高等数学第二章 极限与连续幻灯片.ppt

1 第二章极限与连续 2 1数列的极限 2 2函数的极限 2 3变量的极限 2 4无穷大量与无穷小量 2 5极限的运算法则 2 6两个重要的极限 2 7利用等价无穷小量代换求极限 2 8函数的连续性 2 第二章 2 1数列的极限 定义 由无穷多个数 构成的有序的一列数 称为无穷数列 简称数列 简记为 数列中的各个数称为数列的项 称为通项 数列 可以看成以正整数 为自变量的函数 一 数列 3 例1 例2 例3 这种数列称为常数数列 例4 例5 4 1 数列极限的定性描述 引例1 设有半径为r的圆 逼近圆面积S 如图所示 可知 当n无限增大时 无限逼近S 刘徽割圆术 用其内接正n边形的面积 二 数列极限 5 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 它包含了 用已知逼近未知 用近似逼近精确 的重要极限思想 我国古代魏末晋初杰出数学家刘徽指出 6 引例 例1中的数列来源于我国一篇古典名著 公元前四世纪 我国春秋时期的哲学家庄子 约公元前369 前286 在 庄子 天下篇 一书中有一段富有哲理的名句 一尺之棰 日取其半 万世不竭 我们把逐日取下的棰的长度顺次列出来 便得到数列 当n无限增大时 无限逼近0 7 定义设 数列 实数 如果 无限增大时 无限趋近于常数 则称数列 以 为极限 记作 或 此时 称数列 收敛 否则 即 时 不以任何常数为极限 称数列 发散 8 说明 1 引例1中 圆的面积 2 引例2中 剩余棒头的长度 9 观察上例中 数列的极限 例2中 例3中 例4中 不存在 时 数列 没有固定变化趋势 发散 当 例5中 不存在 当 时 数列 的变化趋势为无限增大 发散 记 10 2 数列极限的定量描述 逐次加入定量成分 把极限定性描述转为定量描述 1 如果 无限增大时 无限趋近于常数 则称数列 以 为极限 2 当 充分大时 任意小 则称数列 以 为极限 3 当 充分大时 则称数列 以 为极限 4 当n N时 总有 则称数列 以 为极限 11 定义 若数列 及常数a有下列关系 当n N时 总有 记作 此时也称数列收敛 否则称数列发散 几何解释 动态地看定义 即 或 则称该数列 的极限为a 当n N时 12 几点注意 13 14 例6 已知 证明数列 的极限为1 证 因此 取 则当 时 就有 故 由定义来证 当 时 就有 当 时 有 当 时 有 当 时 有 对问题进行等价的转化 15 例6 已知 证明数列 的极限为1 证2 欲使 只要 因此 取 则当 时 就有 故 16 N 定义证明 的步骤 分三步 第一步 给定任意正数 第二步 由 寻找正整数N 这是关键的一步 第三步 按照定义的模式写出结论 17 例7 已知 证明 证 欲使 只要 取 则当 时 就有 故 故也可取 也可由 N与 有关 但不唯一 不一定取最小的N 说明 取 放大 18 例8 设 证明等比数列 证 欲使 只要 即 亦即 因此 取 则当n N时 就有 故 的极限为0 为什么限制 可以限制吗 19 三 收敛数列的性质 补充内容 证明思想 用反证法 1 收敛数列的极限唯一 及 且 假设 选 使a的 邻域与b的 邻域不相交 当n max N1 N2 时 xn同时在这两邻域内 矛盾 20 证 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 使当n N1时 假设 从而 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 21 例4 证明数列 是发散的 证 用反证法 假设数列 收敛 则有唯一极限a存在 取 则存在N 但因 交替取值1与 1 内 而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间 使当n N时 有 因此该数列发散 22 2 收敛数列一定有界 即如果 直观 证明思想 邻域内有几乎所有的xn 邻域内外只有有限个xn 说明 此性质反过来不一定成立 23 证 取 则 当 时 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界 有 说明 此性质反过来不一定成立 例如 虽有界但不收敛 数列 24 3 收敛数列的保号性 若 且 时 有 直观 25 证明思想 证 对a 0 取 问 a b时 会有什么结论 26 推论2 若数列从某项起 推论1 若 且 时 有 27 第二章 2 2函数的极限 函数极限问题是研究当自变量 趋向于 的变化趋势 或趋向于无穷大时 函数 自变量变化过程有六种形式 趋向于一点 趋向于无穷 28 一 自变量趋于有限值时函数的极限 时函数极限的定义 仿数列极限定义 不论多么小 有 描述 任意地接近 表示 接近 的过程 29 定义 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 当 时 有 则称常数A为函数 当 时的极限 或 若 记作 30 注意 31 例9 证明 证 故 对任意的 当 时 因此 总有 32 例10 证明 证 欲使 取 则当 时 必有 因此 只要 33 例11 证明 证 故 取 当 时 必有 因此 欲使 34 例12 证明 当 证 欲使 且 而 可用 因此 只要 时 故取 则当 时 保证 必有 放大 只要 大的 则 小的 必 35 36 二 左极限和右极限 37 左极限 当 时 有 类似地 定义右极限 38 右极限 当 时 有 定理1 想一想 39 例13 设函数 讨论 时 的极限是否存在 解 因为 显然 所以 不存在 利用定理1 40 由定理1可知 如果左极限和右极限至少有一个不存在 或者存在但不相等 则函数的极限不存在 定理1常用于证明分段函数在分段点处的极限不存在 解 因为 显然 所以 利用定理1 例14 研究当时 的极限 41 三 自变量x绝对值无限增大时的情形 如图所示 当 无限增大时 函数 的绝对值无限变小 时 该函数以常数 为极限 记作 可见当 42 定义 定性 设 时的极限 记作 则称常数A为函数 是一个函数 A为常数 如果在 的过程中 对应函数值 无限趋近于确定值A 43 定义 定量 设函数 大于某一正数时有定义 若 时的极限 则称常数A为函数 直线y A为曲线 的水平渐近线 44 直线y A仍是曲线y f x 的渐近线 两种特殊情况 时的极限 记作 则称A为函数 如果在 的过程中 对应函数值 无限趋近于确定值A 几何意义 45 比如 都有极限 就不存在极限 46 例15 用定义证明 证 欲使 取 则当 时 必有 因此 只要 47 例16 用定义证明 证 欲使 取 则当 时 必有 因此 只要 即 同理 可用定义证明 48 四 函数极限的性质 49 局部保号定理 定理2 若 且A 0 则存在 A 0 50 证 已知 即 当 时 有 当A 0时 取正数 则在对应的邻域 上 0 以A 0为例 51 定理3 若在 的某去心邻域内 且 则 证 用反证法 则由定理2 的某去心邻域 使在该邻域内 与已知 所以假设不真 同样可证 的情形 存在 假设A 0 条件矛盾 故 52 思考 若定理3中的条件改为 是否必有 不能 如 推论 若 且 则 利用极限四则运算法则证明 提示 令 53 第二章 2 3变量的极限 定义 若 在此变化过程中的极限 记作 则称常数A为变量 综合各类极限定义 得一般变量极限定义 54 定义 若 在那个时刻之后为有界变量 则称变量 定理 若 为有界变量 变量 反之 有界变量未必有极限 55 第二章 2 4无穷大量与无穷小量 一 无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 56 定义 若任给M 0 总有 则称函数 当 时为无穷大 正数X 记作 总存在 57 又如 铅直渐近线 58 比如 渐近线 1 无穷大是变量 不能与很大的数混淆 注 59 二 无穷小 定义 若 时 函数 则称函数 为 时的无穷小 极限为零的变量 称为无穷小 1 无穷小量的概念 60 当 例如 函数 当 时为无穷小 函数 时为无穷小 函数 当 时为无穷小 说明 2 零是可以作为无穷小的唯一的数 1 无穷小是变量 不能与很小的数混淆 61 其中 x 为 时的无穷小量 定理 无穷小与函数极限的关系 意义 1 将一般极限问题转化为特殊极限问题 无穷小 62 证 当 时 有 对自变量的其它变化过程类似可证 63 2 无穷小量的性质 性质1 有限个无穷小的代数和还是无穷小 由此可证 有限个无穷小之和仍为无穷小 以三个无穷小的和为例 设 无穷小 无穷小 只需证明 两个无穷小的和 仍为无穷小 分析 64 时 有 证 当 时 有 当 时 有 取 则当 因此 来证 65 说明 无限个无穷小之和不一定是无穷小 例如 性质2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 即 66 证 当 时 有 取 则当 时 就有 故 67 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小 推论1 有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小 都是无穷小 68 例14 求 解 利用性质2可知 说明 y 0是 的渐近线 注意 有重要公式 函数极限与自变量的变化过程有关 69 三 无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大 为无穷小 若 为无穷小 且 则 为无穷大 则 据此定理 关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论 性质3 说明 70 四 无穷小量阶的比较 都是无穷小 引例 但 可见无穷小趋于0的速度是多样的 观察各极限 71 定义 若 则称 是比 高阶的无穷小 若 若 若 或 记作 则称 是比 低阶的无穷小 则称 是 的同阶无穷小 则称 是 的等价无穷小 记作 例如 当 时 72 例15 证明 当 时 证 73 第二章 2 5极限的运算法则 则有 证 因 则有 其中 为无穷小 于是 由性质1可知 也是无穷小 再利用极限与无穷小 的关系定理 知定理结论成立 定理 若 74 说明 此定理可推广到有限个函数相加 减的情形 定理 若 则有 证明略 说明 此定理可推广到有限个函数相乘的情形 推论1 C为常数 推论2 n为正整数 75 例16 设n次多项式 试证 证 76 定理 若 且B 0 则有 证明略 例17 设有分式函数 其中 都是 多项式 试证 证 说明 若 不能直接用商的运算法则 若 77 x 3时分母为0 例18 练习求 78 例19 求 解 x 1时 分母 0 分子 0 但因 79 例20 求 解 时 分子 分子分母同除以 则 分母 抓大头 原式 80 一般有如下结果 为非负常数 81 例21求 解 注意两个同号的无穷大量之和是无穷大量 两个异号的无穷大量之和是 型不定式 本例求极限的方法称为有理化法 82 第二章 2 6两个重要的极限 一 极限存在准则 夹逼准则 单调有界准则 柯西审敛准则 略 1 夹逼准则 准则1 数列 直观 83 当 时 有 想证 证明直观 n N2时 n N1时 n max N1 N2 时 84 证 由条件 2 当 时 当 时 取 则当 时 有 由条件 1 即 故 85 夹逼准则 准则1 变量 直观 例1 证明 证明 86 例2 证明 证明 87 例3 证明 证 利用夹逼准则 且 由 88 2 单调有界数列必有极限 准则2 证明略 89 例 设 证明数列 极限存在 证 利用二项式公式 有 90 大 大 正 又 比较可知 91 根据准则2可知数列 记此极限为e e为无理数 其值为 即 有极限 又 92 圆扇形AOB的面积 二 两个重要极限 证 当 即 亦即 时 显然有 AOB的面积 AOD的面积 故有 93 例4 求 解 例5 求 解 令 则 因此 原式 94 例6 求 解 原式 例 已知圆内接正n边形面积为 证明 证 说明 计算中注意利用 95 2 证 当 时 设 则 96 当 则 从而有 故 说明 此极限也可写为 时 令 97 例 求 解 令 则 说明 若利用 则 原式 98 例7 求 解 例8 求 解 99 例 计算复利息问题 每期结算一次 本利和为 每期结算次 期本利和为 如果立即产生 立即结算 即 期本利和为 100 第二章 2 7利用等价无穷小量代换求极限 定理1 证 即 即 101 定理2 设 且 存在 则 证 等价无穷小替换定理 例如 在极限的乘除运算中 等价无穷小可以相互替换 102 设对同一变化过程 为无穷小 说明 无穷小性质Th1 2 1 和差取大规则 由等价 得简化某些极限运算的下述规则 若 o 例如 2 因式代替规则 界 则 例如 103 例1 求 解 原式 104 例2 求 解 原式 105 例3 求 解 原式 不能滥用等价无穷小代换 对于代数和中各无穷小不能分别替换 注意 106 例4 证明 证明 107 第二章 2 8函数的连续性 可见 函数 在点 一 函数连续性的定义 定义 在 的某邻域内有定义 则称函数 1 在点 即 2 极限 3 设函数 连续必须具备下列条件 存在 且 有定义 存在 108 continue 若 在某区间上每一点都连续 则称它在该区间上 连续 或称它为该区间上的连续函数 例1 在 上连续 有理整函数 例2有理分式函数 在其定义域内连续 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 都有 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 109 对自变量的增量 有函数的增量 左连续 右连续 当 时 有 函数 在点 连续有下列等价命题 110 例3 证明函数 在 内连续 证 即 这说明 在 内连续 同样可证 函数 在 内连续 111 例4 证明函数 在 内连续 证 即 这说明 在 内连续 来证 要使 只要 即 取 即可 112 例5 证 由定义知 113 例6 解 右连续但不左连续 114 在 在 二 函数的间断点 1 函数 2 函数 不存在 3 函数 存在 但 不连续 设 在点 的某去心邻域内有定义 则下列情形 这样的点 之一函数f x 在点 虽有定义 但 虽有定义 且 称为间断点 在 无定义 115 间断点分类 第一类间断点 及 均存在 若 称 若 称 第二类间断点 及 中至少一个不存在 称 若其中有一个为振荡 称 若其中有一个为 为可去间断点 为跳跃间断点 为无穷间断点 为振荡间断点 116 为其无穷间断点 为其振荡间断点 为可去间断点 例如 117 显然 为其可去间断点 4 5 为其跳跃间断点 118 例7 解 119 小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 120 可去型 第一类间断点 跳跃型 无穷型 振荡型 第二类间断点 121 三 连续函数的运算法则 极限性质 容易把极限性质转化为连续函数性质 如 122 定理1 在某点连续的有限个函数经有限次和 差 积 利用极限的四则运算法则证明 商 分母不为0 运算 结果仍是一个在该点连续的函数 在其定义域内连续 例如 123 定理2 连续单调递增函数的反函数 例如 在 上连续单调递增 其反函数 递减 证明略 在 1 1 上也连续单调递增 递增 递减 也连续单调 反三角函数在其定义域内皆连续 124 在 上连续单调递增 其反函数 在 上也连续单调递增 又如 125 定理3 定理4 连续函数的复合函数是连续的 即 设函数 则复合函数 且 即 加强条件有 注意定理4是定理3的特殊情况 证明略 126 意义 极限符号可以与函数符号互换 例8 求 解 原式 127 例9 是由连续函数链 因此 在 上连续 复合而成 128 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的 基本初等函数的连续性 均在其定义域内连续 四 初等函数的连续性 Ex 129 基本初等函数在定义域内连续 连续函数经四则运算仍连续 连续函数的复合函数连续 一切初等函数在定义区间内连续 例如 的连续区间为 端点为单侧连续 的连续区间为 的定义域为 因此它无连续点 而 定义区间是指包含在定义域内的区间 130 例10 讨论 的连续性 解 131 132 五 利用函数连续性求函数极限 1 利用初等函数连续性求函数极限 例11 求 解 初等函数 在 例12求 解 133 例13 求 解 令 则 原式 说明 当 时 有 2 利用连续函数符号与极限符号可交换 如例8中 134 例14 求 解