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初中数学解题方法与技巧教学的研究 一、解数学题的意义 美国著名的心理学家威廉 . 詹姆斯这样说：解题是最突出的一类特殊的自由思维。解数学题是数学学习中最重要的一种活动，是数学训练中最主要的学习方式。其本质目的是锻炼人们解决实际生活中的问题的能力。一般可归为三类：一类是解答数学学习过程中的数学题；一类是将实际生活中问题运用数学知识去问题解决。 （一）解答数学学习过程中的数学题的意义 解答数学学习过程中的数学题一般有明确的目的。主要是巩固已有的知识，掌握这些知识运用的基本技能。因此重要性是不可忽视的。 1. 明确做练习的基本价值。练习题具有典型性，为某个目标确定的。因此通过做练习可以了解学生对概念的理解程度，可以使学生将问题与所学数学知识联系在一起，培养学生的基本技能和基本的思维，因此是不可或缺的。 2. 明确做练习的重复价值。数学学习过程中的数学练习题，是多次重复出现，或者它的类型是螺旋形上升的。因此才能达成技能的要求，进而形成良好的解决数学问题的演绎证明、推理运算等各种数学能力。同时重复是记忆之母，可以加深对概念的理解、记忆。 3. 明确做练习的心理价值：培养学生的坚韧的性格好、良好的意志力，和在困难面前去多角度寻求问题解决的能力。 4. 明确做练习的成功价值，学生能独立的解决问题，在练习中感悟发现的喜悦和创造性地寻求出答案的巧妙解法。不同的同学想出了不同的解法，那种快乐的成就感，再发现和再创造的过程会给学生带来学习的兴趣和潜能的开发。 （二）运用数学知识去进行问题解决的意义 前面所说的数学习过程的练习题一般是由标准答案，已知和求解都是十分清楚的。而实际生活中许多问题预先是不知答案或者不一定有统一的答案，甚至可能没有答案，这样一类可以用数学方法去研究和解决的问题称为数学问题解答。它的常见类型和价值是这样的。 1. 可以构建数学模型的非常规的实际问题。这类问题往往不是纯数学化的问题模式，而是一种情景，一种实际需求，只是为了解决遇到的困难，需要讲实际问题转化为数学模型并进行解释与解决。这是在生活和实践中运用数学最常用的方式，培养的是学生面对实际进行的问题解决能力。 2. 探究性问题：要求的是通过一定的探索，研究来认识数学对象的性质，去发现其数学规律，这种问题要求一种研究式的思维能力，在问题解决过程中感受发现的乐趣，它培养的是一种主动探索精神和科学态度。 3. 开放性问题：是问题的条件、结论、解题策略或应用等方面具有一定的开放程度的问题，学生在研究这类问题时通常采用的是合作研究，这种方式可互相启发学生的合作与交流，在交流和合作中完善和优化自己的思维。这类问题的解决可培养学生的思维的灵活性和发散性。培养学生的创新意识。 二、解题的方法与技巧 数学思想方法在解题中有不可忽视的作用 解题的学习过程通常的程序是：阅读数学知识，理解概念；在对例题 和 老师的讲解进行反思，思考例题的方法、技巧和解题的规范过程；然后做数学练习题。 基本题要练程序和速度；典型题尝试一题多解开发数学思维；最后要及时总结反思改错，交流学习好的解法和技巧。著名的数学教育家波利亚说过“如果没有反思，就错过了解题的的一次重要而有意义的方面。” 教师在教学设计中要让学生解好数学问题，就要对数学思想方法有清楚的认识，才能更好的挖掘题目的功能，引导学生发现总结题目的解法和技巧，提高解题能力。 （一）中国古代解题中的的数学思想： 1. 早在甲骨文中出现的十进位制记数方法，就是早期的数学计算思想；商 代的骨尺和牙尺上也有寸和分的刻度，主要的意义在便于计算。九章算术中开放紧纳性的表述系统，是按个别到一般的方法建立起来的，是由一个或几个问题归纳出基本规律和一般解法，再把各种算法进行综合，得到解决某领域中各种问题的方法，再把各领域的方法形成一章，汇成九章算术，形成抽象化的数学计算思想 2. 周易中的六十四别卦，其核心是八经卦，它的符号表示实际上是一 种特殊的数表，是由一堆数字组合而成，有限的符号在不同的位置上相互配置，组合生成无穷多的意义，形成早期的组合的数学思想，是离散数学的基础。 3. 礼记中指出初等教育要有数的教育，周礼中提到数的教育要有日 常生活中的计算。成为早期的培养人才的“经世致用” 的数学实用思想。周髀算经中系统的把数学应用在天文地理中，突出了数学的实用思想。 4. 三国时代的魏人刘徽为九章算术作注解 10 卷时提出的“出入相补 原理”成为我国最早的数形结合思想，尤其重要的是他所创造的“割圆术”使极限思想在世界上开了先例。 5. 庄子天下篇中有一句话是“一日之锤，日取其半，万世不竭”首次提 出了“无限的思想”进而出现了无限向有限转化的辩证思想。 概括中国古代数学思想有如下的特点：经世致用的实用思想；算法化、模 型化、数值化、离散化的计算思想；朴素的辩证思想；极限思想；数形结合思想等。成为数学问题解决的常用的思想方法。 （二）中学数学解题中的的基本思想： 中学数学中常见的数学思想有：函数与方程、数形结合、分类讨论、 转化与化归的思想。这典型的四类数学思想对初中数学问题的解决有着重要的思维指导作用。 1. 函数与方程的思想：函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。 2. 数形结合的思想：数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。 3. 分类讨论的思想 分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。 解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。常见的类型：类型 1 ：由数学概念引起的的讨论，如 实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论 ；类型 2 ：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型 3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型 4 ：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。类型 5 ：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。 如分类讨论的案例： 在一张长为 9 厘米 ，宽为 8 厘米 的矩形纸板上，剪下一个腰长为 5 厘米 的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请计算剪下的等腰三角形的面积？ 分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。分类的原则：分类不重不漏。分类的步骤：确定讨论的对象及其范围；确定分类讨论的分类标准； 按所分类别进行讨论； 归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画动态图。 4 转化与化归的思想 转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。 但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的；不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题；将复杂的转为简单的问题；将一般的转为特殊的问题；将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。 常见的转化方法有： （ 1 ）直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题 . （ 2 ）换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题 . （ 3 ）数形结合法：研究原问题中数量关系（解析式）与空间形式（图形）关系，通过互相变换获得转化途径 . （ 4 ）等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的 . （ 5 ）特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，使结论适合原问题 . （ 6 ）构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题 . （ 7 ）坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题也是转化方法的一个重要途径 转化与化归的指导思想 （ 1 ）把什么问题进行转化，即化归对象 . （ 2 ）化归到何处去，即化归目标 . 0 （ 3 ）如何进行化归，即化归方法 . 化归与转化思想是一切数学思想方法的核心 . （三）中学数学解题中的的基本方法： 1. 观察与实验 （ 1 ）观察法：有目的有计划的通过视觉直观的发现数学对象的规律、性质和解决问题的途径。 例如化简 经整体观察可知：无法通分，只能单个处理，因此可进行分母有理化，得到结论。 例如北京版数学八年级上 15 册 p81 页的图表 请同学们做的是观察图形、发现规律，填写表格。就是一种观察归纳的方法。 （ 2 ）实验法： 实验法是有目的的、模拟的创设一些有利于观察的数学对象，通过观察研究将复杂的问题直观化、简单化。它具有直观性强，特征清晰，同时可以试探解法、检验结论的重要优势。 例如求三角形内角和时用量的方法进行试验发现规律。 通过撕纸的方法进行实验，使三角形内角和转为平角得出 180 0 的结论。 发现规律在进行证明问题等同于知道了目的地在寻求证明的途径就容易得多了，同时在实验的过程中发现平行线的的性质，内错角同位角分别相等的转化方法，即发现证明的途径。 当三角形动的时候可看出三个角的值在变化，但和不变为 180 0 的重要结论 2. 比较与分类 （ 1 ）比较法 是确定事物共同点和不同点的思维方法。在数学上两类数学对象必须有一定的关系才好比较。我们常比较两类数学对象的相同点、相异点或者是同异综合比较。 例如比较一次函数的图像性质时，常采用比较法 （ 2 ）分类的方法 分类是在比较的基础上，依据数学对象的性质的异同，把相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归为不同类的思维方法。如上图中一次函数的 k 在不等于零的情况下的分类是大于零和小于零体现了不重不漏的原则。 如实数的分类是有理数和无理数等 3 特殊与一般 （ 1 ）特殊化的方法 特殊化的方法是从给定的区域内缩小范围，甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊的图形等情况，再去考虑问题的解答和合理性。 例如无论 k 取何值，直线 y=kx-(k-2) 过定点 _ 分析：令 k=0, 得 y=2 代入求得 x=1 得定点为（ 1 ， 2 ） 例如： 2 -(2k+1) -2 -(2k-1) +2 -2k 的值为（） (a) 2 -2k (b) 2 -(2k-1) (c) -2 -(2k+1) (d) 0 分析令 k=0, 得原式 = 2 -1 -2 +1=-2 -1 发现了 (a) (b) (d) ，所以排除了后选 (c) （ 2 ）一般化的方法 波利亚在怎样解题一书中这样说“普遍化（一般化）就从考虑一个对象过渡到包含该对象的一个集合；后者从考虑一个较小的集合过渡到一个包含该较小集合的更大的集合” “更普遍的问题可能更易于求解” 从具体问题中有时需要跳出来看问题就更易于解决，也就是我们平常常说的公式法求解 例如：求方程 5x2 -4x-12=0 的解，求根公式就易于求解 对不能因式分解的一元二次方程优势会更突出。 如解方程 x2 +4x-2=0 4. 联想与猜想 （ 1 ）类比联想 类比就是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性，联想到另一事物也可能具有某种属性的思维方法。 通过类比联想可以发现新的知识；通过类比联想可以寻求到数学解题的方法和途径： 。 （ 2 ）归纳猜想 牛顿说过：没有大胆的猜想就没有伟大的发明。猜想可以发现真理，发现论断；猜想可以预见证明的方法和思路。初中数学主要是对命题的条件观察得出对结论的猜想，或对条件和结论的观察提出解决问题的方案与方法的猜想。 归纳是对同类事物中的所蕴含的同类性或相似性而得出的一般性结论的思维过程。归纳有完全归纳和不完全归纳。完全归纳得出的猜想是正确的，不完全归纳得出的猜想有可能正确也有可能错误，因此作为结论是需要证明的。 关键是猜之有理、猜之有据。 例：已知 e 和 f 相交于 a 、 d 两点，其半径分别为 r 和 r, 过 d 点 的任一条割线分别交圆于 b 、 c 两点，连结 ab 、 ac 求证： ab:ac 为定值 分析：猜想比值为定值应该和半径有关系，目标定为两半径之比；猜想之二比值是相似三角形中的常见问题，因此构造相似三角形，通过三角形 agh 和 abc 相似得到 ab:ac=r:r 5. 换元与配方 （ 1 ）换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在初中数学中有广泛的应用。 （ 2 ）配方法 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成 “ 完全平方 ” ）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用 “ 裂项 ” 与 “ 添项 ” 、 “ 配 ” 与 “ 凑 ” 的技巧，从而完成配方。有时也将其称为 “ 凑配法 ” 。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式 (a b) 2 a 2 2ab b 2 ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式 6. 构造法与待定系数法 （ 1 ）构造法 所谓构造性的方法就是数学中的概念和方法按固定的方式经有限个步骤能够定义的概念和能够实现的方法。常见的有构造函数，构造图形，构造恒等式。平面几何里面的添辅助线法就是常见的构造法。构造法解题有：直接构造、变更条件构造和变更结论构造等途径。 p143 例：在证明正三角形内有一点 p ，连接 pa 、 pb 、 pc 则 pa+pcpb. 证法是通过旋转三角形 bpc 到 bp 在连接 pp 就直接构造出以 pa,pb,pc 为边的三角形 ppa 。 下面看一个常见的构造函数解决问题的例子 例 ： 在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 米 ，距地面均为 1 米 ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 米 和 2.5 米 处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是 1.5 米 ，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？ （ 2 ）待定系数法：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 用待定系数法解题的一般步骤是：确定所求问题含待定系数的解析式；根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。上例也是一个典型的待定系数法的例子。 7. 公式法与反证法 （ 1 ） 公式法 利用公式解决问题的方法。初中最常用的有一元二次方程求根时使用求根公式的方法；完全平方公式的方法等。如下面一组题就是完全平方公式的应用： （ 2 ）反证法是 “ 间接证明法 ” 一类，即：肯定题设而否定结论，从而得出矛盾，就可以肯定命题的结论的正确性，从而使命题获得了证明。 在应用反证法证题时，一定要用到 “ 反设 ” ，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫 “ 归谬法 ” ； 如果 结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫 “ 穷举法 ” 。 （四）中学数学新题型解题方法和技巧 1. 数学探索题 所谓探索题就是从问题给定的题设条件中探究其相应的结论并加以证 明，或从给定的题目要求中探究相应的必需具备的条件、解决问题的途径。 条件探索题：解答策略之一是将题设和结论视为已知，同时推理，在演 绎的过程中寻找出相应所需的条件。 结论探索题：通常指结论不确定不唯一，或结论需通过类比、引申、推广，或给出特例需通过归纳得出一般结论。可以先猜测再去证明；也可以寻求具体情况下的结论再证明；或直接演绎推证。 规律探索题：实际就是探索多种解决问题的途径，制定多种解题的策略。 活动型探索题：让学生参与一定的社会实践，在课内和课外的活动中， 通过探究完成问题解决。 推广型探索题，将一个简单的问题，加以推广，可产生新的结论，在初 中教学中常见。 如平行四边形的判定，就可以产生许多新的推广，一方面是自身的推广， 一方面可以延伸到菱形和正方形中。 探索是数学的生命线，解探索题是一种富有创造性的思维活动，一种数 学形式的探索绝不是单一的思维方式的结果，而是多种思维方式的联系和渗透，这样可使学生在学习数学的过程中敢于质疑、提问、反思、推广。通过探索去经历数学发现、数学探究、数学创造的过程，体会创造带来的快乐。 2. 数学情境题 情境题是以一段生活实际、故事、历史、游戏与数学问题、数学思想和方法于情境中。这类问题往往生动有趣，激发学生强烈的研究动机，但同时数学情景题又有信息量大，开放性强的特点，因此需要学生能从场景中提炼出数学问题，同时经历了借助数学知识研究实际问题的数学化过程。 如老师在讲有理数的混合运算时， 如列方程解应用题 3. 数学开放题 数学开放题是相对于传统的封闭题而言的一种新题型，其特征是题目的条件不充分，或没有确定的结论，也正因为这样，所以开放题的解题策略往往也是多种多样的。 （ 1 ） 数学开放题一般具有下列特征： 不确定性：所提的问题常常是不确定的和一般性的，其背景情况也是用一般词语来描述的，因此需收集其他必要的信息，才能着手解的题目。 探究性：没有现成的解题模式，有些答案可能易于直觉地被发现，但是求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。 非完备性：有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答，但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中学生的认知结构的重建。 发散性：在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更概括性的结论。 层次性：常常通过实际问题提出，学生必须用数学语言将其数学化，也就是建立数学模型。 发展性：能激起多数学生的好奇性，全体学生都可以参与解答过程。 创新性：教师难以用注入式进行教学，学生能自然地主动参与，教师在解题过程中的地位是示范者、启发者、鼓励者、合作者。 （ 2 ）对数学开放题的分类，从构成数学题系统的四要素（条件、依据、方法、结论）出发，定性地可分成四类；如果寻求的答案是数学题的条件，则称为条件开放题；如果寻求的答案是依据或方法，则称为策略开放题；如果寻求的答案是结论，则称为结论开放题；如果数学题的条件、解题策略或结论都要求解题者在给定的情境中自行设定与寻找，则称为综合开放题。 从学生的学习生活和熟悉的事物中收集材料，设计成各种形式的数学开放性问题，意在开放学生的思路，开放学生潜在的学习能力，开放性数学问题给不同层次的学生学好数学创设了机会，多种解题策略的应用，有力地发展了学生的创新思维，培养了学生的创新技能，提高了学生的创新能力。 （ 3 ）以数学开放题为载体的教学特征 师生关系开放：教师与学生成为问题解决的共同合作者和研究者 教学内容开放：开放题往往条件不完全、或结论不完全，需要收集信息加以分析和研究，给数学留下了创新的空间。 教学过程的开放性：由于研究的内容的开放性可以激起学生的好奇心、同时由于问题的开放性，就没有现成的解题模式，因此就会留下想象的空间，使所有的学生都可参与想象和解答。 （ 4 ）开放题的教育价值 有利于培养学生良好的思维品质； 有助于学生主体意识的形成； 有利于全体学生的参与，实现教学的民主性和合作性； 有利于学生体验成功、树立信心，增强学习的兴趣； 有助于提高学生解决问题的能力。 3. 数学建模题（初中数学建模题也可以看作是数学应用题） 数学新课程标准指出 : 要学生会应用所学知识解决实际问题 , 能适应社会日常生活和生产 劳动 的基本需要。初中数学的学习目的之一 , 就是培养学生解决实际问题的能力 , 要求学生会分析和解决生产、生活中的数学问题 , 形成善于应用数学的意识和能力。从各省市的中考数学命题来看 , 也更关注学生灵活运用数学知识解决实际问题能力的考查 , 可以说培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决实际问题的基本途径之一 初中数学应用问题的三种类型。 （ 1 ）、探求结论型数学应用问题 根据命题中所给出的条件，要求找出一个或一个以上的正确结论。 例 1 、一块正方形土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的四部分。若道路的宽度可忽略不记，请设计三种不同的修筑方案 ( 在给出三张正方形图纸上分别画图，并简述画图步骤 ) 。 （ 2 ）、与现实生活有关的数学应用问题 题目贴近生活、联系实际，注视社会生活、经济生活中的各方面。 例 2 、某市 20 位下岗职工在近郊承包 50 亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种植这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表： 请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物， 20 位职工都有工作且使农作物预计总产值最高。 例 3 、某饮料厂生产一种饮料，经测算用 1 吨水生产的饮料所获利润 y( 元 ) 是 1 吨水的价格 ( 元 ) 的一次函数。根据下表提供的数据，求 y 与 x 的函数关系式；当水价为每吨 10 元时， 1 吨水生产出的饮料所获的利润是多少 ? 例 4 、某工程队要招聘甲、乙两种工种的工人 150 人。甲、乙两种工种的工人工资每月为 600 元和 1000 元。现要求乙种工种人数不少于甲种工种人数的 2 倍。问：甲、乙两种工种各招聘多少人时，可以使得工程队每月付出的工资最少 ? 评析：以上题目均与生活实际紧密联系，主要考查学生应用数学知识分析、解决问题的能力。解决此类问题的关键在于要充分理解题意及有关名词的含义，将实际问题中内在的、本质的联系转化为数学问题，并根据题意建立方程或不等式，从而求解。 （ 3 ）跨学科的数学应用问题 数学与物理 例 5 、一个圆台形物体的上底面积是下底面积的 ，对桌面的压强是 200 帕，翻过来放，对桌面的压强是 ( ) 。 (a)50 帕 (b)80 帕 (c)600 帕 (d)800 帕 例 6 、一个滑轮起重装置，滑轮的半径是 10cm ，当重物上升 1ocm 时滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角的度数为 ( 假设绳索与滑轮之间没有滑动 )( ) 。 (a)115 (b)60 (c)57 (d)29 这些是与物理有关的问题，题目难度不大，但考查了学生应用数学知识解决物理问题的能力。 数学与生化 例 7 、某种细菌在培养过程中，细菌每半小时分裂一次 ( 由一个分裂成两个 ) ，经过两小时，这种细菌由 1 个可以分裂繁殖成 ( ) 。 (a)8 个 (b)16 个 (c)4 个 (d)32 个 例 8 、一定温度下的饱和溶液中，溶质、溶剂质量和溶解度之间存在下列关系： 。 已知 20 时硝酸钾的溶解度为 31 克 ，在此温度下，设 x 克水可溶解硝酸钾 y 克，则 y 关于 x 的函数关系式是 ( ) 。 (a) y=0.31x (b) y=31x (c) y= (d) y= 以上两题是与生物和化学有关的问题，体现了数学在生化学科的应用。 总之，数学应用问题较好地考察了学生阅读理解能力与日常生活体验，同时又考察了学生获取信息后的抽象概括与建模能力，判断决策能力。中考数学应用问题热点题型主要包括生活、统计、测量、设计、决策、销售、开放探索、跨学科等等，中考在强化学生应用意识和应用能力方面发挥及其良好的导向功能。这就要求我们在平时教学中善于挖掘课本例题、习题的潜在的应用功能。巧妙地将课本中具有典型意义的数学问题回归生活、生产的原型，创设一个实际背景，改造成有深刻数学内涵的实际问题，以增强应用意识，发展数学建模能力。 三、解题方法与技巧教学的建议 （一）理清解答习题、解决问题、问题解决三者的区别与联系。 解答习题：是运用已有的知识按一定的程序推理或计算得出题目的答案的过程。解决问题：是运用已有的知识寻求解决的方法的过程，它有解决的策略与方法，从发现问题开始，到计划、实施、检查、完善最后使问题得以解决。问题解决：是在问题空间中进行搜索，以便使问题的初始状态达到目标状态的 思维过程 ，它可能还存在着角度的不同、方法的不同，可以有分析比较融入其中。 数学家波利亚这样说，解决问题就是有目的地去思考和为达到预期目标而想方设法。 例如：讲多边形内角和的课例，已知三角形内角和是 180o ，求四边形内角和的度数，学生连接对角线将四边形变为两个三角形求得内角和是 360o ，这就是解答习题。老师将题目变为四边形内角和的度数如何求解？学生的所做的就是解决问题，如学生就去思考画图的方法，然后将其归为三角形问题求解。而老师发现学生的一个解决的角度是四边形内设置一点，将其变为四个三角形问题求和后减周角 180 度得出 360 度的情况后，发现学生思维的闪光点后引导学生将问题拓展为着新设置的一点在边上、在形外是否都有相同的结论，这个过程就成为了问题解决，即为发现问题，探索结论总结规律形成结论，同时学生发现它的最优解法。 例如：点 e 、 f 分别为平行四边形 abcd 的边 ab,bc 上的点， m 、 n 分别是 e 、 f 关于对角线交点 o 的对称点，求证四边形 efmn 为平行四边形。这就是一道需要解答的题目。但是将其求证部分改变为“试判断四边形 efmn 的形状，并证明”就带有解决问题的意境了。如果再将问题改变为“试判断四边形 efmn 的形状，并考虑如果改变 e 、 f 的位置能否使四边形 efmn 成为矩形”就是教学过程变为需要学生猜想、探索、验证、求证的数学化过程，这就是问题解决的常见情况。 （二） 解题教学的建议 1. 渗透数学思想和方法 g.polya 在怎样解题一书中指出，解题是人类最富有特征的一种活动，是学生学习数学的中心环节，是一种实践性技能，是发展数学思维能力、培养良好心理素质的重要手段。正因为如此，解题在数学教学中具有重要的地位。解题不仅仅是解题类型 + 方法 ，这种模式虽然能够巩固所学的知识，并能够加强基本方法的训练，但忽视了解题目标、过程的分析，以及解题中数学思维方法的培养，导致学生创造能力下降，缺乏独立开拓的创新意识。 渗透数学思想方法的教学只有注意问题内在数学结构的分析，并应努力帮助学生掌握数学的思维方法，注意了思想方法的分析，我们才能把数学课讲活、讲懂、讲深。所谓“讲活” ，就是让学生看到活生生的数学知识的发生发展过程，而不是死的数学结论；所谓“讲懂”，就是让学生真正理解有关的数学内容，而不是囫囵吞枣、死记硬背；所谓“讲深”，则是指使学生不仅能掌握具体的数学知识，而且也能领会内在的思想方法。 建议 1. 在知识的形成过程中渗透数学思想方法 数学知识的发生过程实际上也是数学思想方法的发生过程。任何任何概念， 经历感性到理性的抽象概括过程 ; 任何一个规律，都经历着由特殊到一般的归纳过程。 如果 让学生以探索者的姿态出现，去参与概念的形成和规律的揭示过程，学生获得的就不仅是数学概念、定理、法则，更重要的是发展了抽象概括的思维和归纳的思维，还可以养成良好的思维品质。 1. 展开概念不要简单地给定义 概念是思维的细胞，是浓缩的知识点，是感性认识飞跃到理性认识的结果。而飞跃的实现要经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维的逻辑加工，依据数学思想方法的指导。因此概念教学应当完整地体现这一生动的过程，引导学生揭示隐藏于知识之中的思维内核。 2. 延迟判断 不要过早地下结论 判断可以看作是压缩了的知识链。数学定理、性质、法则、公理等结论都是一个个具体的判断。教学中要引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程，弄清每个结论的因果关系，使学生看到某个判断时，能像回忆自己参加有趣活动那样津津乐道。 建议 2 在解题探索过程中渗透数学思想方法 加强对解题的正确指导，引导学生从解题的思想方法上作必要的概括可以充分培养学生的各种能力和意志品质。数学中的化归、数学模型、数形结合、类比、归纳猜想等思想方法，既是解题思路分析中必不可少的思想方法，又是具有思维导向型的思想方法。学生一旦形成了化归意识，就能化未知为已知、化繁为简、化一般为特殊，优化解题方法；数学思想方法在解题思路探索中的渗透，可以使学生的思维品质更具合理性、条理性和敏捷性。 建议 3 在问题的解决过程中渗透数学思想方法 问题解决是以思考为内涵，以问题目标为定向的心理活动；是在新情景下通过思考去实现学习目标的活动，“思考活动”和“探索过程”是问题解决的内核。数学领域里的问题解决，不仅关心问题的结果，而且还关心求得结果的过程，即问题解决的整个思考过程。数学问题解决，是按照一定的思维对策进行的思维过程。在数学问题解决的过程中，既运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式，又运用直觉、灵感 ( 顿悟 ) 等非逻辑思维形式来探索问题的解决办法。在学数学、用数学的过程中引导学生学习知识、掌握方法、形成思想，促进思维能力的发展。 建议 4 在复习与小结中提炼、概括数学思想方法 小结与复习是数学教学的一个重要环节，揭示知识之间的内在联系以及归纳、提炼知识中蕴含的数学思想方法是小结与复习的功能之一。在小结与复习时应该提炼、概括这一单元知识所涉及的数学思想方法，并从知识发展的过程来综观数学思想方法所起的作用，以新的更为全面的观点分析所学过的知识；从数学思想方法的角度进行提高与精练。由于同一内容可以体现不同的数学思想方法，而同一数学思想方法又常常蕴含在许多不同的知识点里，因此，在小结与复习时还应该从纵横两方面整理出数学思想方法及其系统。 建议 5 引导学生进行反思 , 从中领悟数学思想方法 著名数学 教育 家弗赖登塔尔指出：“反思是数学思维活动的核心和动力”。因此，教师应该创设各种情境，为学生创造反思的机会，引导学生积极主动地提出问题，总结经验。如：解法是怎样想出来的？关键是那一步？自己为什么没想出来？能找到更好的解题途径吗？这个方法能推广吗？通过解这个题，我学到了什么？在必要时可以引导学生进行讨论。这种反思能较好地概括思维的本质，从而上升到数学思想方法上来。同时由于学习的不可代替原则，教师在积极引导学生进行反思的同时还要善于引导学生学会自己提炼数学思想方法；帮助学生领悟数学知识与解题过程中隐藏的数学思想方法。 2. 关注一题多解、多题归一、一题多变 一题多解是从不同方向、不同侧面、不同层次，运用不同的知识和方法，解决同一个问题，一题多解能激发同学们的潜能，提高解答问题的应变能力。多题归一则是看似不同的问题在解决过程中拥到了同样的类似的解法，多题归一可以发展学生的抽象概括能力，使学生看清数学的本质。一题多变则是在原有的基础上改变部分条件或者结论，形成新的问题，在不断的变形过程中，使学生关注前后联系，抓住问题本质，利于发展学生的创造性思维能力。 下面两例是典型的一题多变 例已知：两个等圆 o1 和 o2 相交于 a 和 b 两点， o1 经过点 o2 ，求 o1ab 的度数 ( 初中几何第三册第 139 页，例 2) 。 讲完例题后，让学生思考：在题设不变的条件下，写出所有的结论，把它改造为一道多结论型的问题。 某些定理、性质的教学，也可以把它改造成或引伸为探索性的问题。 例 3 、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 ( 初中几何第三册，第 118 页 ) 边讲解“切线长”概念、边画图，通过图形让学生观察，证明定理后，加以引伸：在条件不变的情况下，写出所有结论，把它改造成为一道探求结论型。 从近几年中考试卷的抽样分析，发现普通几何题差于代数题、新颖题差于常见题、应用性问题差于纯数学问题。可以发现学生对解决这类问题的能力很欠缺。因此在教学中，要做必须的、针对性的练习，更要重视进行变式训练，即变换原题的图形或改变部分题设，求证同一结论或探索结论，以提高学生探索分析能力。通过训练提高学生对问题的解决及创新能力这也符合当前的课改精神。 一题多解的案例 ：在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似的看作抛物线，如图，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为 4 米 ，距地面均为 1 米 ，学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 米 和 2.5 米 处，绳子甩到最高处时，刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是 1.5 米 ，根据以上信息你能知道学生丁的身高吗？ 不同的建系方式可得到不同的解析式，使求解问题的难易度发生改变。九年级数学课本第 70 页的例 4 ： 如图 1 ， 在 abc 中，矩形 defg 的一边 de 在 bc 上，点 g 、 f 分别在 ab 、 ac 上， ah 是 bc 上的高， ah 与 gf 相交于 k ，已知 gf=18 ， bc=48,ef=10, 求 ak 的长。 分析：这是一个“三角形内接四边形”的问题，通过 gf/bc, 易证 agf abc, 利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得 , 设 ak=x ，然后代入得比例式方程 ，解方程求得 ak=6 。解决本题的关键是利用比例式 列方程，这是一种非常重要的解题思路，下面的诸多问题都是利用这一思路解决的。 例 1 如图 2 ，在 abc 中， bc= 16cm ，高 ad= 8cm , 矩形 efgh 的边 ef 在 bc 上， g 、 h 分别在 ac 、 ab 上， ef=6, 求 he 的长。 分析：通过 gh/bc, 易证 agh abc, 利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得 , 设 he=xcm, 然后代入的比例式方程 ，解方程求得 he= 5cm . 例 2 如图 2 ，在 abc 中， bc= 18cm ，高 ad= 12cm , 矩形 efgh 的边 ef 在 bc 上， g 、 h 分别在 ac 、 ab 上， eh ： ef=1 ： 3, 求矩形 efgh 的周长。 分析：通过 gh/bc ，易证 agh abc, 利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得 , 设 he=xcm, 则 ef= 3cm ，然后代入的比例式方程 ，解方程求得 he= 4cm . 于是 hg=ef= 12cm ，所以矩形 efgh 的周长为 32cm . 例 3 如图 2 ，在 abc 中， bc=a ，高 ad=h(a 与 h 为正常数 ), 矩形 efgh 的边 ef 在 bc 上， g 、 h 分别在 ac 、 ab 上，设 he=x,ef=y, 求 y 与 x 之间的函数关系式。 分析：通过 gh/bc ，易证 agh abc, 利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得 , 先证明 he=md,gh=ef 然后将 am=h-x,ad=h,gh=y,bc=a 代入比例式，得 ，整理得 。 例 4 如图 3 ，有一块三角形余料 abc ，它的边 bc= 120mm , 高 ad= 80mm , 要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 bc 上，其余两个顶点分别在 ab 、 ac 上，加工成的正方形的边长是多少？ 例 5 如图 1 ，在 abc 中，矩形 efgh 的一边 de 在 bc 上，点 g 、 f 分别在 ab 、 ac 上， ah 是 bc 上的高， ah 与 gf 交于 k, 已知 gd=x,bc=12 ， ah=10, 矩形的周长为 y (1)求 y 与 x 之间的函数关系式。 (2)当 x 为何值时，矩形 efgh 成为正方形？ 分析：（ 1 ）通过 gf/bc ，易证 agh abc, 利用“相似三角形对应高的比等于相似比”可得 , 将 ak=10-x,ah=10,bc=12 代入比例式，得 ，解得 , 于是 (2) 当 时，即 时，矩形 efgh 成为正方形 例 6 如图 5 ，有一块三角形土地，它的底边 bc= 100 米 ，高ah= 80 米 ，某单位要沿着底边bc 修一座底面是矩形 defg 的大楼，当这座大楼的地基面积最大时，