市第二中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题（解析版）

江西省南昌市第二中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一选择题1.若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】化简集合M,N，由子集概念即可得出结论.【详解】， ，所以.故选: C.【点睛】本题主要考查了解不等式，集合子集，属于容易题.2.已知集合A=x|x1，B=x|，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】集合集合，故选A3.若全集，集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】化简集合A,B，根据交集补集运算即可求解.【详解】由，得：，；.故选: B.【点睛】本题主要考查了集合的交集补集运算，集合的描述法，属于容易题.4.已知函数，若，则实数a等于（ ）A. B. C. 2D. 9【答案】C【解析】【分析】由内层开始计算，解方程即可求解.【详解】，解得.故选: C.【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于容易题.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得出，解出该不等式组可得出函数的定义域.【详解】由于函数的定义域为，由题意得，解得且，因此，函数的定义域是，故选C.【点睛】本题考查抽象函数的定义域，对于抽象函数的定义域，一般要利用中间变量取值范围一致来列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于中等题.6.已知函数(其中欧拉常数)，则（ ）A. 是奇函数，且在R上是减函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 奇函数，且在R上是增函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】【分析】根据奇偶函数的定义判断奇偶性，再由指数函数单调性判断函数单调性即可.【详解】根据题意，函数，则，则函数为奇函数，又由和是减函数，可知函数在R上为减函数，故选: A.【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判定，函数的单调性，属于中档题.7.方程的解的个数是（ ）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个【答案】B【解析】【分析】作出作出和的函数图象，利用数形结合求解.【详解】作出和的函数图象,如图所示:由图象可知两函数图象有2个交点.故方程的解的个数也为2个.故选: B.【点睛】本题主要考查了函数与方程，函数图象，数形结合，属于中档题.8.方程一定有解的区间是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】方程可化为，作出函数与的图象，判断交点横坐标大致位置即可，或者根据零点存在性定理判断零点位置也可.【详解】方法一:可化为:，在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象.它们的交点横坐标.当时，.，从而判定.方法二:因为， ，所以根据根的存在性定理可知，函数在区间内存在零点，所以方程根所在的区间为.故选: A.【点睛】本题主要考查了方程与函数，函数的零点，零点存在性定理，数形结合，属于中档题.9.函数在(1，)上单调递增，则a的取值范围是()A. a3B. a3C. a3D. a3【答案】C【解析】【分析】分离参数可得，根据反比例函数的单调性可得，解不等式即可的结果.【详解】，由函数在(1，)上单调递增，有解得a3，故选C【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.10.函数在单调递减，且为奇函数.若，则满足的x取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据奇函数的性质由，可以求出的值，再利用函数的单调性结合已知，可以求出x取值范围.【详解】为奇函数，.，.故由，得.又在单调递减，.故选：D【点睛】本题考查了利用奇函数的单调性求解不等式问题，考查了数学运算能力.11.已知定义在R上的偶函数，且时，方程恰好有4个实数根，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由解析式可分析函数时的单调性，再由对称性可作出函数图象，利用数形结合求解即可.【详解】在上单调递增，在上单调递减，在时取得最大值2.又当时，再结合对称性可以画出函数与的图象,如图所示:由图可知，当时，函数与恰好有4个公共点.故选: C.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，数形结合，属于中档题.12.已知是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数，都有，记:，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设,由已知可得，即，函数为上为增函数，又可证函数为偶函数，即可求出a,b,c的大小.【详解】根据题意，设，对任意两个不相等的正数，都有，即，则有，故函数在上为增函数；又由，则函数为偶函数； ，又由，则有；即，故选: D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，利用函数性质比较大小，属于难题.二填空题13.函数(且)的图象恒过的定点是_.【答案】【解析】【分析】根据指数函数的性质，令，即可求出所过定点.【详解】令，求得，可得函数(且)的图象恒过的定点，故答案为:.【点睛】本题主要考查了指数函数过定点问题，属于容易题.14.幂函数在上为单调递增的，则_.【答案】【解析】【分析】由幂函数定义及性质可知，求解即可得m【详解】由幂函数在上为单调递增的，所以，解得.故答案为:.【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.15.若函数是定义在R上的偶函数，且在区间上是单调减函数.如果实数t满足时，那么t的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意知原不等式可化为，即，根据单调性可得，解不等式即可.【详解】原不等式等价于:，为偶函数，为偶函数，且上单减，或，.故答案为:【点睛】本题主要考查了函数的单调性，奇偶性，对数的运算性质，属于中档题.16.函数的值域是_.【答案】【解析】【分析】化简函数解析式可得，换元，利用二次函数求值域即可.【详解】由令，得,对称轴为，所以当时，函数有最小值1，故故答案为:.【点睛】本题主要考查了函数的化简变形，二次函数求最值，换元法，属于中档题.三解答题17.已知，.（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解不等式可得集合A,B，求交集即可（2）分类讨论两种情况，当时利用二次不等式恒成立求解，当时，验证求解即可.【详解】（1）， .当时，由，解得，. （2），或，解得，实数a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了对数不等式，二次不等式的解法，不等式恒成立，交集，属于中档题.18.化简与求值：（1）；（2）【答案】（1）3；（2）-11【解析】分析】（1）根据对数运算法则计算.（2）根据分数指数幂的运算法则计算，以及根据换底公式计算.【详解】（1）（2）【点睛】本题考查了指数和对数的运算法则，意在考查转化与计算，变形的能力，需熟练掌握对数运算的公式.19.求下列函数的值域（1），；（2），；（3），.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）化简函数解析式得，利用二次函数求值域即可（2）化简函数，令，转化为二次函数求值域（3）判断函数的奇偶性为偶函数，先研究时函数的单调性，再结合偶函数性质求值域即可.【详解】（1），因为，所以，所以当，即时取得最大值；当，即时，；当，即时，所以函数的值域为.（2）.令，则，.，故函数的值域为.（3）易知函数为偶函数，当时，易知函数在上单调递增，结合偶函数的性质得在上单调递减，且当，.所以，函数的值域.【点睛】本题主要考查了二次函数求值域，换元法，函数的奇偶性，单调性，属于中档题.20.已知函数()为偶函数，且.（1）求m的值，并确定的解析式；（2）若(且)在上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由幂函数性质可知，再结合函数为偶函数且即可求解（2）化简函数得，换元设，分和两种情况讨论，利用复合函数的单调性求解.【详解】（1）根据题意，函数为偶函数，且，则，又，可得，1或2；当时，为奇函数，不满足题意；当时，满足题意；当时，为奇函数，不满足题意时，；（2）根据题意，其中，且；设，则，当时，函数在是增函数， 为减函数，则在上为减函数，不符合题意；当时，在是增函数，又由，得，函数y在上是增函数，此时若(且)在上为增函数，则有，可得，故a的取值范围为.【点睛】本题主要考查了幂函数的单调性，复合函数的单调性，分类讨论，属于难题.21.如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.（1）判断函数，是否为“可拆分函数”?(需说明理由)（2）设函数为“可拆分函数”，求实数a的取值范围.【答案】（1），是可拆分函数；，不是可拆分函数，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）根据“可拆分函数”的定义，确定是否存在实数使得成立即可（2）结合函数为“可拆分函数”，建立方程关系，结合对数函数，分式函数的性质，利用分子常数法进行转化求解即可.【详解】（1），是“可拆分函数”，不是“可拆分函数”.理由如下:若，则， ， ，假设是“可分拆函数”，则存在，使得，即，而此方程的判别式，方程无实数解，所以，不是“可分拆函数”.假设，是“可分拆函数”，则存在，使得(明显不成立)，不是“可分拆函数”.（2）因为函数为“可分拆函数”，所以存在实数，使得，即，且，所以，令，则，所以，由得，即a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了抽象函数的应用，结合“可拆分函数”的定义建立方程，进行转化是解决本题的关键，属于难题.22.已知函数，（1）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；（2）若存在实数使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）把函数化简为，这个分段函数是由两个二次函数构成，右边是开口向上的抛物线的一部分，对称轴是，左边是开口向下的抛物线的一部分，对称轴是，为了使函数为增函数，因此有；（2）方程有三个不相等的实数根，就是函数的图象与直线有三个不同的交点，为此研究函数的单调性，由（1）知当时，在上单调递增，不合题意，当时，在上单调增，在上单调减，在上单调增，关于的方程有三个不相等的实数根的条件是， 由此有，因为，则有，由于题中是存在，故只要大于1且小于的最大值；当时同理讨论即可试题解析：（1），当时，的对称轴为：；当时，的对称轴为：；当时，在R上增函数，即时，函数在上是增函数；（2）方程的解即为方程的解当时，函数在上是增函数，关于的方程不可能有三个不相等的实数根；当时，即，在上单调增，在上单调减，在上单调增，当时，关于的方程有三个不相等的实数根；即，设，存在使得关于的方程有三个不相等的实数根，又可证在上单调增；当时，即，在上单调增，在上单调减，在上单调增，当时，关于的方程有三个不相等