数学人教版八年级上册13.4课题学习《最短路径问题》.doc

13.4课题学习 最短路径问题 黄骅市常郭镇常郭中学 李春玲教学目标：知识与技能：利用轴对称解决两点之间最短路径问题。过程与方法：通过问题解决培养学生转化问题能力。情感价值观：数学来源实际服务生活，培养数学学习兴趣。教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。学生学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。2、学生已经学习过 “两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”和刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。教学策略分析：最短路径问题从本质上说是最值问题，作为八年级学生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。解答“当点A、B在直线l的同侧时，如何在l上找到点C，使AC与BC的和最小”，需要将其转化为“直线l异侧的两点，与直线l上的点的线段的和最小”的问题，为什么需要这样转化，怎样通过轴对称实现转化，一些学生会存在理解上和操作上的困难。在证明“最短”时，需要在直线上任取一点（与所求做的点不重合），证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路和方法，一些学生想不到。教学时，教师可以让学生首先思考“直线l异侧的两点，与直线l上的点的和最小”为学生搭建桥梁，在证明最短时，教师要适时点拨学生，让学生体会任意的作用。教学过程：环 节教师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。1、两点之间，线段最短。2、两边之和大于第三边。从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。二探究新知1.探究一：【故事引入】：唐朝诗人李颀在古从军行中写道：“白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河”诗中就隐含着一个有趣的数学问题，古时候有位将军，每天从军营回家，都要经过一条笔直的小河。而将军的马每天要到河边喝水，那么问题来了，问题：怎样走才能使总路程最短呢？认真读题，仔细思考。将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，把实际问题抽象线段和最小问题。从异侧问题入手，由简到难，逐步深入。二探究新知2.探究二：【变换情境】：后来将军把家搬到了河的对面，若还是要带马先到河边喝水，然后再回家，应该怎样走，才能使总路程最短呢？（1）【转化】：你能将实际问题抽象为数学问题吗？（2）【展示】：让学生猜想，并画出图形。巡视发现学生不同的作法（尽可能多），分别展示各小组的作法。给予学生一定的提示。【回答】：学生思考并回答，如何将实际问题转化为数学问题。已知：直线L和同侧两点A、B求作：直线L上一点C，使C满足AC+BC的值最小。【学生小组合作讨论并展示结果】：作法1： 作法2：作法3：【学生反思】：第1种作法是利用“垂线段最短”，得到AC最短，利用“两点之间线段最短”，得到BC最短，但不能确定AC+BC是最短的。第2种作法只能说明在河l上取一点，到A、B两地的距离相等，也就是ACBC。不能说明AC+BC最短第3种作法应该是正确的。学生主动探索，充分发挥学生的主动性。展示多种方法，产生思维冲突，引发学生进一步探究的学习欲望。二探究新知(3)【解决问题】：【追问】用第3种作法的同学，你们是怎样想到作点B关于直线L的对称点的？为什么要作对称点？如果做点B关于直线L的对称点，就是把点B移到了另一侧，而且满足了BCBC。其实直线L上所有点到B和B的距离都相等。也可是根据垂直平分线的性质，L就是线段BB的垂直平分线，而垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。利用轴对称将同侧线段和最短转化为异侧线段和最短问题。借助轴对称，把折线转化为线段的长来求解。让学生进一步体会做法的正确性，提高逻辑思维能力。让学生在反思的过程中，体会轴对称的作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验。（4）【推理论证】：如何证明AC+BC最短呢？【提示】：没有比较就不会产生大小。通常我们要在直线上任另取一点C（与点C不重合），只要证明AC+BCAC+BC即可。证明过程：（1）学生自主证明，教师纠错。（2）师生共同分析，学生说明证明过程，教师版书。（3）共同完成证明过程。认真观察，思考，要想确认AC+BC最短，可以在直线l上任取一点C（不与点C重合）1.独立纠错2.兵教兵让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力。通过动画演示，从特殊到一般地验证了前面的结论。三发散思维除了作点B关于直线l的对称点以外，还有没有别的作法？还可以作点A关于直线l的对称点。发散思维，培养学生一题多解的能力。四得出结论【问题】：我们是如何解决将军饮马问题的？先将实际问题转化为数学问题。然后作其中一个点关于直线l的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是满足最短距离的点的位置。让学生反思刚才的探究过程。培养数学思维，和及时总结所学的知识的好习惯。五范例分析【问题】：如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路径。在具体问题中实践已有模型，固化已有模型。为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。六巩固练习1. 【题目】：如图，直线l是一条河，P、Q为河同侧的两地，欲在l上某处修建一个水泵站M，分别向P、Q两地供水，四种方案中铺设管道最短的是（ ）2. 【题目】：如图，在直角三角形ABC中，角A30度，角C为直角，且BC=1，MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点，PB+PC的最小值为 将军饮马模型的直接应用。习题难度，由易到难，逐步深入。让学生进一步巩固解决最短路径问题的基本策略和基本方法。七课堂小结1.【问题】：本节课研究问题的基本过程是什么？ 当我们遇到一个实际问题，首先，我们要将实际问题变成一个数学问题（群答），也就是抽象成一个数学模型，这样可以帮助我们进行实验观察，进而运用合情推理得到一个猜想，然后我们可以通过严谨的逻辑证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。2.【问题】：轴对称在所研究问题中起什么作用？利用轴对称主要是进行问题的转化，它其实是起到了一个桥梁的作用，同时也体现了我们数学学习中的转化思想。我们要先将实际问题变成一个数学问题，然后观察实验，提出猜想，之后通过证明，验证猜想，从而得出结论，最后再将结论运用到实际问题里。转化作用培养学生总结在课题学习的基本思路。八布置作业【自我检测】见下面附件一【课后作业】1、课本93页，第15题。2、（拓广探索）在AOB内有一点P，在射线OA上找一点M，在射线OB上找一点N，使的周长最短。第一题难度适中，是学生跳一跳能摘到的果子，达到复习本节课知识方法，又为后续学习打下基础。第二题学以致用，并且有提高和挑战，作两次轴对称。在解决最短路径问题时，通常利用轴对称将同侧转化为异侧问题，化折线为直线，从而作出最短路径的选择。板书设计：最短路径问题一、 两点在直线异侧二、 两点在直线同侧 教学反思： 通过这节课的教学，我不仅完成了预定的教学任务，而且从中进行了有益的尝试，取得了良好的教学效果。下面针对这节课的教学情况谈谈自己的一些体会。 1、多媒体教学，发挥最佳效果。 传统的教学以静态形象为主，学生在学习中会感到单调、枯燥，多媒体集音、像、动画于一体，生动形象，吸引着学生的注意力与学习兴趣，这是其他教学手段不可比拟的。在教学中，我设计的课件中把将军搬家，饮马动态化，牢牢地吸引住学生的注意力，把比较过程形象地展现出来，教会了学生观察比较。 2、精心设计，练习形式多样。 课程标准提出：“练习是使学生掌握知识，形成技能，发展智力的重要手段。”精心设计练习，强化训练，及时反馈，及时矫正，及时补救，能提高课堂教学效率。所以，我把练习分成三种形式：讨论合作练习、当堂自我检测、课下拓展。通过三种练习形式，练习不同层次的题，难易结合，练习形式生动有趣，学生学习的积极性很高。 3、激励学生自我展示，提高学习积极性。 兴趣是最好的老师。在教学中如何激发学生的求知欲，提高课堂效率，越来越引起大家重视。在课堂中尽可能多的让学生自己调动自己的积极性。比如，回答问题，我采用的不是传统的学生举手老师点名提问的方式，而是让学生自己站起来直接回答，特别值得一说的是，小组合作讨论完毕，我们采用的是小组代表上台通过展台展示他们讨论的结果并解释理由，有不同意见的小组更争相表达自己。这样不仅调动了学生积极探求知识的欲望，激发起学生学习的情感，竞争的心理，而且学生积极动脑，踊跃发言，课堂气氛异常活跃。 4、充分发挥学生主体作用。 学生是学习的主体，给学生展示的机会，学生在学的过程中真正成为了课堂的主人。因此，这堂课我充分发挥学生主体作用，发掘学生的聪明才智，提高学生的数学素质。 此外，我认为在教学过程中自己还应注意一些问题：学生讨论的氛围不够激烈，学生分小组活动时，有的学生参与的积极性不够，缺乏与他人合作的意识。在以后的教学中还要多努力，尽可能完善课堂。附件一自我检测 组别： 姓名： 一、精