《几何画板》在立体几何解题中的应用.doc

几何画板在立体几何解题中的应用 河南省濮阳市油田三高数学组 乔晓军 邮编：457001摘要：几何画板是一个优秀的教育教学平台软件，它功能强大，能动态表现相关对象的关系，是21世纪的动态几何。用几何画板绘制各种立体图形非常直观，十分有利于培养学生的空间想象能力。同时也改变了教师教学的传统模式。关键字：几何画板The GeometerS Sketchpad 立体几何solid geometry 解题solve problems 正文：几何画板适宜教师根据教学的需要制作课件或课件片断，并应用于教学，从而优化课堂教学结构，提高教学质量，也有利于培养学生的空间想象能力和激发学生学习立体几何的兴趣。从国外引进的教育软件几何画板以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。应用几何画板将图形动起来，可以使图形中各元素之间的位置关系和度量关系更具立体感，使学生从各个不同的角度去观察空间图形。这样，不仅可以帮助学生理解和接受立体几何知识，还可以让学生的想象力和创造力得到充分发挥。那么，几何画板在高中数学教学中有哪些应用呢？笔者只想在教师授课过程中给学生讲解例题或习题方面阐述几何画板的优势。1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱CC1上，画出直线A1P与平面ABCD的交点Q。分析：在画此图时，很多同学由于立体感不强，很容易认为直线A1P与DC的延长线相交于点Q，从而得到错误答案。实际上，我们利用几何画板就很容易让学生明白其实这两条直线根本就不相交：（做法如下）（1） 先画一个圆，并在圆上通过旋转900取四个点，使他们构成一个正方形；（如图1）（2）然后利用做椭圆的方法，分别作出四个点的对应点；（如图2）（3）把连线得到的四边形向竖直方向平移适当的距离，就得到一个正方体。（如图3）（4）拖动带有“转动”字样的点到适当的位置，就可看出A1P与DC的关系。（如图4）正确做法：连接AC，并延长，它与AP的延长线相交于一点。这一点就是直线A1P与平面ABCD的交点Q。（如图5）点评这种题目看起来很简单，但对于很多立体几何的初学者来说并不能马上可以弄清图中的元素：点、线、面的位置关系，我们借助几何画板能给学生提供一种更为简洁、明了的方式帮助学生建立空间概念，有助于激发学生学习立体几何的兴趣。 2.一条直线和这条直线外不在同一条直线上的三点，可以确定几个平面？分析：解决此题时，直接作图验证不是很容易。只有靠学生的空间想象能力。但我们在讲解此题时用几何画板作图给学生演示则一目了然！做法：由于题目提供的是任意一条直线和直线外任意不共线三点，我们可把直线和点选在一个如上题做好的正方体中，可分如下三种情况：（1）假设A，B，C三点中任何两点与直线l不共面（如图1），我们分别作出直线l与每一个点确定的平面，经过适当旋转，很容易看到此时共确定四个平面（包括平面ABC）；（2）假设其中两点与l共面，不妨设A，B与l共面（如图2），我们分别作出直线l与每一个点确定的平面，经过适当旋转，很容易看到此时共确定三个平面（包括平面ABC）；（3）当三点与直线同在一个平面内，则可以确定一个平面（平面ABC）。综上，一条直线和这条直线外不在同一条直线上的三点，可以确定4个、3个或1个平面。点评这种题目如果不采用图示的方式去理解，那么心中往往会有疑虑：所作的平面是否会重合？这时我们可以采用“反证法”来逐一证明，但非常繁琐！我们可以利用几何画板的强大的动画功能，让所作的平面转动起来，所作的平面是否重合在转动过程中一目了然。这样，讲解更简单、作图更直观、学生的印象更深刻！3.求点A(2,-3,-1)关于坐标平面xoy和xoz以及坐标原点的对称点坐标。分析：由于这是在空间直角坐标系下的对称问题，徒手作图也是比较困难。但利用几何画板作图演示对学生的理解很有帮助。做法：（1）先建立空间直角坐标系（如图1）； （2）作出A点（如图2）；（3）作出坐标平面xoy和xoz（如图3）；（4）分别作出点A关于坐标平面xoy和xoz以及关于坐标原点的对称点A，A，A。（5）拖动点“移”可使坐标系水平旋转；拖动点“翻”可使坐标系上下转动。能使图形更具有立体感，对学生的理解更有帮助。（6）观察图形可知A(2,-3,1), A(2,3,-1),A(-2,3,1)。 点评三维坐标系的学习本身就是个难点，在坐标系中确定点的坐标或位置更是很多学生的薄弱之处。但我们可以通过几何画板的动画功能让坐标系“水平”、“上下”转动起来，把空间三维坐标系通过转动可以调整为同学熟悉的二维直角坐标系，那么点的坐标就很容易能求出。 在立体几何的学习讲解过程中，还有很多地方利用几何画板也能起到显著的作用。比如讲解“二面角”的时候，我们可以让其中一个面改变位置以改变二面角的大小，进而帮助学生建立空间观念。再比如讲解“棱柱、棱锥及其性质”时，也可以借助画板的优势直观、形象地表示它们的侧面、侧棱、底面以及它们的截面的形状或它们之间的位置关系。综上所述，使用几何画板进行数学教学，通过具体的信息呈现，能给学生留下深刻的印象，使学生不再把数学作为抽象的知识去理解它，而是能够更有实感的去接触它。由于几何画板不用编程，界面操作简单明了，还可以在课堂上随时操作，还可以利用几何画板与学生展开讨论问题，探求未知的结论，培养提高思维能力，这样，既能激发学生的学习积极性、培养学生的