小麦成熟后期茎秆抗倒伏性状研究(完).docx

第一章 问题概述1.1本题目来源于2011年研究生数学建模竞赛，以下是问题重述。小麦高产、超高产的研究始终是小麦育种家关注的热点问题。随着产量的增加，小麦的单茎穗重不断增加。但穗重的增加同时使茎秆的负荷增大，导致容易倒伏。倒伏不但造成小麦减产，而且影响小麦的籽粒品质。因此要实现小麦高产优质的跨越，就必须解决或尽量减少小麦的倒伏问题。解决倒伏问题的方法之一就是针对不同的产量，寻找小麦抗倒伏能力最佳的茎秆性状（包括株高、茎长、各节间长、各节茎外径、壁厚、茎秆自重、穗长、穗重等）。目前已经得到了一些结果，但是对抗倒伏能力最佳的茎秆性状还没有定论。小麦倒伏从形式上可分为“根倒”和“茎倒”，一般都发生在小麦发育后期。“根倒”主要与小麦种植区域的土壤品种与结构特性有关，本题不做讨论。“茎倒”是高产小麦倒伏的主要形式，尤其是发生时间较早的“茎倒”，往往造成大幅度的减产。“茎倒”的原因是茎秆与穗的自重和风载作用的迭加超过了小麦茎秆的承受能力。解决倒伏问题的方法之一就是针对不同的产量，寻找小麦抗倒伏能力最佳的茎秆性状（包括株高、茎长、各节间长、各节茎外径、壁厚、茎秆自重、穗长、穗重等）。各方面的专家通过分析影响小麦倒伏的各种因素，目前已经得到了一些结果，但是对抗倒伏能力最佳的茎秆性状还没有定论。通过物理力学类比研究小麦抗倒伏性是一个新方向，已有一些工作。值得我们进行探讨。困难在于缺乏相关试验参考数据，我们只能在作较多假设下先进行粗略研究，为进一步试验提供根据。题目的附件中收集了一批各个品种小麦的茎秆性状、产量、倒伏情况的数据。显然还不够完整，各年参数选取不一致，也有数据缺漏。但农业数据一年只有一次，短期内无法做到完整、全面、详尽，期望以后能逐渐完善。通过处理给定数据解决以下问题：(1) 判断茎秆抗倒性的倒伏指数公式：茎秆倒伏指数=茎秆鲜重茎秆重心高度/茎秆机械强度,并建立茎秆机械强度与茎秆粗厚的关系模型。(2)研究倒伏指数与茎秆外部形态特征之间的关系。即给出倒伏指数与株高、穗长、各节间长、节间长度比、各节壁厚、穗重、鲜重等茎秆性状在最易引起倒伏期的相关性指标。(3)探讨单穗重分别是1.19g，2.06g，2.46g，2.56g，2.75g，2.92g时小麦的理想株型结构。1.2秆机械强度与茎秆粗厚的关系模型。名词解释：机械强度、茎秆粗厚、茎秆倒伏指数。机械强度：指抗压强度、抗折强度、抗拉强度。 抗压强度：指外力是压力时的受正压力时的极限折断应力。 抗折强度：指材料单位面积承受弯矩时的极限折断应力。 抗拉强度：指试样在拉伸过程中，在拉断时所承受的最大力,它表示金属材料在拉力作用下抵抗破坏的最大能力。茎秆粗厚：可以理解为茎秆的粗和茎秆的壁厚，即茎秆的外径大小和茎秆的外径与内径的差的大小。茎秆倒伏指数:指数（index），广义地讲，任何两个数值对比形成的相对数都可以称为指数；狭义地讲，指数是用于测定多个项目在不同情景或条件下综合变动的一种特殊相对数。所以茎秆倒伏性指数（Lodging index of wheat）是指在主客观因素的影响下固定试验田的倒伏小麦数量与整块麦田小麦数量比的相对数。记作LIOW。建立小麦茎秆机械强度与茎秆粗厚的关系模型。由于数据有缺失，所以首先对数据进行合理的处理，缺失数据情况如下：小麦植株 性状年份茎秆鲜重茎秆重心（含穗）茎秆重心（去穗）茎秆机械强度株高茎秆单节粗茎秆单节壁厚茎秆单节长单穗鲜重单穗籽粒重穗长是否有性状数据完全缺失备注2007年有有无有*有有有有无无有*表示可以直接计算得到。#表示可以通过建立的模型计算得到。2008年无无无#*有有有无有有有2011年有有有有*有有有有无有有表1.1 通过上表可以清楚的看出题目所给数据的情况，然而该表只反映了是否有性状数据完全缺失，所谓性状数据完全缺失是指性状列是否存在。通过查看数据表我们发现即使性状列存在，该列的数据仍然有缺失。下面就来处理该部分数据缺失。对2007年“矮抗58”测量数据excel处理，第二节不同生长期茎秆粗的量变趋势见下图。图1.1图1.2图1.3图1.4由以上图形分析可得，茎秆同一节间不同生长期茎秆粗皆集中在一个相对固定的范围内，即数据绝大部分在0.2mm-0.4mm这个范围内。同时我们发现在这24组数据在途中反映的数据变化存在固定走势，数据变化呈倒“S”字型走势。所以我们运用缺失数据一半径（=3）的去心领域内数据的平均值来填补缺失数据。以后的缺失数据全部运用这种方法来填充。由于数据缺失量相对已给数据来说非常小，所以这样来填补数据造成的误差很小。但是我们常识认为小麦茎秆的粗细变化是渐变的，然而给定数据的渐变不明显。出现这样的误差也许是由于仪器或是人为失误造成。对于存在性状列完全缺失的数据中的部分可以通过建立数学模型然后利用已有数据来求解。比如我们可以运用2007年的数据建立茎秆机械强度与茎秆粗厚的数学模型，并利用该模型和2011年给定的茎秆粗厚数据来求得2011年给定数据中的茎秆机械强度。下面介绍回归分析有关知识回归分析是指分析若干个预测变项和一个效标变项间的关系 。 回归分析的基本思想是: 虽然自变量和因变量之间没有严格的、确定性的函数关系, 但可以设法找出最能代表它们之间关系的数学表达形式。 回归分析主要解决以下几个方面的问题，(1) 确定几个特定的变量之间是否存在相关关系, 如果存在的话, 找出它们之间合适的数学表达式； (2) 根据一个或几个变量的值, 预测或控制另一个变量的取值, 并且可以知道这种预测或控制能达到什么样的精确度； (3) 进行因素分析。例如在对于共同影响一个变量的许多变量(因素)之间, 找出哪些是重要因素, 哪些是次要因素, 这些因素之间又有什么关系等等。 多元回归分析是研究多个变量之间关系的回归分析方法, 按因变量和自变量的数量对应关系可划分为一个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“一对多”回归分析)及多个因变量对多个自变量的回归分析(简称为“多对多”回归分析), 按回归模型类型可划分为线性回归分析和非线性回归分析。 一元线性回归分析的数学模型设于之间有线性关系其中，表示自变量和应变量的一组观测值；为回归参数，也就是回归分析要求解的未知数；称为残差，通常假定.所以一元线性回归模型也可以这样表示，其中回归参数的求解求未知参数的估计值，就是求解最小二乘方程使得成立。经计算可得其中回归方程的显著性检验这里只简单介绍检验法和相关系数检验法，假设检验方法。当成立时，统计量其中.对于给定的显著性水平，检验的拒绝域为相关系数检验方法。记称为样本相关系数，对于给定的显著性水平，检验的拒绝域为其中可以查相关系数临界值表。当拒绝时，认为线性回归方程是显著的。多元线性回归的数学模型设变量与变量间有线性关系，其中和为未知的参数， ，称以上模型为多元线性回归模型。设是的次独立观测值，则多元回归线性模型可以表示为，其中，且独立同分布。即， ，.则多元线性回归模型亦可表示为.回归系数的估计求解参数的估计值，就是求最小二乘函数使得达到最小的值，.回归方程的显著性检验，当成立时，统计量其中，.通常称为回归平方和，称为残差平方和。对于给定的显著水平，检验的拒绝域为.相关系数的平方定义为，用它来衡量与之间相关的密切程度，其中为总体离差平方和，即并且满足下面运用回归分析来建立、验证模型。1.3茎秆机械强度与茎秆重心高度模型运用excel分析茎秆的机械强度与茎秆的重心高度的关系，首先观察茎秆机械强度与茎秆重心高度的散点图，以2007年测量数据中“新麦208数据”作为研究数据。由于探讨茎秆机械强度时不考虑茎秆的质地对其得影响，所以只去该数据组中的“乳熟期”，“腊熟期”数据来研究。假设在相同的茎秆壁厚情况下，茎秆外径的大小的差异很小，所以茎秆的机械强度主要受茎秆重心的高度的影响。Excel线性回归分析“腊熟期”茎秆机械强度与茎秆重心高度的结果，回归统计Multiple R0.491431R Square0.241505Adjusted R Square0.115089标准误差0.092135观测值8方差分析dfSSMSFSignificance F回归分析10.0162170.0162171.9103990.216172残差60.0509330.008489总计70.06715Coefficients标准误差t StatP-valueIntercept-0.482260.590377-0.816870.445219X Variable 10.0156310.0113091.3821720.216172t1,有一定的影响RESIDUAL OUTPUT观测值预测 Y残差10.283653-0.0736520.39307-0.1430730.346177-0.0461840.3305460.06945450.30710.042960.4087010.09129970.275838-0.0258480.3149150.085085图1.6图1.7通过该回归可以得到，P-value 0.05,说明机械强度与茎秆的重心高度的一次项弱相关。下面我们运用R软件来讨论机械强度是否与茎秆重心高度二次相关。结果如下，由该图可以得到机械强度与茎秆重心高度的二次项也弱相关，所以这里就不在讨论机械强度与茎秆重心高度关系，下面主要解决机械强度与茎秆粗、厚的关系并建立合理模型，以及通过机械强度来讨论倒伏指数。1.3茎秆重心高度（）模型如果小麦茎秆（含穗）的质量（）分布均匀且茎秆的长度（）已知，那么茎秆的重心就是该茎秆的几何中心。即然而，现实中小麦茎秆不可能是质量分布均匀的，显然以上的理想假设难以满足。因此我们放宽假设条件，假设小麦的每一节茎秆的内部是粗细一致，且质量分布均匀，而每节之间不同。在此假设下得到：假设小麦有节茎秆，总重（含穗），第节的重心高度为，第节茎秆的重量，为麦穗的重心高度，为麦穗重，则即又其中表示第节长，从而有因此 （.）由公式（.）可以利用给定茎秆每节长度（）、重量（）、穗长（）、穗重（）来求解茎秆的含穗重心高度。那么在没有给定麦穗的数据情况下，求茎秆的重心高度，即去穗的茎秆重心高度为，（1.2）该模型的验证如下图，2011年测量数据实验结果如下图图1.8由上图可以看出茎秆重心高度的预测值要略大于测量值，这样的情况可能是由于没有考虑茎秆的第五节，只计算穗下四节的数据，所以预测重心高度会偏低。下面考虑第五节时茎秆重心高度模型的合理性，以2011年测量数据“矮58 ”数据来做实验，该组数据包含了茎秆的全部五节的完整数据。实验结果如下图，图1.9 由上图可以发现，这两组实验，一组比较计算所得的茎秆重心高度（含穗）的预测值与实际茎秆重心高度（含穗），另外一组比较计算去穗茎秆的预测值与实际的测量值。通过图形可以清楚地发现，两组曲线的变化趋势基本一致，且预测值都小于实际测量值。造成实验结果较小的原因是茎秆的粗（外径）是渐变的，而在计算茎秆重心高度的时候假设茎秆单节是粗细均匀的。由于实际茎秆是基部粗壮，所以实际测量值会大于预测值。从该图还可以得到这样的结论，测量值和预测值的走势一致纵向可以抵消，所以该模型只能用于定性分析，而不适合定量求解。茎秆机械强度与茎秆粗厚模型。茎秆机械强度与茎秆的粗（外径）大小及茎秆粗厚（壁厚）大小的关系可以见下表：壁厚机械强度外径厚壁薄壁备注粗外径机械强度大不确定该讨论都是在相同的株高及相同的茎秆的质地的假设下进行讨论。细外径不确定机械强度小表1.3由机械强度的定义可知，在该处茎秆的机械强度是指茎秆的抗折强度（抗弯强度），即茎秆在受到风、雨、自身的重力等外力的作用而使得茎秆弯曲甚至折断时所能承受的最大正应力（）。在这里可以假设茎秆受到正应力主要是受到的风力。那么茎秆的机械强度可以认为是小麦茎秆受到的临界力。通过附件三“有关力学的资料”可得其中， 最大弯矩（Nmm）；试样弯曲截面积系数（）；载荷(N)；跨度(mm)； 茎秆外径（cm）； 茎秆壁厚(mm)。茎秆的横截面如下图，图1.8所以茎秆的机械强度与精干的粗厚的模型为 又茎秆的截面面积为 由以上公式可以得到茎秆机械强度与茎秆截面面积正相关。1.4模型验证下面就利用题目给定的数据，即向量来求向量。并且分析模型的精确度及模型的修改。就以2007年测量数据中“矮抗58数据”做实验。由茎秆的机械强度与茎秆粗厚的模型知，茎秆的机械强度与茎秆的粗的二次项相关。所以我们设，“矮抗58数据”基部第五节粗（cm）“矮抗58数据”基部第四节粗（cm）“矮抗58数据”基部第三节粗（cm）“矮抗58数据”基部第二节粗（cm）“矮抗58数据”茎秆壁厚 （cm）“矮抗58数据”茎秆机械强度（kg）下面运用R统计软件进行拟合方程如下：Call:lm(formula = y x1 + x2 + x3 + x4 + x5, data = blood)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.49682 -0.11079 -0.01056 0.08222 0.54442 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) -0.8699 0.1686 -5.160 2.05e-06 *x1 -0.2388 0.7451 -0.320 0.749535 x2 2.5596 0.7186 3.562 0.000653 *x3 1.3776 0.8824 1.561 0.122777 x4 -0.2405 0.6448 -0.373 0.710208 x5 7.7039 1.4194 5.427 7.12e-07 *-Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 Residual standard error: 0.1861 on 73 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.5886, Adjusted R-squared: 0.5604 F-statistic: 20.89 on 5 and 73 DF, p-value: 6.757e-13 在该结果的基础上加入二次项得，Call:lm(formula = y x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + I(x12) + I(x22) + I(x32) + I(x42), data = blood)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.48582 -0.11101 -0.01124 0.08639 0.55271 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) -0.71687 0.81360 -0.881 0.381 x1 -0.03497 4.02016 -0.009 0.993 x2 2.82657 4.34369 0.651 0.517 x3 3.83307 6.71288 0.571 0.570 x4 -4.22435 4.37999 -0.964 0.338 x5 7.70808 1.52366 5.059 3.33e-06 *I(x12) -0.49074 12.61374 -0.039 0.969 I(x22) -0.62756 8.01553 -0.078 0.938 I(x32) -4.24983 11.75452 -0.362 0.719 I(x42) 7.08400 7.67463 0.923 0.359 -Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 Residual standard error: 0.1902 on 69 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.5938, Adjusted R-squared: 0.5408 F-statistic: 11.21 on 9 and 69 DF, p-value: 1.417e-10 对比以上两个结果，可以得到这样的结论，当机械强度和茎秆粗、厚二次项相关时，F 检验得到的p-value值显著增大。说明机械强度与茎秆的粗、厚的二次项不相关。所以坚持机械强度与一次项相关。并且通过逐步回归来改进拟合方程得到最合理的拟合方程。结果如下，Start: AIC=-259.94y x1 + x2 + x3 + x4 + x5 Df Sum of Sq RSS AIC- x1 1 0.00356 2.5309 -261.83- x4 1 0.00482 2.5321 -261.79 2.5273 -259.94- x3 1 0.08439 2.6117 -259.35- x2 1 0.43919 2.9665 -249.28- x5 1 1.01984 3.5472 -235.16Step: AIC=-261.83y x2 + x3 + x4 + x5 Df Sum of Sq RSS AIC- x4 1 0.00377 2.5346 -263.71 2.5309 -261.83- x3 1 0.08140 2.6123 -261.33- x2 1 0.45592 2.9868 -250.75- x5 1 1.08582 3.6167 -235.63Step: AIC=-263.71y x2 + x3 + x5 Df Sum of Sq RSS AIC 2.5346 -263.71- x3 1 0.09150 2.6261 -262.91- x2 1 0.45274 2.9874 -252.73- x5 1 1.08330 3.6179 -237.60 对逐步回归的结果进行总结得，Call:lm(formula = y x2 + x5, data = blood)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.46552 -0.10303 -0.01980 0.09437 0.53963 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) -0.8625 0.1509 -5.715 2.04e-07 *x2 3.3539 0.4243 7.904 1.68e-11 *x5 8.5479 1.2948 6.602 4.89e-09 *-Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 Residual standard error: 0.1859 on 76 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.5725, Adjusted R-squared: 0.5612 F-statistic: 50.89 on 2 and 76 DF, p-value: 9.455e-15 由以上结果得到拟合方程：对该拟合方程进行分析如下（矮抗58拟合数据对照图），图1.9由上图可知，机械强度与茎秆茎秆基部第四节粗和茎秆壁厚显著相关。为了提高拟合方程的精度，下面对“新麦208”、“周麦18”的拟合方程的系数进行加权平均，小麦品种系数矮抗58新麦208周麦18平均系数常数项-0.8625-0.8625-0.6637-0.79623基部第四节（x2）3.35393.35402.45973.055867壁厚（x5）8.54798.548010.17029.0887得到最终的拟合方程为. 通过以上机械强度与茎秆粗、厚拟合，在面就用该公式来计算机械强度。倒伏指数（）模型 题目给出抗倒伏指数公式， 利用该公式计算2008年数据计算六个小麦品种的抗倒伏指数如下表，矮抗58周18国信智9998早联丰85TM458.50 653.90 682.00 1001.90 515.10 618.20 对比题目附录中给出的抗倒性从强到弱排序为：矮58联丰85 TM 周18国信=智9998，可以得出这样的结论，通过该公式算出的定性结论与题目附录中所给的结论完全吻合。说明该公式是可以定性来分析小麦的倒伏性问题，该公式也符合倒伏指数的定义，可以用于下面的分析。第二章倒伏指数与茎秆外部形态特征之间的关系本章主要定性的研究倒伏指数与茎秆外部形态特征（株高、穗长、各节间长、节间长度比、各节壁厚、穗重、鲜重）的相关性，主要运用皮尔逊积矩相关系数来研究。2.1皮尔逊相关系数相关系数：考察变量之间的相关程度。皮尔逊相关系数就是通常所指的线性相关系数，用来描述的是两个变量间线性相关强弱的程度。通常用来表示。的取值范围-1,1之间。设为、两组数据，则.对于元总体，其样本为,其中第个样本为.则该样本的第个分量的均值为该样本的第个分量的中心距为该样本的第个分量与第个分量的协方差为称为样本的协方差矩阵。该样本第个分量与第个分量的相关系数为称为样本的皮尔逊（Pearson）相关矩阵。相关系数与相关性的关系如下表，相关性 相关系数 0不相关-0.09 0.000.00 0.09弱相关-0.3 -0.10.1 0.3较强相关-0.5 -0.30.3 0.5显著相关-1.0 -0.50.5 1.0表 2.1 皮尔逊相关系数与相关性的关系2.2节间比与倒伏指数模型由于一般情况下茎秆的第六节数据缺失严重甚至没有第六节，所以这里只研究茎秆五节的节间比与穗重的关系。假设茎秆不同节间，节间的粗、厚、质量分布均匀，因此.令则得:代入得：.又令代入可得：由以上推到也可得茎秆倒伏指数和茎秆节间比存在正相关，令 所以抗倒伏性强，即倒伏指数取得最小值时，应该取得最小值。又，是常数，所以由均值不等式得，等号成立条件为，即穗重与节间比模型考虑到使用矮抗58 数据建立的模型效果较好，因此我们采用由矮抗58 拟合得到的系数，设“矮抗58 ”基部第二节长（cm）x1“矮抗58 ”基部第三节长（cm）x2“矮抗58 ”基部第四节长（cm）x3“矮抗58 ”基部第五节长（cm）x4“矮抗58 ”穗长（cm）x5“矮抗58”穗重（g）y运用R软件拟合结果如下，Call:lm(formula = y x1 + x2 + x3 + x4 + x5, data = blood)Residuals: Min 1Q Median 3Q Max -0.8255 -0.2490 0.0281 0.2908 1.0545 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(|t|) (Intercept) -1.65207 2.16718 -0.762 0.4533 x1 0.46746 0.19939 2.344 0.0277 *x2 -0.04142 0.05904 -0.702 0.4897 x3 0.01647 0.07631 0.216 0.8310 x4 -0.08299 0.03831 -2.166 0.0404 *x5 0.34531 0.13165 2.623 0.0149 *-Signif. codes: 0 * 0.001 * 0.01 * 0.05 . 0.1 1 Residual standard error: 0.4834 on 24 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.4599, Adjusted R-squared: 0.3474 F-statistic: 4.088 on 5 and 24 DF, p-value: 0.007948通过对该结果的进一步修正改进的拟合方程系数为：Call:lm(formula = y x1 + x4 + x5, data = blood)Coefficients:(Intercept) x1 x4 x5 -2.15677 0.49224 -0.07607 0.35888 所以拟合方程为， 由以上两个模型得，穗重分别是1.19g，2.06g，2.46g，2.56g，2.75g，2.92g时小麦的理想株型结构为，假定穗长为“矮抗58 ”的平均穗长（7.97 cm），来求理想的节间长。又 倒伏指数与茎秆的节长、茎秆鲜重、粗、壁厚及茎秆重心高度的皮尔逊系数。2008年数据三种小麦品种的结果。表 矮抗58 倒伏指数与茎秆节间长皮尔逊相关系数倒伏指数基部第五节长（cm）基部第四节长（cm）基部第三节长（cm）基部第二节长（cm）倒伏指数1基部第五节长（cm）-0.56227241基部第四节长（cm）0.35969774-0.79146281基部第三节长（cm）0.31025726-0.60404750.839425481基部第二节长（cm）0.31446416-0.34456890.620737110.722036811新麦208伏指数与茎秆节间长皮尔逊相关系数倒伏指数基部第五节长（cm）基部第四节长（cm）基部第三节长（cm）基部第二节长（cm）倒伏指数1基部第五节长（cm）0.181649941基部第四节长（cm）0.157074470.221995971基部第三节长（cm）-0.02701330.000631960.613026511基部第二节长（cm）-0.0381366-0.20900150.231849860.51326031周麦18伏指数与茎秆节间长皮尔逊相关系数倒伏指数基部第五节长（cm）基部第四节长（cm）基部第三节长（cm）基部第二节长（cm）倒伏指数1基部第五节长（cm）0.330309181基部第四节长（cm）-0.16015570.439947631基部第三节长（cm）-0.06477670.169082180.855080141基部第二节长（cm）0.310808440.631736570.476029630.433681161矮抗58伏指数与茎秆节间粗皮尔逊相关系数倒伏指数基部第五节粗（cm）基部第四节粗（cm）基部第三节粗（cm）基部第二节粗（cm）倒伏指数1基部第五节粗（cm）-0.63301491基部第四节粗（cm）-0.60614030.805316331基部第三节粗（cm）-0.5139720.612491190.769109211基部第二节粗（cm）-0.43142330.258001460