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精品文档奇妙的图形密铺仅供参阅，不得转载。【摘要】一次偶然的机会我了解了图形密铺并对之发生了兴趣，这篇论文里我思考了什么样的正多边形能密铺，并进一步去探究多种正多边形组合的密铺问题。【关键词】正多边形、组合、密铺【研究方法】查询法、画图法，测量法、列表归纳法、实验法、计算法。 一、问题提出最近同学们间流行养乌龟，我也买了几只在家养着。有一天我和妹妹在观察完乌龟以后，爸爸问妹妹，小涡你知道乌龟背上是什么图案吗？妹妹说是很多五边形。爸爸又问我，我说是六边形。爸爸说我说得对。爸爸还说，乌龟背上的图案是许多个正六边形，还有像蜂巢也是正六边形组成的，正六边形可以密铺一个平面，而如果是正五边形就不能了，会有空隙。爸爸又叫我去想想，哪些正多边形能单独密铺一个平面。于是我就带着这个问题去研究了。二、初步研究研究4个正多边形的密铺问题我先上网用百度搜索了“密铺”是什么意思，在百度百科里我看到了“密铺”的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌。我想从最简单的正多边形开始，于是在爸爸的指导下，用直尺和圆规画了下面这些图：图1 图2 图3 图4 图5 通过画画，我发现6个正三边形拼在一起，中间没有空隙也不重叠，刚好可以铺满一个平面，4个正四边形和3个正六边形也一样（见图1、图2、图3），但是正五边形却不能够。如果画上三个正五边形，中间会留下空隙，而如果画上四个正五边形，就会有两个正五边形重叠起来。这是怎么回事呢？爸爸叫我分别去量一下正三边形、正四边形、正五边形、正六边形的内角，想想有什么规律。正三角形我是学过的，我知道它的每个内角是60，正四边形也是一目了然，每个内角是直角90。我用量角器去量了一下正六边形的内角，等于120，而正五边形内角的度数是108。爸爸说，从他们内角的度数，你能发现什么规律吗？我认真想了一下，6个正三边形可以密铺，而6个60刚好是360，4个正四边形可以密铺，而4个90刚好是360，三个正六边形可以密铺，是因为三个120也刚好是360。也就是说，拼接处只有360才可以密铺，而360除以60、90、120刚好可以整除。而五边形的内角度数是108，360除以108则等于3余36。所以三个正五边形拼起来就有了一个36的空隙。而4个108则等于1084432，所以会有重叠。结论1：正多边形能不能密铺，是看它的内角度数能不能整除360。我恍然大悟，感觉心里充满获取知识的乐趣。爸爸又问我，那么如果正七边形、正八边形乃至边更多的正多边形呢？他们能不能密铺？我说这怎么能计算，难道一个一个去画，一个一个去测？爸爸说，仔细想想，还是有方法的。于是我开始了进一步的研究。三、进一步研究研究更多正多边形的密铺问题爸爸给了我一个提示，说刚才正五边形和正六边形的内角，我都是用量角器量出来的，那么有没有办法不用量角器就得知正多边形的内角，然后通过内角的规律去求证边长大于六的正多边形能不能密铺。我用已经研究过的4种正多边形的度数去寻找规律，可是愣没发现。于是我去问数学老师，数学老师告诉了我一个公式，正N边形内角的度数(N-2) 180N，譬如正三边形的内角度数是（32）180360，正四边形的内角度数是（42）180490。爸爸叫我列个表格找下规律。于是我列了下面这个表格（表格1）。正多边形名称内角度数能否整除360能否单独密铺正三边形（32）180360360606正四边形（42）180490360906正五边形（52）1805108360108336正六边形（62）18061203601203正七边形（72）1807128.5360128.52103正八边形（82）1808135360135290正九边形（92）1809140360140280正十边形（102）18010144360144272正十一边形（112）18011147360147266正十二边形（122）18012150360150260正N边形(N2)(N-2) 180N360(N-2)180N2N/N-22N/N-2是整数时能；否则不能。我认真地在这个表格里找起规律来。我发现正多边形边越多，每个内角就越大，从正七边形开始，每个正多边形的内角都大于120，而前面我已经知道了一个正多边形如果要密铺，它的内角度数应该可以整除360。那么，还有哪个数字大于120，而且360可以被它整除？360除以3是120，除以2就是180，除以1就是它自身，所以大于120，而且360可以被它整除的数除了360就只有一个180了。那么有没有正多边形的内角是180呢？显然这是不可能的，因为内角如果是180，相邻的两条边就组成一条直线了，那么就不可能组成一个正多边形了。我把我的想法告诉爸爸，爸爸夸我想得很有道理。爸爸说也可以从另一方面去考虑这个问题。爸爸说，正多边形的内角肯定小于180，所以不管这个正多边形是几条边的，两个正多边形肯定不能密铺，因为两个小于180的内角相加不可能等于360，所以，不管是什么正多边形，肯定得3个或3个以上才能密铺。而正六边形的内角已经等于120，从正七边形开始，内角都大于120，那么3个大于120的内角相加就已经大于360，说明边长多于正六边形的正多边形，三个摆在一起，就必然会有重叠。结论2：能够进行单独密铺的正多边形只有三种：(1)正三边形；(2)正四边形；图6(3)正六边形。到些为止，对密铺问题的研究就暂时告了一段落。直到有一天，我在一个地方看到下面这幅图6的图案。我突然发现，这幅图也是密铺的图，但是这幅图里却出现了正八边形，我想，正八边形不是不能密辅吗？我再仔细看了一下，这幅图里不单单是一种正八边形，还有一种是正四边形。原来，正多边形还可以通过这种组合方式进行密辅。我马上又去问爸爸，我说是不是所有正多边形组合在一起都可以密铺呢？爸爸说，那你再去研究研究吧。图7四、更深入的研究研究多种正多边形组合的密铺问题1、两种正多边形组合的密铺问题我去仔细看了看图6不同正多边形的接合处，发现接合处是两个正八边形加一个正四边形。我又对照了表格1的内角度数。我发现正八边形的内角度数是135，两个135是270，再加上一个正四边形内角是90，270+90360。原来，不同的正多边形的组合要能够密铺，它们的内角之和也要能刚好达到360。我就做了一个试验来验证一下。我想，如果密铺图案要用到正三边形和正四边形，两个正四边形内角的度数之和是90+90180，三个正三边形的内角度数之和是603180，180+180360，所以三个正三边形和两个正四边形就能密铺了。我试了画了一下。果然可以（如图7）。那是不是任意两种正多边形的组合都能密铺呢？我又用正四边形和正五边形来试了一下：90+90+108+108=396，所以这两者一起不能密铺。我把这个结果告诉爸爸，爸爸夸奖了我，爸爸叫我再去看看表格1。对照之前的结论2，问我能不能再归纳出什么规律来。我回忆了结论2的得出过程：想到边长多于6的正多边形，它的内角的度数是大于120小于180，它们不能进行单独密铺，同样的道理，它们的组合肯定也不能密铺。因为任意两个这样的度数之和会小于360，任意三个这样的度数之和会大于360。于是我得出了结论3。结论3：两种正多边形组合如果能密铺，里面肯定有一个是正三边形、正四边形、正五边形中的一个。那么，三种及三种以上正多边形的组合又能不能密铺呢？2、三种及三种以上正多边形组合的密铺问题同样道理，只要三种正多边形内角之和能刚好达到360，它们的组合就能密铺。我尝试着用正三边形、正四边形和正六边形也作了一个图（图8）。如图所示一个正三边形加两个正四边形加一个正六边形为60+90+90+120360，所以可以密铺。图8那么，三种以上的正多边形能否进行密铺呢？经过这段时间的探索我对正多边形的内角度数已经非常清楚，所以我很快得出了结论：不能。因为拿内角度数最小的正三边形、正四边形、正五边形、正六边形的四个内角度数来算，它们的内角之和为：60+90+108+120=378，大于密铺图形的内角度数要求之和360，因此不能密铺。结论4：四种或四种以上的正多边形不能进行密铺。研究到这里，我问爸爸，既然密铺有这么多的办法，为什么家家户户的地板瓷砖基本上都是边长为1米或0.8米的正四边形？爸爸说，这个要考虑到成本问题。因为房屋的地面基本上都是正方形或长方形，用正四边形的瓷砖去铺设，浪费较少。如果用其他的正多边形瓷砖去铺的话，在边缘处浪费会很多。我把餐厅的饭桌当作地板，用自己剪好的各种正多边形试着去铺，果然，在边缘处会有很多突出需要裁剪掉，造成了材料浪费。那么几种正多边形的组合密铺在生活中又有什么用处呢？爸爸说，在一起特别追求艺术美感而不大考虑成本的地