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分式分式 1 分式的概念 分式的概念 形如 A B 是整式 且 B 中含有字母 要使分式有意义 作为分母的整式 B 的值不能为 B A 0 即 B 0 要使分式的值为 0 只能分子的值为 0 同时保证分母的值不为 0 即 A 0 且 B 0 1 式子 中 是分式的有 x 2 5 yx a 2 1 1 x A B C D 2 分式中 当时 下列结论正确的是 13 x ax ax A 分式的值为零 B 分式无意义 C 若时 分式的值为零 D 若时 分式的值为零 3 1 a 3 1 a 3 若分式无意义 则 x 的值是 1 x x A 0 B 1 C 1 D 1 4 如果分式的值为负数 则的 x 取值范围是 x21 1 A B C D 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 1 x 2 分式的基本性质 分式的基本性质 分式的分子 分母同时乘以 或除以一个不等于 0 的整式 分式的值不变 即 B A CB CA C 0 B A CB CA 1 不改变分式的值 使分式的各项系数化为整数 分子 分母应乘以 11 510 11 39 xy xy A 10 B 9 C 45 D 90 2 下列等式 ab c ab c xy x xy x ab c ab c 中 成立的是 mn m mn m A B C D 3 不改变分式的值 使分子 分母最高次项的系数为正数 正确的是 2 3 23 523 xx xx A B C D 2 3 32 523 xx xx 2 3 32 523 xx xx 2 3 32 523 xx xx 2 3 32 523 xx xx 4 对于分式 永远成立的是 1 1 x A B C D 1 2 1 1 xx1 1 1 1 2 x x x 2 1 1 1 1 x x x3 1 1 1 xx 5 下列各分式正确的是 A B C D 2 2 a b a b ba ba ba 22 a a aa 1 1 12 2 xxxy yx 2 1 68 43 2 3 最简分式及分式的约分与通分 最简分式及分式的约分与通分 1 最简分式 分子分母没有公因式的分式称之为最简分式 2 约分 利用分式的基本性质约去分子分母中所有公因式 使所得的结果为最简分式或 是整式 3 通分 利用分式的基本性质 对分式的分子 分母同时乘以适当的整式 不改变分式 的值 把几个不同分母的分式化成相同分母的分式 这样的分式变形称为通分 通分 的第一步是确定分式间的最简公分母 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为 公分母 即最简公分母 总结 分式的通分 约分前都需要将分子 分母中的多项式因式分解 1 化简分式的结果是 x x 1 1 2 2 约分 1 2 3 4 32 30 4 ab ba 2 2 1 12 m mm 4 2 ab ba 3 把下列各式通分 1 2 22 6 1 3 2 aba 22 2 1 4 x x x x 3 3 94 52 23 2 32 1 2 x x xx 22 1 baba b ba 4 分式的运算 分式的运算 1 分式的乘除法法则 分式乘分式 分子的积作为积得分子 分母的积作为积得分母 分式除以分式 把除式的分子 分母颠倒位置后与被除式相乘 2 分式的加减法法则 同分母相加减 分母不变 分子相加减 异分母相加减 通分化 为同分母后再加减 总结 分式的乘除进行约分运算 分式的加减进行通分运算 做混合运算时 先乘方 再 乘除 后加减 有括号先做括号 1 等于 2 2 3 4 xy z 2 8z y A 6xyz B C 6xyz D 6x2yz 23 38 4 xyz yz 2 计算 2 3 x x 2 2 69 4 xx x 3 等于 2 2 ab cd 3 4 ax cd A B b2x C D 2 2 3 b x 3 2 2 2 3 b x 22 22 3 8 a b x c d 4 计算 2 3 a a 2 2 4 69 a aa 5 若 x 等于它的倒数 则 的值是 2 6 3 xx x 2 3 56 x xx A 3 B 2 C 1 D 0 6 计算 xy x2 xy xy 7 将分式化简得 则 x 应满足的条件是 2 2 x xx 1 x x 8 计算 2 2 1 21 a aa 2 1 aa a 10 化简 等于 1 x 1 2x 1 3x A B C D 1 2x 3 2x 11 6x 5 6x 11 计算 得 3 4 x xy 4 xy yx 7 4 y xy A B C 2 D 2 26 4 xy xy 26 4 xy xy 12 计算 a b 得 2 2b ab A B a b C D a b 2 2abb ab 22 ab ab 13 若 则 m 22 m xy 2 22 2xyy xy xy xy 14 当分式 的值等于零时 则 x 2 1 1x 2 1x 1 1x 15 如果 a b 0 则 的值的符号是 1b ab b a 16 已知 a b 3 ab 1 则 的值等于 a b b a 17 计算 2 2 2 x xx 2 1 44 x xx 18 计算 x 1 2 1 x x 19 先化简 再求值 其中 a 3 a a 2 6 3 a aa 3 a 3 2 5 整数指数幂的运算 整数指数幂的运算 1 分式的乘方 n 为整数 2 同底数的乘法 m n 为整数 3 积得乘方 n 为整数 4 幂的乘方 am n amn m n 都是整数 5 同底数幂的除法 a 0 m n 为整数 总结 a 0 a 0 n 为正整数 1 若 m n 为正整数 则下列各式错误的是 A B C D nmnm aaaa nn n ba b a mn n m aa n n am am 1 2 下列计算正确的是 A B C D 11 0 15 0 2 1 0 11 1 2 35 xxx 3 若 则等于 25102 xx 10 A B C D 5 1 5 1 50 1 625 1 4 若 则等于 3 1 aa 22 aa A 9 B 1 C 7 D 11 5 已知 则用x表示y的结果是 p x21 p y 21 A B C D 1 1 x x 1 2 x x 1 x x x 2 6 计算 n为整数 122 11 nn 7 计算 2 2 1 8 化简 2211 yxyxyx 9 已知 则 57 37 nm nm2 7 10 已知 则x 9 4 3 2 8 27 321 xx 11 计算 1 2 1 01 2 3 3 2 6 34 3 213 2 xyba 分式方程及应用 分式方程及应用 1 分式方程 分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程 2 解分式方程 找出最简公分母 方程两边同时乘以最简公分母化为整式方程后 解整 式方程 把解代入最简公分母验算 使公分母为 0 的根 为增根 舍去 3 分式方程的应用 检验所列方程是否为分式方程 求解后注意检验根是否为增根及是 否符合实际问题 1 满足方程的x值是 2 2 1 1 xx A 1 B 2 C 0 D 没有 2 已知 则a等于 1 e an am e A B C D 以上答案都不对 e nm 1e men 1e nem 1 3 分式方程的解为 2 3 4 16 2 4 2 xxx A B C D 无解 0 x2 x2 x 4 若方程有负数根 则k的取值范围是 kxx 2 3 3 5 当 x 时 分式的值等于 x x 5 1 2 1 6 若使与互为倒数 则x的值是 2 3 x x 23 2 x x 7 已知方程的解为 则a 5 3 1 1 2 xa ax 5 1 x 8 解下列分式方程 1 2 3 1 1 5 xx1 637 222 xxxxx 9 已知关于x的方程解为正数 求m的取值范围 3 2 3 x m x x 10 当 m 为何值时 解方程会产生增根 11 5 1 2 2 x m xx 11 某校用 420 元钱到商场去购买 84 消毒液 经过还价 每瓶便宜 0 5 元 结果比用 原价多买了 20 瓶 求原价每瓶多少元 设原价每瓶元 则可列出方程为 x A B 20 5 0 420420 xx 20 420 5 0 420 xx C D 5 0 20 420420 xx 5 0 420 20 420 xx 12 甲 乙两人同时从 A 地出发 骑自行车行 30 千米到 B 地 甲比乙每小时少走 3 千米 结果乙先到 40 分钟 若设乙每小时走 x 千米 则可列方程 A B C D 30302 33xx 30302 33xx 30302 33xx 30302 33xx 13 为了适应国民经济持续快速协调的发展 自 2004 年 4 月 18 日起 全国铁路实施第五 次提速 提速后 火车由天津到上海的时间缩短了 7 42 小时 若天津到上海的路程为 1326 千米 提速前火车的平均速度为x千米 时 提速后火车的平均速度为y千米 时 则x y应 满足的关系式 A B C D 1326 7 42 xy 1326 7 42 yx 13261326 7 42 xy 13261326 7 42 yx 14 一个分数的分母比它的分子大 5 如这个分数的分子加上 14 分母减去 1 所得到的分数 为原分数的倒数 求这个分数 15 甲 乙两人在相同时间内各加工 168 个零件和 144 个零件 已知每小时甲比乙多加工 8 个零件 求甲 乙两人每小时各加工多少个零件 16 A B 两地相距 20 km 甲骑车自 A 地出发向 B 地方向行进 30 分钟后 乙骑车自 B 地出 发 以每小时比甲快 2 倍的速度向 A 地驶去 两车要距 B 地 12 km 的 C 地相遇 求甲 乙 两人的车速 17 有一项工程要在规定日期内完成 如果甲工程队单独做正好如期完成 如果乙工程队单 独做就要超过 4 天才能完成 现由甲 乙两队合作 3 天 余下的工程由乙队单独做正好按 期完成 问规定日期是多少天 单元测试单元测试 一 选择题 1 分式 中最简分式有 x a 22 yx yx 22 ba ba yx yx A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 下列计算正确的是 A B C D 7 2 5 aa 8 a 42 aa 43 5 1 0 1 1 x x 3 若有意义 则的取值范围是 20 1232 xxx A B C 或 D 且2 x 2 1 x2 x 2 1 x2 x 2 1 x 4 将方程去分母 整理后得到的方程是 1 3 2 1 4 2 xx x A B C D 032 2 xx052 2 xx03 2 x05 2 x 5 化简的结果是 xx x x 2 3 1 A 1B C D 1 x 1 x x x x 1 6 若分式方程无解 则的值为 2 11 3 x m x x m A 1B 3C 0D 2 7 若分式的值为 0 则等于 23 1 2 xx x x A 1B 1C 1 或 1D 1 或 2 8 方程的解是 4 4 2 1 2 1 2 xxx A B C 无解D 以上都不对2 x2 x 9 若 则 21 111 RRR A B C D 21 RRR 21 21 RR RR R 21 21 RR RR R 2 1 1 RR RR R 10 一件工作 甲单独做小时完成 乙单独做小时完成 则甲 乙两人合作完成ab 需要 小时 A B C D ba 11 ab 1 ba 1 ba ab 二 填空题 1 用科学记数法表示 0 0003097 保留两个有效数字 2 分式 的最简公分母是 x 1 4 2 2 x x x y 2 3 3 已知 试用含的代数式表示 则 3 2 y y xxyy 4 当 时 分式有意义 x 9 2 x x 5 计算 x x1 x 1 1 6 方程的解是 xx x1 3 1 2 7 若一件大衣标价元 按 8 折售出利润率为 则这件大衣的进价是 ab 元 8 若 则 3 1 xx 22 xx 9 若关于的方程有增根 则 x x k x 1 1 1 3 k 10 若 则 034 xy y yx 三 计算 1 2 3 0 2 25 1 4 1 3 aa 2 1 4 4 2 3 4 ba ba 22 ab ba 22 2 42 3 x x 2 5 2 x x 四 解下列方程 1 2 3 2 1 2 1 x x xx x x x x 4 13 4 12 16 96 5 2 五 化简求值 1 其中 4 4 2 2 2 x x x x 4 1 2 x 3 x 2 其中 x x xx26 1 9 6 3 1 2 62 96 2 x xx 4 x 分式分式 二 学习过程二 学习过程 1 温故知新 温故知新 把下列各式因式分解 1 4a4b2 16b4a2 2 a4b4 8a2b2 16 3 a b 3c 2 a b 2c a b c 4 12 22 mnmn 5 xyxy 22 2 重点难点解析重点难点解析 1 分式的概念 分式的概念 如果 A B 表示两个整式 A B 就可以表示成的形式 如果 B 中含有字母 那么式子 B A 叫做分式 B A 2 分式有意义 无意义的条件 分式有意义 无意义的条件 当分式的分母不为零时 分式有意义 当分式的分母为零时 分式无意义 3 分式的值为零的条件 分式的值为零的条件 1 分母的值不等于零 即使得分式有意义 2 分子的值等于零 4 分式的基本性质 分式的基本性质 基本性质 分式的分子 分母都乘以 或除以 同一个不等于零的整式 分式的值不变 3 例题巧解点拨例题巧解点拨 一一 考查分式定义考查分式定义 例例 1 下列各式 哪些是整式 哪些是分式 x 1 3 a yx x a ab 2 2 x x 1 x 4 1 yx 1 ba y ba baba 22 2 针对练习针对练习 1 下列各有理式中 哪些是整式 哪些是分式 3 ba 8 1 y2 3 1x 1x 2 x x 1 2 二二 考查分式有意义 无意义和值为零的条件考查分式有意义 无意义和值为零的条件 例例 2 1 当 x 为何值时 分式有意义 1 x 2 2 当 x 为何值时 分式的值为零 1x 1x 2 3 m 取什么值时 分式的值是正整数 1 72 m m 针对练习针对练习 已知 x 取哪些值时 x32 x y 2 1 y 的值等于零 2 分式无意义 3 y 的值是正数 4 y 的值是负数 例例 3 若分式不论 m 取任何数总有意义 则 m 的取值范围是 mx2x 1 2 A m 1 B m 1 C m 1 D m 1 典型考题典型考题 1 根据要求 解下列各题 1 x 为何值时 分式无意义 32 2 x x 2 x 为何值时 分式有意义 x x 1 1 12 三 考查分式的基本性质三 考查分式的基本性质 例例 4 填出下列各等式中未知的分子或分母 1 2 22 yxyx yx 2 ba ab aba 例例 5 不改变分式的值 使下列各分式的分子与分母的系数都化为整数 1 2 yx yx 3 1 5 1 2 1 3 1 yx yx 07 0 4 0 25 0 3 0 针对练习针对练习 不改变分式的值 使下列分式的分子与分母的最高次项的系数为正数 1 2 2 2 54 132 xx xx 2 2 43 65 xx xx 例例 6 把分式 x 0 y 0 中的分子 分母的 x y 同时扩大 2 倍 那么分式的值 yx x A 扩大 2 倍 B 缩小 2 倍 C 改变 D 不改变 约分与最简分式约分与最简分式 6 下列各式中最简分式是 A B C D ab ba 33 22 yx yx m m a a 2 2 3 2 1 1 x xx 7 把下列各分式约分 1 2 3 5 32 16 4 abc bca cdb cba 2 32 24 32 62 23 2 4 nm nm 4 5 6 22 35 48 16 ca cba 2 32 xya yxa bb bb 2 24 7 8 9 xx x 5 25 2 2 2 2 9 3 m mm 6 34 2 2 aa aa 8 化简求值 其中 22 22 22 484 ba baba 2 a3 b 通分与最简公分母通分与最简公分母 9 指出下列各组分式的最简公分母 1 2 3 1 ab 2 bc 2 1 ac 1 2xy 2 3 x y 3 5 9x y 1 1a x 1 1b x 4 5 11 222 2xxx 2 11 442xx 10 通分 1 2 32234 111 x yx yxy 2 1 234 yx xyxy 3 4 2 3 1 abba 2 7 2 xx x 2 1 xx x 2 1 5 6 2 1 21 x xxx 2 1 442 x xx 拓展与提高 例例 13 已知 求的值 4 1 2 x x 2 2 1 x x 例例 14 如果 求证 x y z ac z cb y ba x 例例 15 设 a b c d 0 求证 d c b a 2003 2003 20032003 20032003 dc ba dc ba 例例 16 已知 求的值 5 11 yxyxyx yxyx 2 232 分式的计算 一 分式的乘除 1 1 2 3 a b b a 12 25 5 4 2 3 2 2 23 3 42 y xz y zx 3 22 5 4 2n m m n 4 5 6 xx y2 7 yx yx1 3 2 yx a xy 2 8 5 12 7 8 4 3 9 8 2 3 23 2 b x ba xy yx ab 6 4