同步解析与测评 数学 必修4答案.pdf

数学 必修 参考答案 第一章 三角函数 第一节 任意角和弧度制 第 课时 任意角 课前导引 知识点 正 负 零 知识点 原点 x轴的非负半轴 坐标轴 知识点 k k Z 整数个周角 课堂精讲 变式训练 所以在 范围内 与 终边相同的角是 它是第二象限角 所以在 范围内 与 终边相同的角是 它是第三象限角 所以在 范 围内 与 终边相同的角是 它是第四 象限角 A n n n Z C 课后测评 D D A C B B k k Z 答案 k k k Z 或写为 k k k Z 或 A D 第 课时 弧度制 课前导引 知识点 半径长 圆心角 知识点 课堂精讲 变式训练 答案 设扇形的半径为r 弧长为l 圆心角为 则 r l 即l r 所以扇形面积S l r r r r r r r 当r 时 Sm a x c m 此时l 所以 l r 故当半径长为 c m 圆心角为 r a d时 扇形的面积最 大 且最大面积为 c m 课后测评 C A B A B D 四 D 或 s i n 答案 设扇形的圆心角为 半径为r 弧长为l 面积 为S 则l r 所以l r 所以S l r r r r r r 所以 当半径r c m时 扇形的面积最大 最大面积为 c m 此时 l r 第二节 任意角的三角函数 第 课时 任意角的三角函数 课前导引 知识点 正 s i n s i n y 余 c o s c o s x 正 t a n t a n y x x y r x r y x 知识点 相等 s i n c o s t a n 知识点 正弦线 余弦线 正切线 三角函数线 课堂精讲 变式训练 答案 当m 时 令x m y m 则r m m m 所以s i n y r c o s x r t a n y x 当m 时 令x m y m 则r m m m 所以s i n y r c o s x r t a n y x A 课后测评 A A B B D k k k Z k k k Z 答案 当n 时 令x n y n 则r n n n 所以s i n y r c o s x r 此时s i n c o s 当n 时 令x n y n 则r n n n 所以s i n y r c o s x r 此时s i n c o s 综上所述 s i n c o s D D 第 课时 同角三角函数的基本关系 课前导引 知识点 s i n c o s s i n c o s t a n k k Z 课堂精讲 变式训练 答案 原式 s i n c o s s i n s i n c o s c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s 答案 由题意知c o sx s i nx c o sx c o sx s i nx 左边 c o sx s i nx c o sx s i nx c o sx s i nx c o sx s i nx c o sx s i nx s i nx c o sx s i nx c o sx t a nx t a nx 右边 课后测评 B C A C D c o s 或 答案 由根与系数的关系得s i n c o s 所以 s i n c o s 所以 s i n c o s 由根与系数的关系得s i n c o s m 所以m 因为 s i n c o s 所以s i n c o s 因为 t a n s i n t a n c o s t a n s i n s i n c o s c o s c o s s i n s i n c o s s i n c o s 所以原式 s i n c o s D A 第三节 三角函数的诱导公式 课前导引 知识点 s i n k s i n c o s c o s t a n t a n c o s c o s s i n c o s c o s s i n 课堂精讲 变式训练 答案 s i n s i n s i n c o s c o s c o s 答案 f c o s s i n c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s 所以f c o s 答案 由题意知c o s s i n c o s 左边 s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n c o s s i n s i n c o s s i n c o s 右边 t a n t a n s i n c o s s i n c o s 显然左边 右边 所以原等式成立 课后测评 B C B C B C C m m 答案 s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n C C 答案 假设存在 使得等式均成立 即有 s i n c o s c o s c o s 由诱导公式可得 s i n s i n c o s c o s 解得c o s 又因为 所以 或 将 代入 c o s c o s 得c o s 将 代入s i n s i n 得s i n 又 所以 将 代入 c o s c o s 得c o s 将 代入s i n s i n 得s i n 不合 舍去 综上可知 存在 满足条件 C 第四节 三角函数的图象和性质 第 课时 正弦函数 余弦函数的图象 课前导引 知识点 课堂精讲 变式训练 答案 如答图 所示 答图 课后测评 B C D C A x k x k k Z x k x k k Z k k k Z 答案 由y c o sx的图象 知 c o sx 由已知条件 知a 若a 则 a ac o sx a 故 b a a b 解得a b 若a 则a ac o sx a 故 b a a b 解得a b B C 答案 f x s i nx s i nx s i nx s i nx s i nx 所以 当x 时 f x s i nx 当x 时 f x s i nx 于是可作出函数的图象 如 答图 所示 答图 f x s i nx s i nx x s i n x x 所以 当x 时 f x s i nx 于是可作出函数 的图象 如答图 所示 答图 第 课时 正弦函数 余弦函数的性质 课前导引 知识点 一个非零常数 每一个 f x f x T 非零常数 一个最小的正数 最小正数 知识点 c o s x c o sx 偶函数 原点 知识点 x k k k k x k k 课堂精讲 变式训练 k k Z A A 课后测评 C A A C B 答案 由T 得 由 知f x c o s x f c o s c o s s i n 且 所以s i n f c o s c o s 且 所以c o s B C 答案 f x s i n x 的对称轴方程为 x k k Z 即x k k Z g x c o s x 的对称轴方程为 x k k Z 即x k k Z 由题意可得 k k k Z 所以 所以f x s i n x 当x 时 x 故f x 的取值范围是 A 答案 因为函数f x 的图象与x轴的相邻两个交点 的距离为 所以f x 的最小正周期T 即 解得 因为f x 在x 处取得最大值 所以A 所以 s i n 即s i n 所以 k k Z 又因为 所以 所以f x 的解析式为f x s i n x 第 课时 正切函数的图象和性质 课前导引 知识点 k k 课堂精讲 变式训练 x k x k k Z t a n t a n x k x k k Z 课后测评 D A C C C D 或 答案 由t a nx 得原函数的定义域为 x k x k k Z 当a 时 y l o ga t a nx 在区间k k k Z 上单调递增 当 a 时 y l o ga t a nx 在区间k k k Z 上单调递减 A 奇函数 答案 y t a nx t a nx x 且x k k Z t a nx x 且x k k Z 故可得y t a nx的图象如答图 所示 答图 答案 f x t a n x t a nx t a nx 因为x 所以t a nx 所以当t a nx 即x 时 f x 有最小 值 当t a nx 即x 时 f x 有最大值 第五节 函数y As i n x 的图象 课前导引 知识点 列表 描点 连线 知识点 左 右 左 右 上 下 上 下 B 左 右 知识点 纵 横 纵 A 纵向伸缩 A A 横 纵 横 纵 横向伸缩 课堂精讲 变式训练 答案 因为y s i n x c o s x c o s x 故y s i n x的图象是将y c o s x 的图 象向右平移 个单位长度而得到 y c o s x 答案 因为A 且函数的最小值为 所以A 又因为图象上相邻的最高点与最低点的横坐标相差 所以 T 所以T 因为T 所 以 因为f c o s 所以c o s 又因 为 所以 即f x c o s x D 答案 因为f x 是R上的偶函数 所以当x 时 f x 取得最值 即 k k Z 又因为 所以 因为f x 的图象关于点M 对称 所以 k k Z 解得 k k Z 又f x 在 上是单调函数 所以T 即 又因为 所以 所以 或 所以 或 课后测评 C C C B A s i n x 答案 函数f x 的定义域为R 由 k x k 解得 k x k 故单调递增区间为 k k k Z 由 k x k 解得 k x k 故单调递减区间为 k k k Z 因为 x 所以 x 所以当 x 时 f x m a x 当 x 或 x 时 f x m i n 所以f x B B B C B A 第六节 三角函数模型的简单应用 课堂精讲 变式训练 答案 观察图象可知 最大用电量为 万度 最小 用电量为 万度 由图可知 时的图象是y As i n x B的半个周期的图象 所以A B 因为 所以 所以y s i n x 将 代入这个解析式 解得 故所求解析式为y s i n x x 答案 因为A A B 所以B 再根据T 得 所以y c o s t 由y 得 c o s t 所以c o s t 所以 k t k k Z 所以 k t k k Z 当k 时 t 满足题目要求 所以有 小时可供冲浪爱好者进行运动 答案 如答图 所示 以O为原点 过点O的圆的切 线为x轴建立直角坐标系 设点A x y 则h y 设 O O A 则c o s y y c o s 又 t 即 t 所以y c o s t 即h f t c o s t t 答图 答案 因为周期T s 所以频率为 次 s s往复运行了 次 课后测评 B C A D k 答案 由图知A t t 因为 T t t 所以 T 由 t 得 t 所以I s i n t 问题等价于T 即 所以 所 以正整数 的最小值为 答案 设f x 的最小正周期为T 得T 又因为T 所以 由 B A B A 解得 A B 令 即 解得 所以f x s i nx 因为函数y f k x s i nk x 的周期为 又k 所以k 令t x 因为x 所以t 若s i nt s在 上 有 两 个 不 同 的 解 则 s 所以方程f k x m在x 时恰好有两个不同 的解时 m 即实数m的取值范围是 A 答案 由图 周期T 所以小球往 复一次所需时间为 s 由图 设该曲线的函数解析式为y As i n x x 从图中可看出A 即 从而y s i n x 将x y 代 入 得 s i n 即 故这条曲线的函数解析式为y s i n x x 当x 时 y s i n 故小 球 在 开 始 振 动 时 离 开 平 衡 位 置 的 位 移 是 c m 答案 在汽车马力恒定的情况下 行驶单位路程内 垂 直上升高度愈大 汽车愈费 力 当 力 所不及时 就 会发生危险 日常经验告诉我们 走 S 形可减少这种 危险 从数学的角度看 如答图 所示 A B表示笔 直向上行走的路线 A B C A 表示它与水平面所 成的夹角 C B表示斜着向上所行走的路线 表示它 与水平面所成的夹角 它们所达到的高度都是B D 答图 现在的问题就是要研究 和 这两个角哪个大 在R t B AD中 s i n B D A B 在R t B C D中 s i n B D C B 比较 与 因为A B C B分别是R t A B C的直角 边和斜边 所以A B C B 所以B D A B B D C B 所以s i n s i n 又因为 都是锐角 所以 因此 汽车沿着C B方向斜着向上时要省力一些 章末总结 振幅变换 周期变换 相位变换 第二章 平面向量 第一节 平面向量的实际背景及基本概念 课前导引 知识点 大小 方向 知识点 方向 起点 方向 长度 有向线段 长度 知识点 个单位 相等 相同 相同或相 反 平行 课堂精讲 变式训练 D C A B D E D C C D E C C E A B B A D E D C C D A B B A A E E A AD D A B D D B B C C B 课后测评 C C B D C B B 矩形 答案 由题意知 六边形E F GHK L是正六边形 GH L B HC 与GH 共线的向量有G B HC E C L E L B 与E A 平 行 的 向 量 有E F F B HA A H KH KB 答案 因为A B D C 所以 A B D C 且A B D C 所以四边形A B C D是平行四边形 所以D A C B 且D A C B 又因为D A 与C B 的方向相同 所以C B D A 同理 由CN MA 可证四边形ANCM是平行四边 形 所以CM NA 因为D A C B NA CM 所以DN MB 又因为DN 与MB 方向相同 所以DN MB D D O C E B D C E B D C O B O C AD B 第二节 平面向量的线性运算 第 课时 平面向量的加 减运算及其几何意义 课前导引 知识点 和 A C 三角形法则 O C 平行四边形法则 知识点 b a a b c 知识点 相等 相反 a 零向量 a b a b 相反向量 B A b a 课堂精讲 变式训练 答案 B C C E E A B E E A B A O E A B E A O E E A A B O A A B O B A B F E D C A B B D D C A B B D D C A B B C A C 答案 如答图 所示 以G B G C为邻边作平行四边 形G B E C 其对角线交于点D 则B D C D G B G C G E G D 又由G为 A B C的重心 知A G D三点共线 且 A G G D 从而G A G D 所以G A G B G C G D G D 答图 答案 A B C D A C B D A B C D A C B D A B B D C D A C AD AD A C B O O A D C D O O B A C B A D C D B B C B C 答案 如答图 所示 设此人在静水中的游泳速度 为O B 水流速度为 O A 则 O C O A O B 为此人的 实际速度 易知四边形O A C B为矩形 其中有O B O A 所以O C C O A 所以 此 人实际以 k m h的速度沿与水流方向成 角的方 向游 答图 课后测评 A C A B D D AD 矩形 答案 因为A B B E A E A C C E A E 所以A B B E A C C E 因为D为A B的中点 所以C D C A C B 同理 A E A B A C B F B A B C 所以E A F B D C A E B F C D A B A C B A B C C A C B A B A C B A B C C A C B A B D C 第 课时 向量数乘运算及其几何意义 课前导引 知识点 向量 向量的数乘 相同 相反 知识点 a a a a b a a b 知识点 b a 知识点 a b 课堂精讲 变式训练 答案 原式 a b a b b a a b a b i j i j i j i j D 答案 由题意 易知B C A D 且BM A B B N B D AD A B AD A B 所以A B BM BN B C BM 因为 所以M N C三点共线 课后测评 B C B C D A a b 答案 连接A G 并延长交B C于点M 因为A B b a A C c a B C c b 所以AM A B B C b a c b c b a 所以A G AM c b a 所以O G O A A G a c b a a b c D A B e e 第三节 平面向量的基本定理及坐标表示 第 课时 平面向量的基本定理及坐标表示 课前导引 知识点 不共线 e e 基底 知识点 非零向量 同向 反向 知识点 互相垂直 x y x y 课堂精讲 变式训练 答案 解法一 设A C B D交于点O 则有A O O C a B O O D b A B A O O B A O B O a b B C B O O C a b 解 法 二 由 向量线性运算的法则知 A C A B B C B D AD A B B C A B 即 a A B B C b B C A B 解该方 程组可得 A B a b B C a b a b c C 答案 因为O A 即点A的坐标为 由正方形的对称性知点B的坐标为 点 C的坐标为 点D的坐标为 所以O B O C O D 课后测评 C D A A A B b a 答案 因为D是B C的中点 所以AD a b A E AD a b A F A C b B E A E A B a b a b a B F A F A B b a b a 所以B E B F 又因为B E B F 有公共点B 所以B E F三点共线 A a b B 第 课时 平面向量的坐标运算 课前导引 知识点 x x y y x x y y x y x x y y 课堂精讲 变式训练 答案 由已知得A B B C A C 所以A B B C A C 答案 设a x y b x y 则 a b x x y y a b x x y y 所以 x x y y x x y y 解得 x y x y 所以a b 答案 解法一 因为A B C三点共线 即A B 与A C 共 线 所以存在实数 使得A B A C 又A B O B O A k A C O C O A k k 所 以 k k k 即 k k k 解得k 或k 解法二 由题意知A B 与A C 共线 因为A B O B O A k A C O C O A k k 所以 k k k 解得k 或 k 课后测评 D C C B B D a e e 答案 因为a b x 所以u a b x x v a b x x u v x x x x 所以 x x 解得x u v x x 解得x 此时 u v 即u v 所以u与v同向 A C 第四节 平面向量的数量积 第 课时 平面向量数量积的概念和几何意义 课前导引 知识点 abc o s 知识点 ac o s bc o s 课堂精讲 变式训练 C 课后测评 D B B B A C B C B 答案 设a与b的夹角为 则ac o s a b bc o s D D B D 第 课时 平面向量数量积的运算律和坐标表示 课堂精讲 变式训练 答案 因为A B B C C D D A 即a b c d 所以a b c d 所以 a b c d 即a a b b c c d d 又因为a b d c 所以a b c d 同理 a d b c 所以a c 且b d 即a c 且b d 所以A B C D 且B C D A 所以四边形A B C D为平行四边形 所以A B C D 即a c 又因为a b b c a b 即a b 所以a b 即A B B C 所以四边形A B C D为矩形 答案 a 答案 b 或b 课后测评 D C A D D A 答案 当 A 时 k 当 B 时 k 当 C 时 k 答案 因为a c 所以a c 又c m a n b 所以c c m a n b c 即c m a c n b c 所以c n b c 因为c b c 所以 n 所以n 从而c m a b 因为b c b cc o s 所以 b 所以b 由c m a b得a c m a a b 所以 m a b 即a b m 由c m a b得b c m a b b 所以m a b 即m a b 联立 得 m 即m n D A 答案 因为a b 所 以x t t y k t k t 因为x y 所以 t k t t k t 化简后可得 k t t 因为k t 所以 k t t t t 所以 k 且当t 时 k取得最大值 假如x y 则 t k t t k t 化简得t k k t 因为k t 所以 t k k t 所以不存在k t使得x y 答案 因为a b 所以a b 又由已知 a t b k a t b 所以 k a t t b 因为a b 所以 k t t 所以k t t t t 故当t 时 k取得最小值 且最小值为 B D 第 课时 平面向量数量积的简单运用 课堂精讲 变式训练 答案 在平面内以点O为坐标原点建立直角坐标系 则O A B P 设点N的坐标为 x y 则NA x y NB x y 所以NA NB x x y y x y x y 因为点N为直线O P上的一个动点 所以N O P三点共线 所以x y 所以NA NB y 所以当y 时 NA N B 取得最小值 此时x 所以ON 由 知NA NB 所以NA NB NA NB 所 以c o s ANB NA NB NA NB 答案 因为a c o s s i n b c o s s i n 所以a b 因为k a b a k b 所以k a b a k b 即k a k a b b a k a b k b 化简整理后得 k a b k a k b k 所以a b k k k 因为a b k k k k k k 所以当k 时 a b取得最小值 此时 c o s a b ab 故 B 课后测评 C C B A C D A 答案 因为a b与 a b垂直 所以 a b a b 即 a a b b 又a b与 a b垂直 所以 a b a b 即 a a b b 由 可解得a b 于是 可化简为 a b a 设a与b的夹角为 则有 a bc o s a 解得c o s 所以 答案 由向量的数量积的定义 得 a b c o s 因为a b a b a a b b 所以a b 因为m a b a b a b 所以m 因为n a b a b a b 所以n 又m n a a b b 设m与n的夹角为 则c o s m n mn 即向量m与n的夹角的余弦值为 A 答案 因为a b a与b的夹角为 所以a b a bc o s 因为向量 a b与a b的夹角为锐角 所以 a b a b 且 a b与a b不共线 即 a b k a b 解得 或 且 C B D 第五节 平面向量应用举例 课前导引 知识点 存在唯一实数 使b a a x y x y a b x x y y a b a b x x y y x y x y 知识点 矢量 课堂精讲 变式训练 答案 以点C为坐标原点建立如答图 所示的直角 坐标系 则A m B n 答图 因为点D为斜边A B的中点 所以D n m 所 以 C D m n 又 A B m n 所以 C D A B 因为E为C D的中点 所以E n m 设F x 则A E n m A F x m 因为A E F三 点共线 所 以 设A F A E 即 x m n m 所以 x n m m 所以F n A F n m 所以 A F n m 即A F n m 答案 因为D G B E A E B E 所以 D G A E 设O A O D 则A E D G 同理 A F DH 于是F E A E A F D G DH HG 所以HG F E 即 HG E F 答案 水流速度为 k m h 船的实际速度为 k m h B 课后测评 A D B B B N 答案 如答图 所示 以A为原点 A B AD所在直 线为x轴 y轴建立直角坐标系 设AD 则A B C D 所以B C A C 所以A C B C 即A C B C 答图 C 答案 因为B P A P A B C Q A Q A C A P A C 所以B P C Q A P A B A P A C A P A P A C A B A P A B A C r A B A C A P A C A B A B A C r A P B C 因为A B A C r 为定值 A P B C A P B C r a 所以B P C Q m a x A B A C r r a 当且仅当 A P 与B C 共线且反向时 取等号 即当P Q B C 且A P 与B C 反向时 B P C Q 有最 大值A B A C r r a 答案 如答图 所示 作直径B D 连接D A D C 有 O B O D 且 D A A B D C B C AH B C CH A B 故CH D A AH D C 即四边形AHC D是平行四边形 从而AH D C 又D C O C O D O C O B 所以OH O A AH O A D C 即OH O A O B O C 答图 D 第三章 三角恒等变换 第一节 两角和与差的正弦 余弦和正 切公式 第 课时 两角差的余弦公式 课前导引 知识点 c o s c o s s i n s i n 知识点 向量 知识点 c o s 课堂精讲 变式训练 答案 原式 c o s c o s s i n s i n c o s c o s c o s 原式 c o s c o s s i n s i n c o s c o s 原式 c o s s i n s i n c o s c o s c o s s i n s i n s i n s i n c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s c o s s i n s i n 答案 因为 s i n 所以c o s 所以 c o s c o s c o s s i n s i n c o s s i n 答案 已知 所以 因为c o s s i n 所以s i n c o s 所以c o s c o s c o s c o s s i n s i n 答案 设s i nx s i ny t 两边平方得s i n x s i n y s i nxs i ny t 由c o sx c o sy 两边平方得c o s x c o s y c o sx c o sy 得 c o s x y t 所以c o s x y t 因为c o s x y 所以 t 所以 t 故c o sx c o sy的取值范围是 答案 由已知 c o s c o s s i n s i n 即 c o s c o s s i n s i n 所以 c o s 所以c o s 答案 因为 均为锐角 且c o s 所以s i n 又s i n 且s i n s i n 所以 必为钝角 所以c o s 所以c o s c o s c o s c o s s i n s i n 所以 课后测评 D B B B B C c o s x x k 或x k k Z 答案 令c o s c o s t 则 s i n s i n c o s c o s t 化简得 c o s t 所以 c o s t 所以 t 即 t 所以 t 所以c o s c o s 的取值范围为 答案 由条件知s i n s i n s i n c o s c o s c o s 所以 s i n s i n c o s c o s 即 c o s 所以c o s 答案 因为c o s s i n 且 所以 所以s i n c o s 所以c o s c o s c o s c o s c o s s i n s i n C 第 课时 两角和与差的正弦 余弦 正切公式 课前导引 知识点 c o s c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n 正余 余正 符号同 余余 正正 符号异 知识点 使公式两边都有意义 知识点 t a n t a n t a n t a n t a n t a n a b s i n x a b c o s x 课堂精讲 变式训练 答案 t a n t a n t a n t a n t a n t a n 答案 因为s i n 所以c o s s i n 所以t a n 因为c o s 所以s i n c o s 所以t a n 所以s i n s i n c o s c o s s i n c o s c o s c o s s i n s i n t a n t a n t a n t a n t a n B 答案 原式 s i n c o s c o s c o s c o s s i n s i n c o s s i n s i n c o s c o s s i n s i n s i n s i n s i n s i n 答案 因为t a nA t a n B C t a n B C t a nB t a nC t a nBt a nC 所以t a nA t a nBt a nC t a nB t a nC 所以t a nA t a nB t a nC t a nAt a nBt a nC 课后测评 A C B C C 答案 t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n 因为t a n 所以 因为t a n 所以 所以 而t a n 所以 所以 所以 A 第 课时 二倍角的正弦 余弦 正切公式 课前导引 知识点 s i n c o s t a n t a n c o s s i n c o s s i n t a n t a n t a n t a n 知识点 s i n c o s c o s c o s s i n c o s s i n c o s 课堂精讲 变式训练 C c o s 答案 因为在 A B C中 c o sA t a nB 知A B 均为锐角 所以s i nA s i nB c o sB 所以s i n A B s i nAc o sB c o sAs i nB c o s A B c o sAc o sB s i nAs i nB 所以s i n A B s i n A B c o s A B s i n 答案 因为 c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n s i n c o s c o s c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n 所以原式 c o s s i n s i n c o s s i n c o s s i n A 答案 c o s x s i nx s i nx c o sx c o sx s i nx s i nx c o sx t a nx t a nx 答案 c o s t a n s i n c o s s i n c o s s i n c o s c o s s i n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n t a n 课后测评 D C D A A k k k Z 答案 因为t a n t a n t a n t a n t a n t a n 所以t a n t a n t a n B C 答案 f x c o s x s i n x s i n x c o s x c o s x s i n x c o s x s i n x 因为f x 的最小正周期为 且 所以 故 由 知f x s i n x 若 x 则 x 当 x 即 x 时 f x 单 调 递增 当 x 即 x 时 f x 单 调递减 综上可知 f x 在区间 上单调递增 在区间 上单调递减 第二节 简单的三角恒等变换 课前导引 知识点 c o s c o s c o s c o s s i n c o s c o s s i n 知识点 s i n c o s c o s s i n c o s c o s s i n s i n s i n s i n s i n s i n c o s c o s c o s c o s 知识点 式子所包含的各个角 课堂精讲 变式训练 答案 解法一 原式 c o s s i n s i n c o s s i n c o s s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s c o s s i n s i n c o s c o s c o s s i n c o s c o s c o s c o s s i n c o s c o s c o s s i n 解法二 原式 t a n t a n s i n s i n c o s c o s t a n c o s c o s s i n s i n c o s c o s c o s s i n c o s c o s c o s s i n 答案 原式 c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n s i n s i n s i n A 答案 f x s i n x s i nxc o sx s i n x c o sx c o s x s i n x s i n x s i n x c o s x c o s x s i n x c o s x 由t a n 得s i n t a n t a n c o s t a n t a n 所以f s i n c o s 由 得f x s i n x c o s x s i n x 由x 得 x 故 s i n x 所以 f x 所以f x 的取值范围是 答案 因为f x O P O Q c o s x c o sx c o s x s i nx s i nx c o sx s i nx 所以函数f x s i nx 的最小正周期为 当x k 即x k k Z时 f x m a x 当x k 即x k k Z时 f x m i n 答案 f x s i nx b 由 k x k 解得f x 的单调递增区间为 k k k Z f x as i nx a b x 所以 x 所以 s i nx 当a 时 b f x a b 所以 b a b a b 当a 时 a b f x b 所以 b a b a b 故a b 或a b 答案 建立如答图 所示的坐标系 则A B c o s s i n 即B 设 A O C 则O C c o s s i n 因为O C xO A yO B x y y x y y c o s s i n 所以 x y c o s y s i n 所以 x s i n c o s y s i n 所以x y s i n c o s s i n 因为 所以 所以x y有最大值 且当 时取得最大值 答图 课后测评 D C B C C C A D 答案 t a n c o t t a n c o t t a n t a n c o t c o t s i n c o s c o s s i n s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n c o s s i n s i n s i n s i n s i n c o s 答案 因为s i n s i n c o s c o s 由和差化积公式得 s i n c o s c o s c o s 所以t a n 从而t a n t a n t a n 答案 因为s i n c o s 所以f s i n s i n c o s 因为f x c o s x s i n x 所以f c o s s i n 所以 s i n s i n 解得s i n 因为 所以s i n 故s i n 答案 因为f x s i nx s i nx c o s x s i nx c o s x s i n x 所以当x k 即x k k Z 时 f x 取得最小值 此时x的取值集合为 x x k k Z 先将y s i nx图象上所有点的纵坐标伸长到原 来的 倍 横坐标不变 得y s i nx的图象 再将y s i nx的图象上所有的点向左平移 个单 位长度 即得y f x 的图象 第一章 三角函数 阶段测评卷 A B B A D B D B A C C D k 答案 因为s i nx c o sx 所以 s i nx c o sx 解得s i nxc o sx 因为 x 且s i nxc o sx 所以s i nx c o sx 又因为 s i nx c o sx s i nx c o sx 所以s i nx c o sx s i n x c o s x s i nx c o sx s i n x c o s x s i nxc o sx s i nx c o sx s i nxc o sx 答案 由条件知c o sx s i n x c o s x s i n x c o s x s i n x c o s x t a n x t a n x s i n x s i nxc o sx c o s x s i n x s i nxc o sx c o s x s i n x c o s x t a n x t a nx t a n x 答案 因为t a n y x s i n c o s 所 以 f c o s s i n c o s s i n s i n s i n s i n c o s t a n 因为c o s s i n 且 为第三象限 角 所以t a n 即f 答案 由题可知T 解得 设曲线与x轴交点中离原点较近的一个点的横坐标 是x 则 x 即x 所以 x 所以f x s i n x 当 x k 即x k k Z 时 f x m i n 由 k x k k Z 得 k x k k Z 由 k x k k Z 得 k x k k Z 即函数的单调递增区间为 k k k Z 单调递减区间为 k k k Z 答案 由f x c o sx a a a 及c o sx 得f a a a a a a a 因为f a 若 a 则a 若 a a 解得a 或a 所以a 此时f x c o sx 当c o sx 即x k k Z 时 f x m a x 答案 由图知T 所以 T 所以f x As i n x 由 得 所以f x As i n x 将 代入f x 的 解析式 得 As i n 解得A 故f x s i n x 依 题 意 f x s i n x c o s x 所 以 y s i n x c o s x s i n x 当 x k 即x k k Z时 ym a x 此时 x的取值集合为x x k k Z 第二章 平面向量 阶段测评卷 C B A D A C B B A D D C 答案 由题意得a b 因为 a b a b a b 所以a b与a b互相垂直 由题意得 k a b k a b 所以 k a b 因为k 所以a b c o s c o s s i n s i n c o s 又因为 所以 答案 k a b k k k a b 因为 k a b a b 所以 k a b a b k k 解得k 因为 k a b a b 所以 k k 解得k 此时 k a b a b 所以它们的方向相反 答案 因为a b 所以 a b 假设存在非零实数k t使x y 则 a t b k a t b 整理得 k a t k t a b t t b 又a b a b 所以 k t t 解得k t t 故存在非零实数k t 使x y成立 其关系式为k t t 答案 设a与b的夹角为 则a t b a t b t a b a t b t abc o s b t a b c o s a c o s 所 以 当t a b c o s 时 a t b取 最 小 值 as i n 因为a与b的夹角为 所以c o s 从而 t a b 所以b a t b a b t b ab a b b 所以b与a t b t R 垂直 答案 由已知A B B C 所以 A B B C 因为 A B B C s t s t 所以A B B C s t 即s t 又A B B C 所以 s t 即 s t s t 将 代入 消去s得t t 解得t 或t 相应地 s 或s 所以点C的坐标为C 或C 由题意取C 所以A P x y A C A B mA C m m m 因为A P A B m A C 所 以 x m y m 所 以 x m y m 若点P在第二象限 则 m m 解 得 m 所 以 当 m 时 点P在 第 二 象限 答案 因为A B a A C b B D B C A C A B b a 所以AD A B B D a b a a b A F mAD m a b A G tA C t b A E a 又因为E F G三点共线 所以A F A E A G a t b 所以 m a m b a t b 所以 m m t 由 知 m 代 入 知t m m m t t 因为 m 所以 t t 解得 t 第三章 三角恒等变换 阶段测评卷 A B D A A A A C D B A C 答案 因为 所以 又因为c o s 所以s i n 因为 所以 又因为s i n 所以c o s 所以s i n s i n s i n s i n c o s c o s s i n 答案 因为 为第二象限角 且s i n 所以 c o s 又因为原式 s i n c o s s i n c o s c o s c o s 所以所求式子的值为