精品拓展教案——最大公因数与最小公倍数(可用).doc

个性化教案最大公因数与最小公倍数适用学科数学适用年级五年级适用区域通用课时时长（分钟）60知识点公因数和公倍数应用题；因数、公因数和最大公因数；因数和倍数的意义；公倍数与最小公倍数。教学目标1.两个数的公倍数、最小公倍数的意义，求最小公倍数的方法。2.两个数的公因数、最大公因数的意义，求最大公因数的方法。3.最小公倍数与最大公因数的应用4.用“短除法”求两个数的最大公因数和最小公倍数。5.使学生能够运用所学知识，采用列方程的方法解答应用题6.使学生进一步积累解决问题的经验，增强数学的应用意识。教学重点理解最大公因数、最小公倍数的意义及求法。教学难点两种特殊情况的最大公因数、最小公倍数的求法。教学过程一、复习预习 1、什么是倍数 一个整数能够把另一整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。如15能够被3或5整除，因此15是3的倍数，也是5的倍数。 一个数除以另一数所得的商。如abc，就是说a是b的c倍，a是b的倍数。 一个因数能让它的积整除，那么，这个数就是因数，它的积就是倍数。 例如： 3 5 = 15 因数1 因数2 倍数 AB=C，就可以说A是B的C倍 一个数的倍数(0除外)有无数个,也就是说一个数的倍数的集合为无限集. 注意：不能把一个数单独叫做倍数，只能说谁是谁的倍数。 2、什么是因数：整数A能被整数B整除，A叫做B的倍数，B就叫做A的因数或素数，（在自然数的范围内）例：623 ，1、2、3和6就是6的因数。 6的因数有：1、2、3、6 10的因数有：1、2、5、10 15的因数有：1、3、5、152、 知识讲解1、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。几个数的公倍数也是无限的。3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。两个数的公因数也是有限的4、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。5、求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。6、互质关系的两个数，最大公因数是，最小公倍数是它们的乘积。一般关系的两个数，求最大公因数用小数列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。考点1：公因数与公倍数的定义1、公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。2、公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。3、互质数：只有公因数1的两个数叫做互质数。 考点2：用短除法求几个数的最大公因数和最小公倍数 1.用短除法求几个数的最大公因数，一般用这几个数除以它们的公因数，一直除到所得的商只有公因数1为止,再把所有的除数连乘起来，所得积就是这几个数的最大公因数。两个数的最大公因数用（ ）表示。 例如： 12和18的最大公因数是6，可以表示为（12,18）=6。 2.用短除法求几个数的最小公倍数，一般用这几个数除以它们的公因数（从最小的公因数开始），一直除到任意两个商的公因数只有1为止。再把所有的除数和商连乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。几个数的最小公倍数用 表示。 例如：12和18的最小公倍数是36，可以表示为12,18=36。 3.在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它无此因数的数则原样落下。最后把所有因数和最终剩下每两个都是互质关系（除1以外没有其他公因数）的数连乘即得到最小公倍数。 注意：用短除法求最大公因数或最小公倍数时，要除到商的每两个数是互质数为止。 考点3：两种特殊情况的最大公因数和最小公倍数的求法。1. 如果两个数成倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。2. 如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积。三、例题精析【例题1】【题干】分别求出下列各组数的公因数与公倍数。 12和18 15和30 5和6【答案】（1） （12，18）=6； 12，18=36 （2） （15，30）=15； 15，30=30 （3） （5，6）=1； 5，6=30【解析】（1）12的因数有（1、2、3、4、6、12） 12的倍数有（12、24、36、48、60）； 18的因数有（1、2、3、6、9、18）； 18的倍数有（18、36、54、72、90）； 12和18的公因数是（1、2、3、6）； 12和18的公倍数是（36、72）； 其中最大的公因数是（6）。 其中最小的公倍数是（36）。 所以：（12，18）=6； 12，18=36同理可得：（2）15的因数有（1、3、5、15 ）； 15的倍数有（15、30、45、60）； 30的因数有（1、2、3、5、6、10、15、30）； 30的倍数有（30、60、90）； （15，30）=15 ； 15，30=30 （3）5的因数有（1、5）； 5的倍数有（5、10、5、20、25、30、35）； 6的因数有（1、2、3、6）； 6的倍数有（6、12、18、24、30、36）； （5，6）=1； 5，6=30【变式1】分别求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数。 12和30 91和21 12、20和24【答案】（12，30）=6； 12，30=60 （91，21）=7； 91，21=273 （12，20，24）=12； 12，20，24=120【解析】解：在本题中数值较大，所以当我们将每个数的因数与倍数都罗列出来会较为麻烦，所以我们可以借助短除法来求：所以：12和30的最大公因数是236；91和21的最大公因数是7；12、20和24的最大公因数是22312； 最小公倍数是232560；最小公倍数是7133273；最小公倍数是22352120。【例题2】【题干】能不能快速求出下列各组数的最大公因数和最小公倍数？ 24和48 17和18 9、18和36【答案】（24，48）= 24； 24,48=48 (17,18)=1； 17，18=306 （9，18，36）=9； 9，18，36=36【解析】解：本题主要考查学生对于两种特殊情况的最大公因数和最小公倍数的求法：1.如果两个数成倍数关系，那么较小数就是它们的最大公因数，较大数就是它们的最小公倍数。2.如果两个数是互质数，那么它们的最大公因数就是1，最小公倍数就是它们的乘积。 （1）因为48是24的倍数， 所以24和48的最大公因数是24，最小公倍数是48。 （2）因为17和18是互质数，所以17和18的最大公因数是1，最小公倍数是1718306。 （3）因为36是18的倍数，18是9的倍数，所以它们的最大公因数是9，最小公倍数是36 【例题3】【题干】将一块长80米、宽60米的土地划分成面积相等的小正方形。问：小正方形的面积最大是多少？【答案】解：（60，80）=20 2020400（m2） 答：小正方形的最大面积是400平方米。【解析】分析与解：根据题意，把这块土地划分成面积相等的小正方形后，是没有剩余的，也就是说划分的小正方形的边长必须是80和60的公因数。题目要求小正方形的面积最大，那么小正方形的边长就是80和60的最大公因数。解：80和60的最大公因数是20，那么小正方形的最大边长就是20米。 2020400（m2） 答：小正方形的最大面积是400平方米。【例题4】【题干】一个数除200余4；除300余6；除500余10.求这个数最大是多少？【答案】2004196 3006294 50010490 196、294和490的最大公因数是98 答：这个数最大是98。【解析】根据题意，这个数是2004、3006、50010的最大公因数。解法如下： 解：2004196 3006294 50010490 196、294和490的最大公因数是98 答：这个数最大是98。【变式1】若一个三位数，能同时被2，5整除，那么这个三位数最小是多少？最大是多少？【答案】能同时被2，5整除，这个三位数最小是100，最大是990；【解析】能同时被2、5整除的三位数，必须满足个位数是0，要使三位数最小，百位数是1，十位是0，即最小的三位数是100；要使三位数最大，百位和十位是9，即最大的三位数是990四、课堂运用【基础】1.【题干】求24、60和132三个数，共有多少个公因数？其中最大的公因数是多少？【解析】这道题可用列举法来解答，但比较麻烦。我们可以用短除法求出这三个数的最大公因数，然后根据几个自然数最大公因数的因数个数等于这几个自然数公因数的个数的规律，找到这三个数的公因数。（24、60、132）= 223=12，因为24、60和132的最大公因数是12，而12=223，得（2+1）（1+1）=6，所以，24、60和132共有6个公因数，最大公因数是12。【答案】24、60和132共有6个公因数，最大公因数是12。2.【题干】有三根木棒，分别长12厘米，44厘米，56厘米，把它们都截成同样长的小棒（整厘米），不许有剩余，每根小棒最长能有多少厘米？【解析】把每根木棒截成同样长的小棒后不许有剩余，每根小棒的长度必须是各自木棒长度的因数；把三根小棒截成同样长的小棒，不许有剩余，每根小棒的长就是这三根小棒的公因数；每根小棒最长多少厘米，就是求这三根小棒的最大公因数。124456262228231114（12、44、56）= 22=4答：每根小棒的长度有4厘米。【答案】（12、44、56）= 22=4 答：每根小棒的长度有4厘米。3.【题干】一张长方形纸，长7分米5厘米，宽6分米，把它截成一块块相同的正方形。而且正方形边长为整厘米数，有几种截法？如果要使截得的正方形面积最大，可以截多少块？【解析】7分米5厘米=75厘米，6分米=60厘米。因为截成的小正方形的边长既是75厘米的因数又是60厘米的因数，也就是75厘米和60厘米的公因数，75和60的公因数是1、3、5、15，所以有4种截法。要使截成的正方形面积最大，那么边长也应该最大，应该取75和60的最大公因数15作为正方形的边长。7560325205512（75、60）= 35=15（7515）（6015）= 20（块）因为15的因数有1、3、5、15四个。答：共有4种截法，共可以截成20块。解：【答案】（75、60）= 35=15（7515）（6015）= 20（块）因为15的因数有1、3、5、15四个。答：共有4种截法，共可以截成20块。【巩固】1.【题干】一个数除150余6，除250余10，除350余14，这 个数最大是多少？【解析】一个数除150余6，可以转化为144（1506），同时除250余10也可以转化成240（25010），除350余14可以转化为336（35014），转化后的三个数都有某数这个因数。求这个数最大是多少，也就是求144、240和336的最大公因数是多少。14424027212023660（144、240、336）= 22223=48答：这个数最大是48。解：3361688421830422915213357【答案】（144、240、336）= 22223=48 答：这个数最大是48。2.【题干】有三根钢筋，分别长12分米，18分米、30分米，把它们都截成同样长的小段（整分米），不许有剩余，每小段最长是多少分米？【解析】 要想把它们都截成同样长的小段（整分米），不许有剩余，那么就要是一个三段都可以整除的长度，即求三段的公因数，每段最长的长度便是它们的最大公因数。根据求几个数的最大公因数的方法解答出三个数的最大公因数即可【答案】12=223；18=233；30=235（12，18，30）=23=6答：每段最长6米。【拔高】1.【题干】有50个梨、75个苹果和100个桔子，要把这些水果平均分给几个小组，并且每个小组分得的三种水果的个数也相同，最多可以分给几个小组？每组中每样水果各几个？ 【解析】要想每个小组分得的三种水果的个数也分别相同，最多可以分给的小组数就是50、75和100的最大公约数，根据求几个数的最大公约数的方法解答出三个数的最大公约数即可【答案】解：50=255； 75=553； 100=2255；所以50、75和100的最大公约数是：55=25；所以最多能分给25个小组5025=2（个） 7525=3（个） 100 25=4（个）答：这些水果最多可以分给25个小组每组有梨2个、苹果3个、桔子4个。2.【题干】有一堆巧克力不到210个，平均分给6个同学余4个，平均分给5个同学余3个，平均分给7个同学余5个，这堆巧克力有多少个？【解析】根据“平均分给6个同学余4个，平均分给5个同学余3个，平均分给7个同学余5个”可以理解为：平均分给6个同学少2个，平均分给5个同学少2个个，平均分给7个同学少2个，求这堆巧克力有多少个，就是求210以内的5、6、7的最公倍数减2即可【答案】567-2=210-2=208答：这堆巧克力有208个课程小结1、一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。几个数的公倍数也是无限的。3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数。两个数的公因数也是有限的4、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。5、求最大公因数和最小公倍数的方法：倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。6、互质关系的两个数，最大公因数是，最小公倍数是它们的乘积。一般关系的两个数，求最大公因数用小数列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。课后作业【基础】1.【题干】34本笔记本至少去掉 4本，才能平均分给6个同学，至少增加 本，就正好平均分给7个同学【解析】（1）根据题干分析可得：用346，计算结果中，余数就是多余的本数； （2）在7的倍数中，比34大的最小数是35，所以35-34=1本，据此即可解答。解：（1）346=5（本）4本， （2）在7的倍数中，比34大的最小数是35， 所以至少增加：35-34=1（本），答：至少去掉4本，才能平均分给6个同学，至少增加1本，就正好平均分给7个同学【答案】4，12、【题干】“六一”儿童节，幼儿园买来苹果64个，水果糖160颗，平均分给全班的小朋友，刚好全部分完，这个班最多有多少人？【解析】根据题意，也就是求64与160的最大公因数，即是这个班小朋友的最多人数；先把64和160分别分解质因数，进而找出它们公有的质因数，再把公有的质因数相乘即可解：因为64=222222，160=222225，所以64和96的最大公因数是：22222=32；答：这个班最多有32人。【答案】这个班最多有32人。3.【题干】求下列各组数的最大公因数与最小公倍数，在（ ）里写每组的最大公因数，在 里写每组的最小公倍数 【解析】先把几个合数数分解质因数，两个数公有的质因数相乘得最大公因数，两个数公有的质因数和独有的质因数相乘得最小公倍数【答案】8=222， 12=223， 所以：（4）； 24； 33=311， 所以：（11）； 33故答案为：（4）24； （11）33【巩固】1.【题干】把一些糖果平均分给6个小朋友，正好剩1个；如果平均分给7个小朋友，也正好剩1个这些糖果至少有多少个？【解析】因为平均分给6个或7个小朋友，都剩1个，那么应该是6和7的最小公倍数加1，所以应该是67+1=43个，据此解答【答案】67+1=42+1=43（个）答：这些糖果至少有43个2.【题干】五年级一班人数不到60人，而且正好是20的倍数120本图书，能正好平均分给所有的同学，五年级一班可能有多少人？【解析】先找出60以内20的倍数，能正好平均分给所有的同学，就是人数是120的因数，据此找出五年级一班可能有多少人 60以内20的倍数有：20、40， 20和40也是120的因数，因为是不到60人，所以五年级一班可能有20人或40人【答案】答：五年级一班可能有20人或40人3.【题干】把40块饼干和30颗糖果平均分给一组同学，结果饼干还剩5块，糖果还余2颗这个小组最多有多少名同学？【解析】根据把40块饼干和30颗糖果