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争议的数学等式：0.999. = 1 ?On 11月7日, 2013 By wannng 0.999. = 1吗？此问题在国内外大大小小的网络社区里出现了无数多次，每次都能引来上百人激烈的争论，可谓是最经久不衰的老问题了。其实，在学术界里，这个问题也是出了名的争论热点。让我们来看看，数学家们都是怎么来看待这个问题的。 最简单的证明最简单的证明是这样的： 1/3 = 0.333. 两边同时乘以 3 1 = 0.999. 1998 年，弗雷德里奇曼（Fred Richman）在数学杂志（Mathematics Magazine）上的文章0.999. 等于 1 吗？中说到：“这个证明之所以如此具有说服力，要得益于人们想当然地认为第一步是对的，因为第一步的等式从小就是这么教的。”大卫托（David Tall）教授也从调查中发现，不少学生看了这个证明之后都会转而开始怀疑第一个等式的正确性。仔细想想你会发现，“1/3 等于 0.333” 与 “1 等于 0.999” 其实别无二致，它们同样令人难以接受。正如很多人会认为 “0.999 只能越来越接近 1 而并不能精确地等于 1” 一样，“0.333 无限接近但并不等于 1/3” 的争议依旧存在。问题并没有解决。另一个充满争议的证明大卫福斯特华莱士（David Foster Wallace）在他的 Everything and More一书中介绍了另外一个著名的证明： 令 x = 0.999. 所以 10x = 9.999. 两式相减得 9x = 9 所以 x = 1威廉拜尔斯（William Byers）在How Mathematicians Think中评价这个证明：“0.999. 既可以代表把无限个分数加起来的过程，也可以代表这个过程的结果。许多学生仅仅把 0.999. 看作一个过程，但是 1 是一个数，过程怎么会等于一个数呢？这就是数学中的二义性. 逐渐靠谱的证明等比级数具有这么一个性质，如果： ar + ar2 + ar3 + . = ar / (1-r)那么我们就又有了一个快速的证明： a = 9, r = 1/10. 0.999. = 9/10 + 9/100 + 9/1000. = (9/10) / (1-(1/10) = 1这个证明最早出现在 1770 年大数学家欧拉（Leonhard Euler）的代数的要素（Elements of Algebra）中，不过当时他证明的是 109.999. 。之后的数学课本中渐渐出现了更为形式化的极限证明： 1846 年，美国教科书大学算术（The University Arithmetic）里这么说：在 0.999. 里，每增加一个 9，它都离 1 更近。1895 年的另一本教科书学校算术（Arithmetic for School）则说：如果有非常多的 9，那么它和 1 就相差无几了。意外的是，这些“形象的说法”却适得其反，学生们常常以为 0.999. 本身其实是比 1 小的。随着人们对实数更加深入的理解，0.999. = 1 有了一些更深刻的证明。1982 年，巴图（Robert. G. Bartle）和谢波特（D. R. Sherbert）在实分析引论（Introduction to Real Analysis）中给出了一个区间套的证明：给定一组区间套，则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中；0.999. 对应于区间套0, 1、0.9, 1、0.99, 1、0.999, 1 . ，而所有这些区间的唯一交点就是 1，所以 0.999. = 1。弗雷德里奇曼的文章0.999. 等于 1 吗？里则用戴德金分割给出了一个证明：所有比 0.999. 小的有理数都比 1 小，而可以证明所有小于 1 的有理数总会在小数点后某处异于 0.999. （因而小于 0.999. ），这说明 0.999. 和 1 的戴德金分割是一模一样的集合，从而说明 0.999. = 1 。格里菲思（H. B. Griffiths）和希尔顿（P. J. Hilton）在 1970 年出版的A Comprehensive Textbook of Classical Mathematics: A Contemporary Interpretation中，用柯西序列给出了另一个证明。从未停止过的讨论尽管证明越来越完备，学生们的疑惑却从来没有因此减少。在品托（Pinto）和大卫托教授的一份调查报告中写到，当学生们用高等方法证明了这个等式之后，会大吃一惊地说，这不对呀，0.999 显然应该比 1 小呀。在互联网上，这个等式的魅力也依然不减。辩论 0.999 是否等于 1 被讨论组 sci.math 评为“最受欢迎的运动”，各类问答网站中也总是会有网友激烈的讨论。 诺贝尔奖获者费曼（Richard Feynman）也用这个等式开过一句玩笑。有一次他说到：“如果让我背圆周率，那我背到小数点后 762 位，然后就说 99999 等等等，就不背了。”这句话背后有一个很奇怪的笑点：从 的小