2020年高考数学（理）大题专题解析与训练卷（3）

大题专项训练卷（3）1.（本小题满分12分）（2020四川省成都石室中学半期考试）已知等比数列的前项和为，且是和的等差中项（1）求数列的通项公式；（2）当时，令，求数列的前项和【解析】（1）由是和的等差中项，得 2 = + ，即 a1q7 = 8a1q + 7a1q4，所以q67q38 = 0，即，解得公比或当时，由，所以； 当时，由，所以；（2）当时，知，所以数列的前项和为2.（本小题满分12分）（2020吉林省榆树市第一高级中学期末）如图，三棱柱中，.（1）证明：；（2）若，在棱上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求的长，若不存在，说明理由.【解析】（1）证明：连接 为平行四边形，且 为菱形 ，又，平面，又，平面，（2），.两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则，设， 易知，则平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，则 得，解得：.在棱上存在点，当时，得二面角的大小为.3.（本小题满分12分）（2020山东省泰安第二中学高三11月月考）某市交通管理部门为了解市民对机动车“单双号限行”的态度，随机采访了100名市民，将他们的意见和是否拥有私家车的情况进行了统计，得到了如下的列联表：赞同限行不赞同限行合计没有私家车15有私家车45合计100已知在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是.（1）请将上面的列联表补充完整；（2）根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“对限行的态度与是否拥有私家车有关”；（3）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该市大量市民中，采用随机抽样方法每次抽取1名市民，抽取3次，记被抽取的3名市民中的“赞同限行”人数为.若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列、期望和方差.附：参考公式：，其中.临界值表：0.150.100.050.0250.100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】（1）因为在被采访的100人中随机抽取1人且抽到“赞同限行”者的概率是，所以“赞同限行”的市民共75人，其中没有私家车的30人，从而，所给列联表补充如下：赞同限行不赞同限行合计没有私家车301545有私家车451055合计7525100（2）依据表中数据，易得的观测值为.因为，因此，在犯错误概率不超过0.10的前提下，能够判断市民“对限行的态度与是否拥有私家车有关” .（3）由题意，得，从而：；.所以的分布列为X0123P 故：.4.（本小题满分12分）（2020宁夏银川一中高三第五次月考）已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题知，点， 则有，又，因此，椭圆的标准方程为；（2）当轴时，位于轴上，且，由可得，此时；当不垂直轴时，设直线的方程为，与椭圆交于，由，得.，从而 ，已知，可得. .设到直线的距离为，则，. 将代入化简得.令，则.当且仅当时取等号，此时的面积最大，最大值为.综上：的面积最大，最大值为. 5.（本小题满分12分）（2020陕西省西安中学高三上学期期末）已知函数（为常数）在区间内有两个极值点（1）求实数的取值范围；（2）求证：【解析】（）解法一：由，可得，由题意，则，设由题意，知是在上的两个零点当时，则在上递增，至多有一个零点，不合题意；当时，由，得，.（i）若且，即时，在上递减，递增；若，即时，至多有一个零点，不合题意，舍去；若，即时，又，从而，在和上各有一个零点所以时，在上存在两个零点（ii）若，即时，在上单调递减，至多有一个零点，舍去.（iii）若且，即时，在上有一个零点，在上没有零点，舍去综上可得，实数的取值范围是解法二：由，可得，由题意，则，由题意知是在上的两个零点由，得，从而只需直线与函数的图象在有两个交点由得在区间内单调递减，在区间内单调递增，所以且时，所以实数的取值范围是（）解法一：令，则，所以在上递增，而，且在递增；，命题得证解法二：由（1）有，则证明 下证式成立，由，得，令，则，易知，从而式，又令，即证对成立设，则，从而即，即从而式成立，命题得证6.（本小题满分10分）（2020陕西省西安中学高三上学期期末）选修44：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系（1）求圆的普通方程及其极坐标方程；（2）设直线的极坐标方程为，射线与圆的交点为（异于极点），与直线的交点为，求线段的长【解析】（1）由，平方相加，得：，所以圆的普通方程为：，又，化简得圆的极坐标方程为：（）把代入圆的极坐标方程可得：，把代入直线的极坐标方程可得：，所以线段的长.7.（本小题满分10分）