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金融时间序列分析 第六讲 非平稳时间序列模型 第六讲非平稳时间序列模型 1 认识非平稳的数据特征 2 非平稳时间序列与单位根过程 3 趋势平稳和差分平稳过程 4 单位根检验 5 ARIMA模型 6 伪回归 7 协整与误差校正模型 8 实证案例 内容结构 前言 在前面的章节中 所阐述的有关时间序列数据模型的内容都假定数据是平稳的 那么 实际经济中的数据有没有可能是非平稳的 如何检验时间序列数据的非平稳性 特别是 如果我们面对的是非平稳的数据 原有的基于平稳数据而建立的分析方法是否仍然适用 如果不适用 我们就应该针对非平稳数据的特征 提出新的分析方法 本章我们将系统阐述非平稳性的概念 估计与检验方法 1 实践中 许多时间序列数据都是单位根过程 因此 单位根检验与协整分析是实证分析极为常见的方法 2 由于单位根过程累积了随机趋势 因此 某一时期的随机冲击对单位根变量有持久影响 也正是因为单位根变量累积了随机趋势 通常的大样本正态渐进性不再有效 3 判别某个时间序列数据是平稳的还是单位根过程 最常用的方法是DF或ADF检验 4 如果被解释变量变量和至少一个解释变量是非平稳的 回归可能遇到谬误相关 这种谬误相关放大了R2和非平稳解释变量对应的t值 5 两个或多个单位根变量之间可能存在协整关系 协整关系表明它们之间存在长期均衡 可通过检验方程残差的平稳性实现协整检验 6 误差校正模型是协调协整变量短期动态变化及其长期关系的一种方法 本章重点 1 认识非平稳的数据特征 我们以中国国内生产总值 GDP 经济增长率 g 的数据为基础分析相关概念 具体数据如图 图1 1GDP数据图 图1 2经济增长率数据图 从图1 2可以发现 我国经济增长率数据既没有上升趋势 也没有下降趋势 而是围绕在某个均值附近上下波动 一旦某年度的经济增长率偏离均值 它会随后较快地向均值回复 也就是说 经济增长率具有均值回复特征 经济增长率的数据特征与上一章中所介绍的平稳数据特征很相似 与之不同的是 我国的GDP虽有一定的波动 但存在一个明显的上升趋势 如果我们把每年的GDP看成是一个随机变量 那么 这种上升的趋势就使得每年GDP的均值发生变化 类似GDP这样的数据变化特征就是本章将要介绍的非平稳数据的一个典型特征 2 非平稳时间序列与单位根过程 定义 如果一个时间序列的均值或方差随时间而变化 那么 这个时间序列数据就是非平稳的时间序列数据 如果一个序列是非平稳的序列 常常称这一序列具有非平稳性 如果时间序列不满足如下平稳性定义中的一条或几条 则是非平稳的序列 1 的均值不随时间变化 2 的方差不随时间变化 3 任何两期的与之间的协方差仅依赖于这两期间隔的距离或滞后长度 而不依赖于其他变量 对所有的 即与的协方差表述为 平稳性定义 所谓时间序列的随机游走 RandomWalk 即指下一期的值等于当期的值加上随机误差项 我们把随机游走划分为带漂移的随机游走和不带漂移的随机游走 非平稳性和随机游走的关系 假设由一阶自回归过程所生成 将代入方程 2 1 这样定义的被称为随机游走 假定时间序列从第0期开始 我们就有 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 方程 2 2 中没有截距项 这里称为漂移项 和时间趋势项 若在方程中分别加入漂移项和时间趋势项 可得到另外两种随机游走方程 方程 2 6 称为带漂移的单位根过程 方程 2 7 称为带漂移和时间趋势的单位根过程 2 6 2 7 图2 1 图2 2 图2 3 图2 4 认识数据特征 平稳数据和几种单位跟数据 3 趋势平稳和差分平稳过程 一 趋势平稳和差分平稳的数据生成过程图1 1中我国的名义GDP表现出很强的趋势 这种趋势是随机性的还是确定性的呢 还是两者兼而有之呢 为清楚理解这一问题的含义 考虑如下模型 3 1 1 在模型 3 1 中 若则可以得到 模型 3 2 是一个不带漂移和时间趋势项的随机游走 是非平稳的单位根过程 对其取差分的形式 得到 由于随机误差项 是平稳的 因此 是平稳的 换言之 一个不带漂移的随机游走是一个差分平稳过程 3 2 3 3 2 在模型 3 1 中 若则可以得到 这是一个带漂移的随机游走过程 是非平稳的单位根过程 将其写成差分的形式 这意味着时间序列的变化 除了受的影响外 还受误差项的影响 并且将把以前时期的值累积起来 随机误差项对的这种累积效应被称为随机趋势 带漂移的单位根过程也是差分平稳的 3 4 3 5 3 在模型 3 1 中 若则可以得到 模型 3 6 所生成的数据 其均值不是常数而是时间的函数 等于 其方差恒定 等于的方差 一旦知道了的值 就可以准确预测的均值及其趋势 一旦从中减去其均值 所得到的序列就是平稳的 因此 由 3 6 生成的称为趋势平稳过程 这种除去确定性趋势的过程称为除趋势 3 6 4 在模型 3 1 中 若则可以得到 这是一个带漂移和时间趋势的随机游走 将模型 3 7 转化成差分的形式 可以看出 含有时间趋势 因此的均值随时间而变化 是非平稳的 要使变成平稳 需要对其进行除趋势处理 也就是说 是趋势平稳过程 3 7 3 8 二 趋势平稳的检验方法 实际研究中一个简单的区分趋势平稳和差分平稳的方法 就是从数据中去除其所含有的确定性部分 然后检验其剩余部分是单位根过程还是平稳过程 如果剩余部分是单位根过程 则说明该数据本身是差分平稳 否则该数据就是趋势平稳过程 例如 对如下模型做回归 得到回归残差 再检验的平稳性 基于检验结果判断是否趋势平稳 3 9 4 单位根检验 一 迪基 富勒 DF 检验数据的非平稳性可能归因于一个确定性时间趋势 也可能是源自于数据生成过程中的随机游走 也许两者兼而有之 区分非平稳数据的这两种特征非常重要 Nelson Plosser 1982 等认为很多经济时间序列都是由单位根而不是由确定性时间趋势来更好地近似描述 因此 近期广受欢迎的一种非平稳性检验就是所谓的单位根检验 回忆我们曾讨论方程 2 1 中的值 它帮助我们确定Y是平稳还是非平稳 我们已在第2节中定义 如果1时 趋于以更快的速度爆炸性增长 此时称为发散过程 但当 1 是非平稳的且被称为单位根过程 因此 迪基 富勒 DF 单位根检验的原理 估计方程 4 1 并确定是否有 1 从而判定是否是平稳的 4 1 首先 在方程 4 1 两边同时减去 得到 定义 我们就得到迪基 富勒 DF 检验最简单的表达式 这里 因此 检验是否为单位根过程就转而检验原假设 0 若 0 则 1 为一个单位根过程 若 0 则 1 是平稳的 于是我们构造原假设 0 备择假设 0 4 2 4 3 如何检验模型 4 3 的原假设是否成立 在原假设下 估计的的回归系数的t统计值即使在大样本下也不服从t分布 因此 使用通常的t检验无法检验原假设是否成立 迪基 富勒的解决办法 在原假设 0下 使用模型 4 3 中系数的通常t型统计量 但极限分布不同于t分布 将这时的t统计量称之为统计量 迪基 富勒使用蒙特卡罗仿真实验计算了统计量极限分布的临界值 麦金农 MacKinnon 计算了更为全面的极限分布临界值表 常用的计量软件都带有 与三种随机游走时间序列相对应的三种形式的DF检验形式 不论我们采用哪种形式的迪基 富勒检验 判断法则都是基于的估计 注意 检验原假设 0的检验随DF检验形式的不同而不同 所对应统计量的临界值也不相同 认识这点非常重要 4 4 4 5 4 6 二 扩展的迪基 富勒 ADF 检验 考虑误差项存在序列相关 对迪基 富勒检验方程的设定形式进行相应修正 将若干阶差分的滞后项作为迪基 富勒检验方程中的解释变量 这种情形的DF检验被称为增广的迪基 富勒 ADF 检验 对应三种不同形式的DF检验 ADF检验为 4 7 4 8 4 9 上述检任然是都是基于的估计 三 ADF检验的实例这里的实例可以考虑更换 一 我们选择了1978 2007年江西省的商品零售价格指数 P 和1989 2007年江西省净出口总额 EX 数据 数据图形如图4 1和4 2 图4 1 商品零售价格指数 图4 2 净出口总额 系数 0 24所对应的t统计量值为大于ADF的5 显著性水平下对应的临界值 1 953 而小于10 显著水平下的临界值 1 610 因此 不能在5 的显著性水平下拒绝单位根的原假设 但可在10 的显著性水平下拒绝单位根的原假设 针对商品零售价格指数没有明显确定趋势的数据特征 设定ADF检验模型为 使用EViews5 0对进行ADF检验 其中滞后期q是根据最小AIC准则确定为0 检验方程估计得到 t 1 946 EViews5 0检验结果输出表为 4 10 所对应t统计量值为 0 679 大于5 显著性水平对应的临界值 3 05 不能拒绝为单位根的原假设 针对的数据图形的趋势 我们选择带漂移项 不带时间趋势项的ADF检验 使用Eviews5 0对进行ADF检验 其中滞后期q是根据最小AIC准则确定为1 检验方程估计得到 t 1 15 0 68 0 14 Eviews5检验结果输出表为 13 4 11 二 我国季度GDP的数据特征我们选择1995Q1 2008Q2的季度GDP 数据来自中经网统计数据库 使用消费者价格指 1994 100 换算成实际GDP后 再使用X12进行季节调整 去除季节趋势 去季节趋势后的实际GDP取自然对数值Ln RGDP 见图4 3 图4 3 实际GDP季度数据 所对应t统计量值为 1 16 大于5 显著性水平对应的临界值 3 50 不能拒绝原假设 从图形可以看出 RGDP含有明显的确定性趋势 它很可能是带漂移项 时间趋势项的单位根过程 因此 我们设定检验方程 使用EViews5 0对进行ADF检验 滞后期是根据最小AIC准则确定为0 对检验方程估计得到 t 1 19 1 16 1 54 EViews5 0检验结果输出表为 4 12 5 ARIMA模型 如何使用ARMA模型来考察非平稳单位根过程数据的动态性呢 一种简单的方法就是 首先对单位根变量 比如 进行差分 使之变为平稳数据 然后对差分后的平稳数据使用上节课的ARMA模型进行分析 这种情形下的ARMA模型就成为ARIMA模型 如 ARIMA 2 1 3 其中2表示自回归的阶数 3表示移动平均的阶数 1则表示差分的数次 为说明如何使用ARIMA模型考察时间序列数据的动态调整过程 我们来看一下我国通货膨胀的动态调整行为 以年度商品零售价格指数 表示通胀率 数据来源于 新中国60周年统计资料汇编 见图5 1 图5 1 我国年度通胀率 从数据波动特征看 我国的通胀率没有明显上升趋势 也没有明显的下降趋势 意味着数据生成过程中不包括确定性趋势 因此 我们使用不含漂移项和时间趋势项的单位根检验 使用AIC准则确定滞后期 检验结果为 t 0 175 0 736 2 79 输出结果 5 1 可以判定为 考察的自相关图 AC 和偏自相关图 PAC 它们具有一定 拖尾 的特征 因此使用ARMA模型分析 结合最小AIC准则 最终确定的短期动态调整行为由ARIMA 2 1 2 所表述即 t 0 54 0 54 2 82 2 08 7 05 输出结果 5 2 6 伪回归 一个伪回归的例子考虑两个不相关的随机游走过程 这里的随机误差项和都是独立同正态分布的随机变量 且和互不相关 将由 6 1 和 6 2 所生成的和做回归 即 6 1 6 2 6 3 由前面的假设 与不相关 对模型 6 3 回归的应趋于0 且和不应该显著不为0 但Granger 1974 的仿真实验表明 6 3 回归所得到的很高 和的t统计值绝大多数是统计显著的 且DW值很低 于是 这一回归产生了虚的和DW值 以及虚的t统计值 类似这种回归称为伪回归或谬误回归 spuriousregression 一般而言 如果回归方程中的被解释变量或至少一个解释变量是非平稳的 或者回归的残差是非平稳的 OLS回归的结果就可能是伪回归 一个现实中伪回归的例子更换假设以上海市的名义GDP作为被解释变量 以江西省的人口数量 RK 作为解释变量进行回归 数据是1978 2006年的年度数据 从经济理论看 江西省的人口数量对上海市的名义GDP应无显著的影响 因此 回归模型估计的斜率系数在统计上不应该显著不为零 我们做了如下回归 6 5 回归系数统计检验显著不为零 检验结果表明GDP和RK都是单位根过程 结果略 回归结果如下 t 6 53 7 37 输出结果 DW 0 08 7 协整与误差校正模型 一 协整的概念1 理解经济学中的均衡经济学中的均衡是指对于由个变量组成的系统 若对于反映这些变量之间关系的函数 有成立 则称这个系统处于均衡状态 现在的问题是 长期来看 由于受到外在冲击 致使经济系统偏离均衡转向非均衡 那么 这种非均衡是继续维持下去 还是经过一段时间调整 再次回复到均衡状态 2 协整的概念及含义 1 货币需求函数的例子经济理论认为 个人持有的名义货币数量 取决于实际收入 物价水平与利息率 因此 用计量经济模型所表述的货币需求方程可写为 其中 为货币需求 为物价水平 为实际收入 为利息率 在货币市场均衡的假定下 货币需求等于货币供给 因此 货币需求理论的一个关键的假定就是序列是平稳过程 将模型 7 1 重新表述为 7 1 7 2 2 协整的定义Engel和Granger 1987 提出了如下的协整定义 对于随机向量 如果 是单位根向量 即中每一个分量都是单位根过程 存在一个阶列向量 使也就是说 存在一组不全为零的常数 使得线性组合是平稳的 则称非平稳变量存在协整关系 向量称为协整向量 注意 这里是针对变量 简化了Engel Granger 1987 的定义 在货币需求模型中 如果货币供给 物价水平 实际收入和利率都是 并且线性组合是平稳的 则变量间存在协整关系 在这个例子中 向量为 协整向量为 因此有 所以货币需求函数中的货币供给 物价水平 实际收入和利率是协整的 其中 称为协整误差 基于上述对协整的定义 实践中检验协整是否存在的方法就是 首先检验模型中的变量是否是 然后再检验残差是否是 二 协整检验 恩格尔 格兰杰两步法 一 应用研究中的典型问题假设有两个变量和 它们都是的单位根过程 要确定它们之间是否存在协整关系 可分三步进行 1 确认变量是否为单位根过程 2 估计协整关系 如果变量和都是 则用如下模型 3 检验协整关系 如果是平稳的 则单位根变量和具有协整关系 判断是否平稳的简单方法就是使用ADF检验 7 3 二 EG检验和AEG检验判断是否平稳所使用的ADF检验形式如下 如果残差没有自相关 则上述ADF检验中不应含有的滞后项 此时通常的ADF检验称为EG检验 当残差表现出自相关时 就应该加入的滞后项 此时的ADF检验称为增广的EG检验或AEG检验 7 4 Mackinnon 1991 给出了不同情形下EG或AEG统计量的临界值 见表4 麦金农的临界值计算方法为 7 5 被称为响应面函数 其中为渐进临界值的估计 为系数 为检验显著性水平 为时间序列样本容量 为回归模型中变量的个数 指解释变量和因变量的总数 如果 1 检验的对象只有一个变量 协整检验就退化为单整检验 所以 1所对应的是ADF检验 K 1对应的是协整检验 7 5 三 我国进出口总额的协整分析作为协整检验的一个例子 我们来分析我国进口总额 IM 和出口总额 EX 数据 数据来源于 新中国55年统计资料 见图7 2 图7 2 我国进口总额和出口总额数据 一 对Ln EX 和Ln IM 做回归ADF检验表明 变量Ln EX Ln IM 都是一阶单整的单位根过程 基于此 对Ln EX 和Ln IM 做回归得到 7 6 二 对残差进行单位根检验对残差进行单位根检验 AIC准则选择最优滞后期为0 结果为 t 3 43查表计算协整检验临界值 由于 7 7 式单位根检验计算的t统计量值为 3 43 小于计算的临界值 3 118 因此 在10 的显著性水平下 可以拒绝回归残差为单位根的原假设 所以 Ln EX 和Ln IM 存在协整关系 7 7 四 误差校正模型如果使用EG或AEG检验证实了若干个单位根变量存在协整关系 则意味着这些变量存在长期均衡 但在短期中 各变量不可能永久停留在长期均衡上 而是可能会偏离长期均衡 围绕均衡波动 由于协整关系的存在 变量一旦偏离均衡又将会逐步回复到长期均衡 这种向长期均衡的动态调节过程就是误差校正模型 ErrorCorrectModel 简称ECM 所要阐述的内容 假定长期利率 和短期利率 都是 它们的协整关系为 则用于利率期限结构的简单误差校正模型为 由格兰杰表述定理 一个完备的误差校正模型可写为 7 8 7 9 7 10 7 11 7 12 将上述内容扩展至协整方程中包括个变量的情形 如果向量为 且存在协整关系 则向量有一个误差校正模型表达式 因为 7 13 的误差校正模型是使用向量形式表述 因而被称为向量误差校正模型 VectorErrorCorrectM