复旦附中自招数学题目.pdf

1 2010 年复旦附中自主招生真题卷 一 选择题 每个题目只有一个正确答案 每题 4 分 共 32 分 1 计算tan602sin452cos30 的结果是 A2 B 2 C1 D 3 2 如图 边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30 到正方形 AB C D 图中阴影部 分的面积为 A 3 1 3 B 3 3 C 3 1 4 D 1 2 3 已知 a b为实数 且1ab 设 11 ab M ab 11 11 N ab 则 M N的大小关系是 AMN BMN CMN D无法确定 4 一名考生步行前往考场 10分钟走了总路程的 1 4 估计步行不能准时到达 于是他改乘出租车赶往考场 他的行程与时间关系如图所示 假定总路程 为1 则他到达考场所花的时间比一直步行提前了 A20分钟 B22分钟 C24分钟 D26分钟 5 二次函数 2 241yxx 的图象如何移动就得到 2 2yx 的图象 A向左移动1个单位 向上移动3个单位 B向右移动1个单位 向上移动3个单位 C向左移动1个单位 向下移动3个单位 D向右移动1个单位 向下移动3个单位 A B C D 2 6 下列名人中 比尔 盖茨 高斯 刘翔 诺贝尔 陈景润 陈省身 高尔基 爱因斯坦 其中是数学家的是 A B C D 7 张阿姨准备在某商场购买一件衣服 一双鞋和一套化妆品 这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示 欲购买的 商品 原价 元 优惠方式 一件衣服 420 每付现金200元 返购物券200元 且付款时可以使用购物券 一双鞋 280 每付现金200元 返购物券200元 但付款时不可以使用购物券 一套化妆品 300 付款时可以使用购物券 但不返购物券 请帮张阿姨分析一下 选择一个最省钱的购买方案 此时 张阿姨购买这三件物品实际 所付出的钱的总数为 A500元 B600元 C700元 D800元 8 向高为H的水瓶中注水 注满为止 如果注水量V与水深h的函数关系的图象如上图所 示 那么水瓶的形状是 3 二 填空题 每题 6 分 共 30 分 9 若关于的分式方程 1 1 33 a xx 在实数范围内无解 则实数a 10 三角形的两边长为4cm和7cm 则这个三角形面积的最大值为 2 cm 11 对正实数 a b作定义a b abab 若444x 则x的值是 12 已知方程 2 330 xax 在实数范围内恒有解 并且恰有一个解大于1小于2 则a 的取值范围是 13 如果有2007名学生排成一列 按1 2 3 4 5 4 3 2 1 2 3 4 5 4 3 2 1的规律报数 那么第 2007名学生所报的数是 三 解答题 本题有 4 个小题 共 38 分 解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤 14 本小题满分 8 分 田忌赛马 齐王和他的大臣田忌均有上 中 下马各一匹 每场比赛三匹马各 出场一次 共赛三次 以胜的次数多者为赢 已知田忌的马较齐王的马 略有逊色 即 田忌的上马不敌齐王的上马 但胜过齐王的中马 田忌 的中马不敌齐王的中马 但胜过齐王的下马 田忌的下马不敌齐王的 下马 田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后 接受了孙膑的建议 用图 2 的 方法 结果田忌两胜一负 赢了比赛 假如在不知道齐王出马顺序的情 况下 1 请按如图的形式 列出所有其他可能的情况 2 田忌能赢得比赛的概率是 x 田忌上马 齐王中马 田忌中马 齐王下马 田忌下马 齐王上马 田忌上马 齐王上马 田忌中马 齐王中马 田忌下马 齐王下马 图 1 图 2 4 15 本题满分 10 分 把几个数用大括号围起来 中间用逗号断开 如 1 2 3 2 7 8 19 我们称之为集合 其中的数称其为集合的元素 如果一个集合满足 当实数a是集合的元素 时 实数8a 也必是这个集合的元素 这样的集合我们称为好的集合 1 请你判断集合 1 2 1 4 7是不是好的集合 2 请你写出满足条件的两个好的集合的例子 16 本小题满分 10 分 如图 在ABC 中 ACBC CD是AB边上的高线 且有 23CDAB 又E F为CD的三等分点 求证 180ACBAEBAFB 5 17 本小题满分 10 分 已知点M N的坐标分别为 0 1 0 1 点P是抛物线 2 1 4 yx 上的一个动点 1 求证 以点P为圆心 PM为半径的圆与直线1y 的相切 2 设直线PM与抛物线 2 1 4 yx 的另一个交点为点Q 连接NP NQ 求证 PNMQNM 四 附加题 本题满分为 3 分 但即使记入总分也不能使本次考试超出 100 分 18 有人认为数学没有多少使用价值 我们只要能数得清钞票 到菜场算得出价钱这点数 学知识就够了 根据你学习数学的体会 谈谈你对数学这门学科的看法 6 2011 年复旦附中自主招生真题卷 数理 1 空格处填上1 2 3 4 5 6六个数字 要求每行 每列 以及两条主对角线上的数字不重复 2 P是ABC 上任意一点 过P点作一条直线 使得分成的两部分面积相等 3 游泳会用到许多物理学的知识 请举出几个例子 并提出几个能提高游泳成绩的方式和 方法 6 2 5 3 1 4 12 P C B A 7 2012 年复旦附中自主招生真题卷 4 若xab 22 yab 则 22 xyxy 5 x y满足 2 2yxpx 若x y 最大值为2 则复实数p 6 k y x 上一点C 以C为圆心 1为半径画圆 圆上有2点到O点距为2 则k取值范围 为 7 直径为MN的半圆与MA NB相切 P为MN 上一点 PFAB 若AB与半圆相切 则 PAPB AB 最大值为 PN B F M A 8 8 已知BAC 与内部一点M 因纸太小A点画不下 求作一直线经过M A 尺规作图 9 矩形ABCD中 3ABBC 将矩形折叠 B落在AD上点M处 C落在N处 求 ECFB AM F B C E A M D N 9 10 设 1 x 2 x为 2 20 xpxp 的两根 P为实数 求证 2 12 230pxxp 当 12 23xxp 时 求P的最大值 11 实数 12 n a aa满足 12 0 n aaa 12 1 n aaa 求证k个数 1 2 3 kn 12 1 2 k aaa 10 12 锐角ABC 中 AD BE CF分别为BC AC AB边上的高 设BC a ACb ABc BDx EC y AF z 用a b c表示x 当a b c满足什么关系时 有 2 xyzabc 2013 年复旦附中自主招生真题卷 部分 13 已知 abc bca cab 求a bc 的值 14 已知 22 17 66 xyxy x yxy 求 432234 xx yx yxyy 的值 11 15 若abc 为正有理数 证明 若 ab 为有理数 则 ab 为有理数 若 abc 为有理数 则 abc 为有理数 2014 年复旦附中自主招生真题卷 一 一 选择题 1 若 22 3894613Mxxyyxy x y是实数 则M的值一定是 A零 B负数 C正数 D整数 2 已知sincos 那么锐角 的取值范围是 A3045 B045 C4560 D090 3 已知实数a满足20082009aaa 那么 2 2008a 值是 A2009 B2008 C2007 D2006 12 4 如图是一个正方体的表面展开图 已知正方体的每一个面都有一个实数 且相对面上的 两个数互为倒数 那么代数式 a b c 的值等于 A 3 4 B6 C 3 4 D6 5 二次函数 2 yaxbxc 的图像如图所示 2Q n是图像上的一点 且AQBQ 则a 的值为 A 1 3 B 1 2 C1 D2 6 矩形纸片ABCD中 3ABcm 4BCcm 现将纸片折叠压平 使A与C重合 设折 线为EF 则重叠部分AEF 的面积等于 A 73 8 B 75 8 C 73 16 D 75 16 a cb 2 4 1 y x Q OBA F E D C B A 13 7 若 abc t bccaab 则一次函数 2 ytxt 的图像必定经过的象限是 A第一 二象限 B第一 二 三象限 C第二 三 四象限 D第三 四象限 8 如图 以RtABC 的斜边BC为一边在ABC 的同侧作正方形BCEF 设正方形的中心 为O 连接AO 如果4AB 6 2AO 那么AC的长等于 A12 B16 C4 3 D8 2 二 填空题 9 已知 2 10 xx 那么代数式 3 21xx 的值是 10 已知 x y z为实数 且5xyz 3xyyzzx 则z的取值范围 为 11 已知点 1 3A 5 2B 在x轴上找一点P 使APBP 最大 则满足条件的点P的 坐标是 F E O C B A 14 12 设 1232007 x x xx 为实数 且满足 12320071232007123200712320062007 1x x xxxx xxx xxxx x xxx 则 2000 x的值 是 13 对于整数x 规定 1 x f x x 计算 11111 1239899100 100999832 ffffffffff 14 如果关于x的方程 2 21210 xaxa 有一个小于1的正数根 那么实数a的取值 范围是 15 在RtABC 中 90C 3AC 4BC 若以C点为圆心 r为半径所作的圆与 斜边AB只有一个公共点 则r的取值范围是 三 解答题 16 某超市去年12月份的销售额为100万元 今年 2月份的销售额比今年1月份的销售额多 24万元 若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同 求 这个相同的百分数 2月份的销售额 C BA 15 17 如图 ABCD ADCF FG 分别是AC和FD的中点 过G的直线依次交 ADCDCE 于点MNPQ 求证 2MNPQPN M Q G N P F E DC BA 16 18 如图 已知点P是抛物线 2 1 1 4 yx 上的任意一点 记点P到x轴距离为 1 d 点P与 点 0 2F的距离为 2 d 证明 12 dd 若直线PF交此抛物线于另一点Q 异于P点 试判断以PQ为直径的圆与x轴的 位置关系 并说明理由 y x F P Q O 17 19 如图 已知在ABC 中 ABa 点D在AB边上移动 点D不与A B 重合 DEBC 交AC于E 连接CD 设 ABC SS 1DEC SS 当D为AB中点时 求 1 SS的值 若ADx 1 S y S 求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围 是否存在点D 使得 1 1 4 SS 成立 若存在 求出D点位置 若不存在 请说明理 由 E D CB A 18 20 已知 2 4ymm 若m为整数 在使得y为完全平方数的所有m的值中 设m的最 大值为a 最小值为b 次小值为c 注 一个数如果是另一个整数的完全平方 那 么我们就称这个数为完全平方数 求abc 的值 对abc 进行如下操作 任取两个求其和再除以2 同时求其差再除以2 剩 下的另一个数不变 这样就仍得到三个数 再对所得三个数进行如下操作 问能否 经过若干次上述操作 所得三个数的平方和等于2008 证明你的结论 2015 年复旦附中自主招生真题卷 3 20 填空A 1 若xab 22 yab 则 22 xyxy 2 12 3xx 求 1 x 2 x的方差 3 从1 4 7295 298 隔3的自然数 中任选两个数相加 和的不同值有 个 4 方程 2 1 22 x xx 的解为 19 5 2 815 2 31 xx x x 的解有 个 6 375 31128 mxmx mxxm x 有正数解 求m的取值范围 7 2 104yxxm 与x轴两个交点在x的正半轴 求m的取值范围是 8 495 235 xyx zz 时 求 x y 的值 9 矩形ABCD中 3ABBC 将矩形折叠 点B落在边AD上的点M处 C落在N处 求 ECFB AM A FB C E N M D 20 填空B 1 扫雷游戏 2 已知不等式 2 1yxpx 求能使xy 最大值为2的负实数p的取值范围 3 如图所示 直线l经过点P 且垂直于AB 当长方形AOBP的周长为20时 请求出无 论图形如何变化 l始终经过的定点坐标 4 在反比例函数 k y x 上存在点C 以点C为圆心 1为半径画圆 圆上存在两点到O点 距离为2 则k的取值范围是 1 1 3 15 l y x OB P A 21 5 已知直线MA MB 均与线段MN为直径的半圆相切 直线AB与半圆相切于点F P在 线段MN上且PFMN 当直线AB变化时 求 PAPB AB 的最大值 6 在1 2 3 39 40数列中能找出 对数字使它们的差的绝对值为质数 解答题 1 已知在BAC 的内部存在一点M 在不画出A点的情况下过M点作一条直线 使它经 过A点 2 设 12 xx 为 2 20 xpxp 的两根 p为实数 求证 2 12 230pxxp 当 12 23xxp 时 求p的最大值 M 22 3 实数 1 a 2 a n a满足 12 0 n aaa 12 1 n aaa 求证 k个数 1 2 3 kn 12 1 2 k aaa 4 锐角ABC 中 AD BE CF分别为BC AC AB边上的高 设BCa ACb ABc BDx ECy AFz 用a b c表示x 当a b c满足什么关系时 有 2 xyzabc F E D C B A 23 2016 年复旦附中自主招生真题卷 一 填空题 1 已知 abc x bcacab 则x 2 已知函数 2 253 23yxaxbxb 图像关于y轴对称 则ab 3 已知函数 2 221ykxkxk 的图像与x轴只有一个交点 则k 4 在同一个直角坐标系中 已知直线ykx 与函数 28 3 2 33 24 3 xx yx xx 图像恰好 有三个公共点 则k的取值范围是 5 如图 在梯形ABCD中 ABCD CDAB 设E F分别是AC BD的中点 AC与BD交于点O 已知OEF 是边长为1的正三角形 BOC 的面积为153 4 则梯形ABCD的面积为 E F DC O BA 24 6 已知矩形ABCD中 1AB BCa 若在边BC上存在点Q 满足AQQD 则a的取值范围是 7 已知锐角ABC 的三边长恰为三个连续正整数 ABBCCA 若BC边上的高 为AD 则BDDC 8 已知实数m n 其中1m n 分别满足 2 199910mm 2 99190nn 则 41mnm n 9 若关于x的方程 2 240 xxxm 有三个根 且这三个根恰好可以作为一个三 角形的三边长 则m的取值范围是 10 如图 矩形ABCD中 3AB 4BC 点E是BC边上一点 连接AE 把B 沿AE折叠 使点B落在点 B 处 当CEB 为直角三角形时 BE的长为 C D B A B E BC DA 25 11 如图 OA OD是O 的半径 延长OA至B 使OAAB C是OA的中点 AOD 为锐角 联结CD BD 且CD 则BD 12 已知直角三角形的三边长都是整数 且其面积与周长在数值上相等 若将全等的三 角形都作为同一个 那么这样的直角三角形的个数是 个 13 设 10n n 个机场 每一机场起飞一架飞机 飞到离起飞机场最近的机场降落 且任何两机场之间的距离都不相等 则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为 二 解答题 14 关于x的方程 22 2120 xmxmm 的两个根分别为 1 x 2 x 1若 12 5xx 求m的值 2若 1 x 2 x均为整数 求m的值 C A B D O 26 15 如图 ABC 中 5ABBC 6AC 过点A作ADBC 点P Q分别是 射线AD 线段BA上的动点 且APBQ 过点P作PEAC 交线段AQ于点O 联结PQ 记APx POQ 面积为y 1求y关于x的函数关系式 并写出x的取值范围 2联结QE 若PQE 与POQ 相似 求AP的长 Q B E C O A P D 27 16 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层 它一次最多能容纳32人 而且只能在第 2层到第33层中的某一层停一次 对于每个人来说 他往下走一层楼感到1分不满 意 往上走一层楼感到3分不满意 现在有32个人在第一层 并且他们分别住在 第2至第33层的每一层 问 电梯停在哪一层 可以使得这32个人不满意的总分 达到最小 最小值是多少 有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼 28 17 设x是实数 不大于x的最大整数叫做x的整数部分 记作 x 如 1 21 33 1 32 1 222 111 10 11 111 121201620171 10 1111 1220162017 S 求 90S 2解关于x的方程 2 1 2312 2 x xx 2017 年复旦附中自主招生真题卷 1 已知a b c是一个三角形的三边 则 444222222 222abca bb cc a 的值是 A恒正 B恒负 C可正可负 D非负 2 设m n是正整数 满足mnmn 给出以下四个结论 m n都不等于1 m n都不等于2 m n都大于1 m n至少有一个等于1 其中正确的结论是 A B C D 29 3 已知关于x的方程2xaxa 有一个根为1 则实数a的值为 A 15 2 B 15 2 C 15 2 D以上答案都不正确 4 已知a b c是不完全相等的任意实数 若2xabc 2yabc 2zabc 则关于x y z的值 下列说法正确的是 A都大于0 B至少有一个大于0 C都小于0 D至多有一个大于0 5 已知a b c不全为无理数 则关于三个数ab bc ca 下列说法错误的是 A可能均为有理数 B可能均为无理数 C可能恰有一个为有理数 D可能恰有两个为有理数 6 关于x y的方程组 22 2 0 2 21 0 xy xy xyxy 的实数解有 A1组 B2组 C3组 D4组 7 为了得到函数 2 3yx 的图像 可以将函数 2 361yxx 的图像 A先关于x轴对称 再向右平移1个单位 最后向上平移4个单位 B先关于x轴对称 再向右平移1个单位 最后向下平移4个单位 C先关于y轴对称 再向右平移1个单位 最后向上平移4个单位 D先关于y轴对称 再向右平移1个单位 最后向下平移4个单位 30 8 若关于x的方程2xba 有四个实数解 则化简 a ababb ababab 的结果是 A2 B0 C2 D4 9 如果方程 2 1 2 0 xxxm 的三根可以作为一个三角形的三边之长 那么实数m的 取值范围是 A01m B 3 4 m C 3 1 4 m D 3 1 4 m 10 用同样大小的一种正多边形平铺整个平面 没有重叠 有几种正多边形可以铺满整个 平面而不留缝隙 A2种 B3种 C4种 D5种 11 已知对于满足 3ab 4bc 的实数 a b c 均有2abck 恒成立 则实数 k的最小值为 A7 B8 C9 D10 12 设 432 1f xxxxx 则关于 f x的性质 正确的一项为 A对任意实数x f x总是大于0 B对任意实数x f x总是小于0 C当0 x 时 0f x D以上均不对 13 已知实数 a b c满足0ab 且0abc 抛物线 2 0yaxbxc 在x轴上截得 线段长度为l 则l的取值范围为 A01l B02l C23l D34l 14 已知实数 x y满足 30 xy 3 260yy 则 2 x y y 的值为 A0 B 1 2 C1 D 3 2 31 15 已知二次函数 2 22yxax 当自变量x的取值范围为11x y的取值既有正值 又有负值 则实数a的取值范围为 A 1 2 a B 1 2 a C 1 2 a 或 1 2 a D以上答案都不正确 16 已知abc 是互不相等的实数 三个方程 2 0 xaxb 2 0 xbxc 2 0 xcxa 有公共根p 有公共根q 有公共根r 则a b c A1 B3 C1 D2 17 甲 乙 丙 丁四个人参加一个比赛 有两个人获奖 在比赛结果揭晓之前 四个人做 了如下猜测 甲 两名获奖者在乙