯性指数为m, 则它的符号差为 .2当 l 满足条件 时线性方程组 只有零解3设行列式D = = a ，则行列式D1 = = 4设 a = ，b = ，且A = ，则 = 5设A为三阶方阵，A*为A的伴随矩阵，则 = 。6. 设A, B都是可逆矩阵, 则的逆矩阵为 .7当k 时，是的一组基8. A是三阶非零矩阵,A*是其伴随阵,A的所有二阶子式都等于零,则r(A*) = .9若3阶方阵A与B相似，A的特征值为，则行列式= . 10. k 时,二次型必是正定二次型.二、单项选择题 (每小题2分，共20分) 1设非奇异矩阵A的一个特征值=2，则矩阵（的一个特征值为（ ）. 2. 设A,B为方阵, 分块对角阵, 则C* = ( ). 3已知A 、B均为n阶非零矩阵，且A B = O ，则( ) A 、B中必有一个可逆 A 、B都不可逆 A 、B都可逆 以上都不正确4设n阶矩阵A与B等价，则必有( ) = a （a 0）时，= a = a （a 0）时，= a 当 0 时，= 0 当 = 0 时，= 05设A = ，B = ，P1 = ，P2 = ，则必有( ) A P1 P2 = B A P2 P1 = B P1 P2 A = B P2 P1 A = B6. 设A是mn矩阵,若非齐次线性方程组AX = B 的解不唯一,则结论( )成立. A的秩小于m m 2二、单项选择题 1 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.三、计算题1 因线性无关，只有系数全为0 所以对应的齐次线性方程组有非零解， 由其系数行列式=0 解得a=-3/2 2（7分）因A的秩为3,所以基解系含一个解。 2 X1-（X2 + X3）=（-4，1，1，1）T是解且不是零向量，故是基解系。通解为 X1+c2 X1-（X2 + X3） 3. （7分）A=() 秩为2， 为一个极大无关组 4. (15分)解考察非齐次线性方程组：（）即， 其增广矩阵： 由此可见，（） 当a=1且时，方程组无解，即不能由线性表示； （） 当a时，方程组有唯一解 即可由线性表示，且表示式唯一，其表示式为； (3)当a=-1且b=0时，方程组有无穷多解 即可由线性表示，且表示式不唯一，全体表示式为：其中为任意常数。 5.四证明题 证：由于A的属于不同特征值的特征向量线性无关，所以线性无关，于是 其系数行列式为 因此，方程组只有零解，即只有故线性无关。） 模拟试题四一、填空题 （每小题2分，共20分）1设f（x）= ，则f（x）的展开式中 的系数为 ，2当 l 满足条件 时线性方程组 只有零解3设行列式D = = a ，则行列式D1 = = 4.设矩阵，当t = 时，R(A)=2。5设3阶方阵A 、B满足 = E ，其中E为3阶单位阵，若A = ，则 = 6设, A2j (j = 1, 2, 3)为元素a2j的代数余子式,则 3A21 + 6A22 + A23 = .7设3阶方阵A的特征值为1，-1，2，则B=A3-5A2的特征值为 8. n阶方阵A 满足 9. 矩阵 的行向量组线性 .10. A是三阶非零矩阵,A*是其伴随阵,A的所有二阶子式都等于零,则r(A*) = .二、单项选择题 (每小题2分，共10分) 1已知向量组线性无关，则向量组（ ）线性无关。2. 下列结论正确的是( ).（A） X1, X2是方程组()X=O的一个基础解系, 则k1X1+k2X2是A的属于的全部特征向量,其中k1, k2 是全不为零的常数（B）若A与B相似，则A, B有相同的特征向量 （C） 若同是方阵A与B的特征值, 则也是A+B的特征值（D）如果=0, 则A至少有一个特征值为零3. 设 A是st 阶矩阵, B是mn阶矩阵, 如果ACB 有意义, 则C 应是( )阶矩阵。 （A） sn （B） sm （C） tm （D） mt 5n元线性方程组AX=B有唯一解的充分必要条件是（ ）（A） 导出组AX=0仅有零解 （B） A为方阵，且A0 （C） R(A)=n（D） 系数矩阵A的列向量组线性无关，且常数项向量B可由A的列向量组线性表示。三、计算题 ( 17题每小题8分，第8题10分，共66分)1已知2求k的值，使下列实二次型为正定二次型：3设X1, X2, X3 是线性方程组AX = B的三个解, 其中 A是34矩阵,A的秩为2, X1 = ( -1,2,1,1 )T , X2 = ( 2,3,1,1 )T , X3 = ( 2,1,1,3 )T求AX = B的通解。4.已知 A为3阶方阵，且，求5. 设求此向量组的秩和一个极大无关组, 并将其余向量用该极大无关组线性表示.四、证明题（4分）设A是nn矩阵，且存在一个nn非零矩阵B使AB = O，证明：模拟试题四参考答案一、填空题 1 -6 2l1且l-3 324a 4. -4