天津南开中学2015届高三数学练习(空间向量2).doc

1. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.()证明ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.【答案】()取AB中点E,连结CE, AB=,=,是正三角形, AB, CA=CB, CEAB, =E,AB面, AB; ()由()知ECAB,AB, 又面ABC面,面ABC面=AB,EC面,EC, EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),=(-1,0,),=(0,-,), 设=是平面的法向量, 则,即,可取=(,1,-1), =, 直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 2. 如图三棱锥中，侧面为菱形，.() 证明：；（）若，AB=Bc，求二面角的余弦值.（19）解：（I）连接，交，连接AO，因为侧面，所以又又（II）因为又因为以因为则 3. 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点.（）证明：PB平面AEC；（）设二面角D-AE-C为60，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.解：（I）连接BD交AC于点O,连结EO。 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点。 又E为PD的中点，所以EOPB。 EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.（）因为PA平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直。 如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，则. 设，则。 设为平面ACE的法向量，则即，可取。又为平面DAE的法向量，由题设，即，解得。因为E为PD的中点，所以三棱锥的高为.三菱锥的体积 .4. 如图，三棱柱中，点在平面ABC内的射影D在AC上，.（I）证明：；（II）设直线与平面的距离为，求二面角的大小.解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面又，平面连结，侧面为菱形，故，由三垂线定理得；（II）平面平面，故平面平面作为垂足，则平面又直线平面，因而为直线与平面的距离，为的角平分线，故作为垂足，连结，由三垂线定理得，故为二面角的平面角由得为的中点，二面角的大小为解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴，以长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由题设知与轴平行，轴在平面内（I）设，由题设有则由得，即（）于是（II）设平面的法向量则即故，且令，则，点到平面的距离为又依题设，点到平面的距离为代入解得（舍去）或于是设平面的法向量，则，即，故且令，则又为平面的法向量，故，二面角的大小为5. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，（）求证：平面；（）若，求与所成角的余弦值；（）当平面与平面垂直时，求的长【解】（）因为四边形是菱形，所以，又因为平面，所以，因为，所以平面（）设因为，所以， 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系则，所以，设与所成角为 ，则（）由（）知，设，则，设平面的法向量,则即令则所以同理，平面的法向量，因为平面平面，所以，解得所以 6. 如图，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，且，为的中点，（）求异面直线与所成角的余弦值；（）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标依题意，得。，所以异面直线与所成角的余弦值为.A（2）假设在线段上存在点，使得平面.,可设又.由平面，得即故，此时.经检验，当时，平面.故线段上存在点，使得平面，此时.7. 如图，在四面体中，且（）设为中点证明：在上存在一点，使，并计算的值（）求二面角的平面角的余弦值解：取为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，建立空间直角坐标系 （如图所示） 则 为中点， 设 。 即，。 所以存在点 使得 且。 （）记平面的法向量为,则由，且，得， 故可取 又平面的法向量为 。.两面角的平面角是锐角，记为，则8. 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，平面，（）求证：平面；（）求二面角的余弦值（）证明：因为四边形为等腰梯形， 所以 又 ， 所以 因此 ， 又 ，且，平面， 所以 平面 （）解法一： 由（I）知，所以，又平面， 因此 两两垂直以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，不妨设，则， ， 因此 ， 设平面的一个法向量为， 则 ， 所以 ，取， 则 又平面的法向量可以取为， 所以 ，