2020届阜阳市高三教学质量统测数学（理）试题（解析版）

2020届安徽省阜阳市高三教学质量统测数学（理）试题一、单选题1设集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】算出集合B，求出，直接进行交集运算即可.【详解】因为，所以.故选：B【点睛】本题考查集合的并集、补集运算，属于基础题.2已知复数，为的共轭复数，则（ ）ABCD【答案】C【解析】求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.3某单位去年的开支分布的折线图如图1所示，在这一年中的水、电、交通开支（单位：万元）如图2所示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（ ）ABCD【答案】A【解析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例，相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详解】水费开支占总开支的百分比为.故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.4已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】利用三角恒等变换与同角三角函数的平方关系将化简为关于的式子，代入即可得解.【详解】因为，所以.故选：D【点睛】本题考查三角恒等变换，同角三角函数的平方关系，注意“1”在化简中的妙用，属于基础题.5若，满足约束条件，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据约束条件作出可行域，找到使直线的截距取最值得点，相应坐标代入即可求得取值范围.【详解】画出可行域，如图所示：由图可知，当直线经过点时，取得最小值5；经过点时，取得最大值5，故.故选：B【点睛】本题考查根据线性规划求范围，属于基础题.6山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在内的概率为（ ）附：若，则，.A0.6826B0.8413C0.8185D0.9544【答案】C【解析】根据服从的正态分布可得，将所求概率转化为，结合正态分布曲线的性质可求得结果.【详解】由题意，则，所以，.故果实直径在内的概率为0.8185.故选：C【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.7将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若为奇函数，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】由条件根据函数的图像变换规律，得到相应的函数解析式，再根据正弦型函数的奇偶性求得m的范围.【详解】由题意知，因为是奇函数，所以，.解得，.因为，所以的最小值为.故选：D【点睛】本题考查有关函数图像的变换问题，正弦型函数的奇偶性，属于基础题.8在中，“”是“”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由化简等式得，解得或，再判断即可.【详解】由，得，所以，所以，解得或.前者可以推出后者，后者推不出前者，故选：A【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，三角恒等变换化简等式，属于基础题.9一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为，大圆柱底面半径为，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为，则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据空余部分体积相等列出等式即可求解.【详解】在图1中，液面以上空余部分的体积为；在图2中，液面以上空余部分的体积为.因为，所以.故选：B【点睛】本题考查圆柱的体积，属于基础题.10已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是ABCD【答案】A【解析】根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.【详解】 为定义在上的偶函数，图象关于轴对称又在上是增函数 在上是减函数 ，即对于恒成立 在上恒成立，即的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.11双曲线：（，）的左、右焦点分别为，为双曲线左支上一点，且（为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）A2BCD【答案】D【解析】取的中点为，则，根据题意可得，则，由可求出，从而求得离心率.【详解】如图，取的中点为，则，由，得，即.因为为的中位线，所以.由，设，则，所以，得的离心率为.故选：D【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，中位线的性质，双曲线的几何性质，属于中档题.12设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】恰有两个极值点，则恰有两个不同的解，求出可确定是它的一个解，另一个解由方程确定，令通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.【详解】由题意知函数的定义域为，.因为恰有两个极值点，所以恰有两个不同的解，显然是它的一个解，另一个解由方程确定，且这个解不等于1.令，则，所以函数在上单调递增，从而，且.所以，当且时，恰有两个极值点，即实数的取值范围是.故选：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.二、填空题13已知等差数列的前项和是，且成等比数列，则_.【答案】【解析】设出等差数列基本量，根据题意列出方程组求出基本量，从而得到等差数列的通项公式，即可得解.【详解】设公差为，则有解得从而，故.故答案为：【点睛】本题考查等差数列通项公式和前n项和，属于基础题.14根据记载，最早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数学家商高，商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题.现有满足“勾3股4弦5”，其中“股”，为“弦”上一点（不含端点），且满足勾股定理，则_.【答案】【解析】先由等面积法求得，利用向量几何意义求解即可.【详解】由等面积法可得，依题意可得，所以.故答案为：【点睛】本题考查向量的数量积，重点考查向量数量积的几何意义，属于基础题.15的展开式中所有项的系数和为_，常数项为_.【答案】3 -260 【解析】(1)令求得所有项的系数和； (2)先求出展开式中的常数项与含的系数，再求展开式中的常数项.【详解】将代入，得所有项的系数和为3.因为的展开式中含的项为，的展开式中含常数项，所以的展开式中的常数项为.故答案为：3； -260【点睛】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特殊项问题，属于基础题.16过抛物线：的准线上任意一点作抛物线的切线，切点分别为，则点到准线的距离与点到准线的距离之和的最小值是_.【答案】4【解析】先求出直线，的方程，联立解得，由点是两切线的公共点求得的方程为，表示出，两点到准线的距离之和并化简为，从而求得最小值.【详解】设，则直线，的方程分别为，联立解得，.又直线，的方程分别可表示为，将点坐标代入两方程，得所以直线的方程为，即，所以点到准线的距离与点到准线的距离之和为.故答案为：4【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系应用，属于较难题.三、解答题17的内角，的对边分别为，已知，点为边的中点，且.（1）求；（2）若，求的面积.【答案】（1） （2）【解析】(1)化简等式代入余弦定理即可求得； (2)由为的中线得，同时平方可得，与联立解出b，c的值，代入三角形面积公式即可得解.【详解】解：（1）由，可得，由余弦定理可得，所以.（2）因为为的中线，两边同时平方可得，故.因为，所以，.所以的面积.【点睛】本题考查余弦定理，三角形中线的向量表示及三角形面积公式，属于中档题.18已知数列满足，且.（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析， （2）【解析】(1)由 ，利用定义能证明是以为公差的等差数列，从而求出； (2)由 ，利用错位相减法即可求得数列的前项和.【详解】解：（1）因为，所以，两边都加上1，得，所以，即，所以数列是以为公差的等差数列，且首项是，所以，即.（2）因为，所以数列的前项和，则，由，得，所以.【点睛】本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，错位相减法求数列前n项和，属于中档题.19追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量，某城市环保局随机抽取了一年内100天的空气质量指数（）的检测数据，结果统计如下：空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61418272510（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率；（2）已知某企业每天的经济损失（单位：元）与空气质量指数的关系式为，试估计该企业一个月（按30天计算）的经济损失的数学期望.【答案】（1） （2）9060元【解析】(1)根据古典概型概率公式和组合数的计算可得所求概率；(2) 任选一天，设该天的经济损失为元，分别求出，进而求得数学期望，据此得出该企业一个月经济损失的数学期望.【详解】解：（1）设为选取的3天中空气质量为优的天数，则.（2）任选一天，设该天的经济损失为元，则的可能取值为0，220，1480，所以（元），故该企业一个月的经济损失的数学期望为（元）.【点睛】本题考查古典概型概率公式和组合数的计算及数学期望，属于基础题.20如图1，在等腰梯形中，两腰，底边，是的三等分点，是的中点.分别沿，将四边形和折起，使，重合于点，得到如图2所示的几何体.在图2中，分别为，的中点.（1）证明：平面.（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】(1)先证，再证，由可得平面 ，从而推出平面 ；(2) 建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，坐标代入线面角的正弦值公式即可得解.【详解】（1）证明：连接，由图1知，四边形为菱形，且，所以是正三角形，从而.同理可证，所以平面.又，所以平面，因为平面，所以平面平面.易知，且为的中点，所以，所以平面.（2）解：由（1）可知，且四边形为正方形.设的中点为，以为原点，以，所在直线分别为，轴，建立空间直角坐标系，则，所以，.设平面的法向量为，由得取.设直线与平面所成的角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的证明，直线与平面所成的角，要求一定的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力，属于基础题.21已知椭圆：的左顶点为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点且与直线平行的直线与椭圆交于，两点，若点满足，且与椭圆的另一个交点为，求的值.【答案】（1） （2）【解析】(1)由题意知是以为斜边的等腰直角三角形，从而求得B点坐标，代入椭圆方程求出 ，即可得解；(2)设点，直线的方程与椭圆方程联立求出，利用计算出点Q的坐标, 因为点在椭圆上，所以，整理得，因为， ，方程解得，即.【详解】解：（1）因为直线的斜率为1，且，所以是以为斜边的等腰直角三角形，从而有，代人椭圆的方程，得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）由（1）得，所以直线的方程为.设点，将代入，得，所以，所以.因为，所以，所以.设，则，所以因为点在椭圆上，所以，所以，整理得，.由上得，且可知，所以，整理得，解得或（舍去），即.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合应用，向量共线的坐标表示，属于难题.22设函数，其中，为正实数.（1）若的图象总在函数的图象的下方，求实数的取值范围；（2）设，证明：对任意，都有.【答案】（1） （2）证明见解析【解析】(1)据题意可得在区间上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求出满足不等式的的取值范围；(2)不等式整理为，由(1)可知当时，利用导数判断函数的单调性从而证明在区间上成立，从而证明对任意，都有.【详解】（1）解：因为函数的图象恒在的图象的下方，所以在区间上恒成立.设，其中，所以，其中，