“杨辉三角”与二项式系数的性质.ppt

1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些 共有多少个 下面我们来研究二项式系数有些什么性质 我们先通过观察n为特殊值时 二项式系数有什么特点 计算 a b n展开式的二项式系数并填入下表 议一议 1 请看系数有没有明显的规律 2 上下两行有什么关系吗 3 根据这两条规律 大家能写出下面的系数吗 对称性 每行两端都是1Cn0 Cnn 1 从第二行起 每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和Cn 1m Cnm Cnm 1 详解九章算法 中记载的表 杨辉 杨辉三角 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 二项式系数的性质 2 若 a b n的展开式中 第三项的二项式系数与第七项的二项式系数相等 练习 1 在 a b 展开式中 与倒数第三项二项式系数相等是 A第 项B第 项C第 项D第 项 则n B 8 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 二项式系数的性质 由 即二项式系数前半部分是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知 当时 增减性与最大值 二项式系数的性质 1 在 1 x 10的展开式中 二项式系数最大为 在 1 x 11的展开式中 二项式系数最大为 3 在二项式 x 1 11的展开式中 求系数最小的项的系数 最大的系数呢 练习 2 指出 a 2b 15的展开式中哪些项的二项式系数最大 并求出其最大的二项式系数 变式 若将 只有第10项 改为 第10项 呢 解 各二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成 这是组合总数公式 二项式系数的性质 例证明在 a b n展开式中 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 在二项式定理中 令 则 赋值法 证明 例题 2 求证 证明 倒序相加法 1 二项式系数的三个性质 2 数学思想 函数思想 a单调性 b图象 c最值 小结 求奇数 次 项偶数 次 项系数的和 1 2 求奇数 次 项偶数 次 项系数的和 所以 3 例题点评 求二项展开式系数和 常常得用赋值法 设二项式中的字母为1或 1 得到一个或几个等式 再根据结果求值 求多项式的展开式中特定的项 系数 解 仔细观察所给已知条件可直接求得的系数是 例3 求的展开式中项的系数 解 的通项是 的通项是 的通项是 由题意知 解得 所以的系数为 例题点评对于较为复杂的二项式与二项式乘积利用两个通项之积比较方便运算 求展开式中系数最大 小 的项 解 设项是系数最大的项 则 二项式系数最大的项为第11项 即 所以它们的比是 例5在的展开式中 系数绝对值最大的项 解 设系数绝对值最大的项是第r 1项 则 所以当时 系数绝对值最大的项为 解决系数最大问题 通常设第项是系数最大的项 则有 由此确定r的取值 例题点评 三项式转化为二项式 解 三项式不能用二项式定理 必须转化为二项式 再利用二项式定理逐项分析常数项得 1107 解 原式化为 其通项公式为 240 问题探究 1 今天是星期五 那么7天后 的这一天是星期几呢 星期五 2 如果是15天后的这一天呢 星期六 3 如果是24天后的这一天呢 星期一 4 如果是天后的这一天呢 余数是1 所以是星期六 变式 若将除以9 则得到的余数是多少 变式 若将除以9 则得到的余数是多少 所以余数是1 8 2 求 1 x 1 x 2 1 x 10展开式中x3的系数 3 9192除以100的余数是 由此可见 除后两项外均能被100整除 所以9192除以100的余数是81 4 已知a b N m n Z 且2m n 0 如