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弹性力学 习题库 第1章第2章第3章 第1章习题 1 21 41 71 8 习题1 2 一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体 一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体 答 一般的混凝土构件可以作为理想的弹性体 而钢筋混凝土构件不可以作为理想的弹性体 一般的岩质地基不可以作为理想弹性体 而土质地基可以作为理想的弹性体 习题1 4 应力和面力的符号规定有什么区别 答 应力的符号规定 当作用面的外法线指向坐标轴的正方向时 即正面时 这个面上的应力 不论是正应力还是切应力 以沿坐标轴的正方向为正 沿坐标轴的负方向为负 相反 当作用面的外法线指向坐标轴的负方向时 即负面时 这个面上的应力就以沿坐标轴的负向为正 正向为负 面力的符号规定 当面力的指向沿坐标轴的正方向时为正 沿坐标轴的负方向时为负 试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向 习题1 4 试分别画出正面和负面上的正的应力和正的面力的方向 负面 正面 应力和面力的符号规定有什么区别 习题1 7 试画出图1 4中矩形薄板的正的体力 面力和应力的方向 习题1 8 试画出图1 5中的三角形薄板的正的面力和体力的方向 第2章题库 例题习题 第2章例题 2 1 2 2 2 3 2 4 2 6 2 7 2 8 2 9习题课 例如果某一问题中 只存在平面应力分量 且它们不沿z方向变化 仅为x y的函数 试考虑此问题是否就是平面应力问题 例2 1 1 答 平面应力问题 就是作用在物体上的外力 约束沿z向均不变化 只有平面应力分量 且仅为x y的函数的弹性力学问题 因此 此问题是平面应力问题 例2 1 2 本章习题2 1 如图2 14 试分析说明 在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中 其应力状态接近于平面应力的情况 答 在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中 可以认为在该薄层的上下表面都无面力 且在薄层内所有各点都有 只存在平面应力分量 且它们不沿z方向变化 仅为x y的函数 可以认定此问题是平面应力问题 如图所示的几种受力体是否是平面问题 若是 则是平面应力问题 还是平面应变问题 平面应力问题 平面应变问题 非平面问题 例2 1 3 例2 2 1 如图所示单位宽度薄板悬梁 跨度为l 其上表面承受三角形分布载荷作用 体力不计 试根据材料力学中的应力表达式 由平衡微分方程导出另两个应力分量 例2 2 1 解 1 将代入平衡微分方程第一式 2 将代入平衡微分方程第二式 例2 3 1 在负载结构中 某点O处的等厚平行四面体各面的受力情况如图所示 平面应力状态 试求 1 主应力的大小及方向 2 沿与水平面成30 倾角的微面上的全应力和正应力 例2 3 1 CB面上 先求应力分量 例2 3 1 先求应力分量 AB面上 方向向量 1 求主应力的大小及方向 例2 3 1 2 沿与水平面成30 倾角的微面上的全应力和正应力 例2 3 1 例2 4 1 当应变为常量时 ex a ey b gxy c 试求对应的位移分量 例2 4 1 例2 4 1 当应变为常量时 ex a ey b gxy c 试求对应的位移分量 例2 4 1 例2 4 1 当应变为常量时 ex a ey b gxy c 试求对应的位移分量 例2 4 1 例2 6 1 试列出图示问题的边界条件 2 1 例2 6 1 3 例2 6 1 4 例2 6 2 试列出图示问题的边界条件 左边界 右边界 上边界 下边界 例2 6 2 左边界 例2 6 2 右边界 例2 6 2 上边界 例2 6 2 下边界 例2 6 3 代入边界条件公式 有 试列出图示问题的边界条件 例2 6 3 例2 6 3 例2 7 1 图示矩形截面水坝 其右侧受静水压力 顶部受集中力作用 试写出水坝的应力边界条件 左侧面 代入应力边界条件公式 例2 7 1 右侧面 代入应力边界条件公式 有 例2 7 1 上端面 为次要边界 可由圣维南原理求解 取图示微元体 由微元体的平衡求得 例2 7 1 上端面 为次要边界 可由圣维南原理求解 取图示微元体 由微元体的平衡求得 例2 7 1 上端面 为次要边界 可由圣维南原理求解 取图示微元体 由微元体的平衡求得 例2 7 1 上端面 注意 必须按正向假设 如图所示 列出其边界条件 固定边不写 左右边界 上边界 例2 7 2 习题2 9 1 在主要边界上 应精确满足下列边界条件 例2 7 3 在小边界 次要边界 上 能精确满足下列边界条件 习题2 9 1 例2 7 3 在小边界 次要边界 上 有位移边界条件 习题2 9 1 例2 7 3 这两个位移边界条件可以用圣维南原理 改用三个积分的应力边界条件来代替 当板厚 1时 习题2 9 2 下边界 例2 7 3 上边界 习题2 9 2 左边界 例2 7 3 习题2 9 2 右边界 例2 7 3 例2 8 1 习题2 11 检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么 1 用位移表示的平衡微分方程 2 18 2 用位移表示的位移边界条件 2 14 3 或用位移表示的应力边界条件 2 19 答 1 将问题作为一维问题处理 有u 0 v v y 泊松比m 0 代入用位移表示的平衡微分方程 第一式自然满足 第二式变为 设如图 a 所示的杆件 在y方向的上端固定 下端自由 受自重体力fx 0 fy rg r为杆的密度 g为重力加速度 的作用 试用位移法求解此问题 求解上述常微分方程 积分得 例2 8 2 2 根据边界条件来确定常数A和B 上下边的边界条件为 v y y 0 0和sy y h 0分别代入位移函数及式 2 17 的第二式 可求得待定常数A rgh E和B 0 从而有 Chapter2 8 3 代入几何方程 2 8 求应变ey Chapter2 8 4 代入用位移表示的物理方程 2 17 求应力sy 图 b 所示的杆件 例2 8 2 b 位移 应变 应力 1 用位移表示的平衡微分方程 图 b 所示的杆件 求解上述常微分方程 积分得 例2 8 2 b 2 由边界条件求常数项 图 b 所示的杆件 例2 8 2 b 上下边的边界条件为 v y y 0 0和v y y h 0 3 代入几何方程 2 8 求应变ey Chapter2 8 4 代入用位移表示的物理方程 2 17 求应力sy 下面给出平面应力问题 单连通域 的应力场和应变场 试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场 不计体力 Chapter2 9 例2 9 1 Chapter2 9 解 1 将式 a 代入平衡方程 满足 2 2 a Chapter2 9 将式 a 代入相容方程 式 a 不是一组可能的应力场 a Chapter2 9 b 2 将式 b 代入应变表示的相容方程 式 b 满足相容方程 b 为可能的应变分量 在无体力的情况下 试考虑下列平面问题的应力分量是否可能存在 sx A x2 y2 sy B x2 y2 txy Cxy 解 弹性体的应力 在单连体中必须满足 1 平衡微分方程 2 应力表示的相容方程 3 应力边界条件 1 为了满足平衡微分方程 代入可得 A B C 2 Chapter2 9 例2 9 2 2 为了满足相容方程 代入可得 A B 0 显然上述两组条件是矛盾的 故此组应力分量不存在 Chapter2 9 例2 9 3 图示矩形截面悬臂梁 在自由端受集中力P作用 不计体力 试根据材料力学公式 写出弯曲应力和剪应力的表达式 并取挤压应力 然后说明这些表达式是否代表正确解 解 材料力学解答 是否满足三个条件 1 平衡方程 2 相容方程 3 边界条件 a 1 代入平衡微分方程 显然 平衡微分方程满足 满足相容方程 2 代入相容方程 满足 3 验证应力分量是否满足边界条件 上 下侧边界 满足 3 验证应力分量是否满足边界条件 近似满足 左侧边界 满足 3 验证应力分量是否满足边界条件 近似满足 右侧边界 由圣维南原理 结论 式 a 为正确解 所以材料力学所得应力表达式为正确解 第2章习题课 如图所示的几种受力体是否是平面问题 若是 则是平面应力问题 还是平面应变问题 下列几种受力体中 哪个可以考虑为平面应力 应变 问题 习题2 16 设已求得一点处的应力分量 试求 题2 2 a b c d 题2 3 试写出下图所示各平面物体的位移边界条件 用直角坐标 a b x 0 y h 2 u 0 x 0 y h 2 u 0 v 0 x 0 y 0 u 0 v 0 x l y 0 u 0 v 0 x l y h 2 v 0 题2 4 试写出图示平面物体的应力边界条件 解 题2 5 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在 其中 A B C为常数 a b c 判断是否满足相容方程 2 20 a 相容 b 须满足B 0 2A C c 不相容 只有C 0 则 题2 6 1 在无体力情况下 单连通域 试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在 2 解 弹性体的应力 在单连体中必须满足 1 平衡微分方程 2 应力表示的相容方程 3 应力边界条件 1 式不满足平衡微分方程 2 式 由平衡微分方程得A B C 2 相容方程得A B 0 两者矛盾 第2章习题 2 92 142 18 习题2 14 a 解 弹性体的应力 在单连体中必须满足 1 平衡微分方程 2 应力表示的相容方程 3 应力边界条件 1 检验是否满足平衡微分方程 2 2 将应力分量代入方程 2 2 得等式左右均等于0 故该应力分量满足平衡微分方程 2 检验是否满足应力表示的相容方程 结论 该应力分量满足平衡微分方程 但不满足相容方程 因此 该应力分量不是图示问题的解答 体力为常数时 应力表示的相容方程为 将应力分量代入上式 得 等式左边 故该应力分量不满足相容方程 第3章题库 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5习题课 例3 1 1 判断能否作为求解平面问题的应力函数 可见 能满足相容方程 可作为应力函数 解 解 按逆解法1 将 代入相容方程 可知其是满足的 因此 它有可能成为该问题的解 2 将 代入式 2 24 得出应力分量 例3 1 2 习题3 6 3 由边界形状和应力分量反推出边界上的面力 在主要边界上 因此 在y h 2的边界面上 无任何面力作用 即 在x 0 l的次要边界上 各边界面上的面力分布如图所示 在x 0 l的次要边界上 其主失量和主矩如下 因此上述应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的问题 习题3 2 例3 2 1 习题3 17 例3 3 1 习题3 12 解 按半逆解法 例3 4 1 习题3 10 解 按半逆解法1 将 代入相容方程 可知其是满足的 2 将 代入式 2 24 得出应力分量 例3 4 2 3 考察边界条件 在主要边界上 应精确满足式 2 15 第一式自然满足 由第二式有 a 在次要边界x 0上 只给出了面力的主失量和主矩 应用圣维南原理 用三个积分边界条件代替 由此得 b 结合 a b 求解 代入应力分量 得 如果区域内的平衡微分方程和相容方程已经满足 且除了最后一个小边界外 其余的应力边界条件也都分别满足 则可以推论出 最后一个小边界上的三个积分应力边界条件 即主失量和主矩条件 必然是满足的 推论 解 采用半逆解法 1 判断应力函数是否满足相容方程将应力函数 例题3 5 1 代入相容方程 其中 很显然满足相容方程 习题3 11 2 求解应力分量表达式 3 考察边界条件 在主要边界上 在次要边界 圣维南原理 代替 满足 不满足 4 把各应力分量代入边界条件 得 应力分量为 第3章习题课 习题3 1 解答 弹性力学问题属于数学物理方程中的边值问题 而要使边界条件完全得到满足 往往遇到很大的困难 这时 圣维南原理可为简化局部边界上的应力边界条件提供很大的方便 将物体一小部分边界上的面力换成分布不同 但静力等效 主矢量 主矩均相同 只影响近处的应力分布 对远处的应力影响可以忽略不计 如果在占边界绝大部分的主要边界上用三个应力边界条件来代替精确的边界条件 式 2 15 就会影响大部分区域的应力分布 会使问题的解答具有更大的近似性 习题3 3 解答 在m个主要的边界上 每个边界应有两个精确的应力边界条件 如式 2 15 在n个次要边界上 每边的应力边界条件若不能精确满足式 2 15 可以用三个静力等效的积分边界条件来替代两个精确的应力边界条件 例 已知函数 a x4 y4 试检查它能否作为应力函数 若能 试求出应力分量 不计体力 并求出如图所示矩形薄板边界上的面力 逆解法例 1 将 a x4 y4 代入相容方程 可知其是满足的 因此 它有可能作为应力函数 2 将 代入式 2 24 得出应力分量 解 按逆解法 3 由边界形状和应力分量反推出边界上的面力 在主要边界上 在次要边界上 如图所示 矩形截面长柱体 长度h远大于深度2b 宽度为1 远小于深度和长度 在顶部受集中力F和力矩M Fb 2作用 体力不计 试用如下应力函数 求解 1 分析该问题能简化成什么平面问题 2 求应力分量 3 设A点无位移且过它的垂直线段转角为0 试求位移分量 半逆解法例题 解 1 由题意知该弹性体为等厚度板 所受外力平面于板面长度 沿板厚方向均匀分布 板面上无外力作用 因此该问题能简化为平面应力问题 2 求应力分量已知了应力函数 考虑用逆解求解此平面应力问题 1 考察所假设的应力函数是否满足相容方程 经验证 它是否满足相容方程的 2 由应力函数求应力分量 3 考察边界条件 并求选定系数 在主要边界x b上 应精确满足式 2 15 自然满足 在