借助函数知识利用数形结合解决函数与方程.doc

借助函数知识利用数形结合解决函数与方程、不等式的综合问题 程馨慧初中代数内容“方程”、“函数”是核心.同时函数又是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式等都与函数知识有直接的联系.例如：代数式2a23a1，可以看成是函数y2x23x1在xa时的值；方程ax2+bx+c0的根可以看成是函数yax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标；不等式ax2+bx+ca+c，那么关于方程ax2+bx+c=0的根的情况（）A有两个实根 B有两个等根C无实根D不确定点拨这道题是要判断方程根的情况，也可将其转化为“函数”问题，只需判断二次函数与x轴的交点个数即可。因此画出满足题意的抛物线的草图是解题的关键。对于二次函数y=ax2+bx+c，满足a0,b0,c0，a-b+c0时，二次函数y=2kx2-2x-3k-2的图象开口向上，与x轴的交点位于点（1，0）的两侧，则当x=1时，y0即2k-2-3k-20；当k0即2k-2-3k-20.由可知：k(2k-2-3k-2)0,k0. 例3.若方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0有两个不等实根x1、x2，且0 x11 x20；当x=1,y0.由可得-2K-1或3K4. 提升方程的两实根，也就是抛物线与x轴两交点的横坐标，因此，我们用函数的观点和数形结合的方法来解决此题会更简单。这里将此类问题的转化方法归纳如下：（1）当二次方程ax2+bx+c=0(a0)存在两实数根，且一正一负时，可转化为函数y= ax2+bx+c=0(a0)与x轴有两个交点，一个位于x轴正半轴，一个位于x轴负半轴的问题.此时二次函数须满足x= 0y0)存在两正实数根时，可转化为函数y= ax2+bx+c=0(a0)与x轴的正半轴有两个交点问题.此时二次函数须满足0；x= 0y0；-0.（3）当二次方程ax2+bx+c=0(a0)存在两负实数根时，可转化为函数y= ax2+bx+c=0(a0)与x轴的负半轴有两个交点问题.此时二次函数须满足0；x=0 y0；-0，（3）当x=4时，y0，(4)对称轴x=m应满足2 M4，由以上四个条件便可确定K的取值范围。 在解决数学问题时倘若能充分运用数学知识的辅助图形，将数学知识的内在联系形象化、直观化，使抽象问题一目了然，把问题通过数与形之间的对应关系转化为一个图形问题，往往能迅速地较为简洁地得到解题思路和方法。例5.不等式x+|x-2a|1的解为全体实数，求a的取值范围.点拨此题可将含绝对值的不等式问题转化为分段函数，借助函数图象数形结合来解决问题。解析不等式x+|x-2a|1的解为全体实数设y= x+|x-2a|=a转化思想是数学思想方法的核心，从广义上讲，数学解题就是恰当地运用已知条件将问题逐步转化，从而获得解决的过程。有些问题如果直接解题难以入手，那么思维不应停留在原问题上，而应换一个方向来考虑，在这种新的方向下，使问题变得更清晰、更明朗. 找出知识间、解题思路间的内在联系，那么难题也不再难。本版公式整理/王翠玮初中代数内容“方程”、“函数”是核心.同时函数又是代数的“纽带”，代数式、方程、不等式等都与函数知识有直接的联系.例如：代数式2a23a1，可以看成是函数y2x23x1在xa时的值；方程ax2+bx+c0的根可以看成是函数yax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标；不等式ax2+bx+ca+c，那么关于方程ax2+bx+c=0的根的情况（）A有两个实根 B有两个等根C无实根D不确定点拨这道题是要判断方程根的情况，也可将其转化为“函数”问题，只需判断二次函数与x轴的交点个数即可。因此画出满足题意的抛物线的草图是解题的关键。对于二次函数y=ax2+bx+c，满足a0,b0,c0，a-b+c0时，二次函数y=2kx2-2x-3k-2的图象开口向上，与x轴的交点位于点（1，0）的两侧，则当x=1时，y0即2k-2-3k-20；当k0即2k-2-3k-20.由可知：k(2k-2-3k-2)0,k0. 例3.若方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0有两个不等实根x1、x2，且0 x11 x20；当x=1,y0.由可得-2K-1或3K4. 提升方程的两实根，也就是抛物线与x轴两交点的横坐标，因此，我们用函数的观点和数形结合的方法来解决此题会更简单。这里将此类问题的转化方法归纳如下：（1）当二次方程ax2+bx+c=0(a0)存在两实数根，且一正一负时，可转化为函数y= ax2+bx+c=0(a0)与x轴有两个交点，一个位于x轴正半轴，一个位于x轴负半轴的问题.此时二次函数须满足x= 0y0)存在两正实数根时，可转化为函数y= ax2+bx+c=0(a0)与x轴的正半轴有两个交点问题.此时二次函数须满足0；x= 0y0；-0.（3）当二次方程ax2+bx+c=0(a0)存在两负实数根时，可转化为函数y= ax2+bx+c=0(a0)与x轴的负半轴有两个交点问题.此时二次函数须满足0；x=0 y0；-0，（3）当x=4时，y0，(4)对称轴x=m应满足2 M4，由以上四个条件便可确定K的取值范围。 在解决数学问题时倘若能充分运用数学知识的辅助图形，将数学知识的内在联系形象化、直观化，使抽象问题一目了然，把问题通过数与形之间的对应关系转化为一个图形问题，往往能迅速地较为简洁地得到解题思路和方法。例5.不等式x+|x-2a|1的解为全体实数，求a的取值范围.点拨此题可将含绝对值的不等式问题转化为分段函数，借助函数图象数形结合来解决问题。解析不等式x+|x-2a|1的解为全体实数设y= x+|x-2a|=a转化思想是数学思想方法的核心，从广义上讲，