人教A版选修2-1高中数学《第二章圆锥曲线与方程复习课》ppt课件.ppt

阶段复习课第二章 核心解读 1 椭圆中的特征三角形a2 c2 b2 a b 0 a最大 其中a b c构成如图的直角三角形 我们把它称作 特征三角形 2 椭圆的焦点三角形设P为椭圆 a b 0 上任意一点 不在x轴上 F1 F2为焦点且 F1PF2 则 PF1F2为焦点三角形 1 焦点三角形的面积 2 焦点三角形的周长L 2a 2c 3 双曲线渐近线的设法技巧 1 由双曲线标准方程求其渐近线方程时 最简单实用的办法是 把标准方程中的1换成0 即可得到两条渐近线的方程 如双曲线 a 0 b 0 的渐近线方程为 a 0 b 0 即双曲线 a 0 b 0 的渐近线方程为 a 0 b 0 即 2 如果双曲线的渐近线为时 它的双曲线方程可设为 0 4 共轭双曲线 1 双曲线与它的共轭双曲线有相同的渐近线 2 双曲线与它的共轭双曲线有相同的焦距 3 与具有相同渐近线的双曲线系方程为5 抛物线方程的设法对顶点在原点 对称轴为坐标轴的抛物线方程 一般可设为y2 ax a 0 或x2 ay a 0 6 抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F的弦长 AB 的一个重要结论 1 y2 2px p 0 中 AB x1 x2 p 2 y2 2px p 0 中 AB x1 x2 p 3 x2 2py p 0 中 AB y1 y2 p 4 x2 2py p 0 中 AB y1 y2 p 主题一圆锥曲线的定义及应用 典例1 2013 合肥高二检测 双曲线16x2 9y2 144的左 右两焦点分别为F1 F2 点P在双曲线上 且 PF1 PF2 64 求 PF1F2的面积 自主解答 双曲线方程16x2 9y2 144化简为即a2 9 b2 16 所以c2 25 解得a 3 c 5 所以F1 5 0 F2 5 0 设 PF1 m PF2 n 由双曲线的定义知 m n 2a 6 又已知m n 64 在 PF1F2中 由余弦定理知cos F1PF2 所以 F1PF2 60 所以 所以 PF1F2的面积为 延伸探究 本题条件 PF1 PF2 64 改为PF1 PF2 则 PF1F2的面积是多少 解析 双曲线16x2 9y2 144 化简为即a2 9 b2 16 所以c2 25 即a 3 c 5 所以 F1F2 10 记 PF1 m PF2 n 因为PF1 PF2 所以有m2 n2 2c 2 100 由双曲线的定义得 m n 2a 6 所以 m n 2 36 即m2 n2 2m n 36 因此有m n 32 所以 方法技巧 回归定义 解题的三点应用应用一 在求轨迹方程时 若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义 则根据圆锥曲线的定义 写出所求的轨迹方程 应用二 涉及椭圆 双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时 常用定义结合解三角形的知识来解决 应用三 在求有关抛物线的最值问题时 常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离 结合几何图形 利用几何意义去解决 补偿训练 2014 长沙高二检测 过双曲线C a 0 b 0 的左焦点F1 2 0 右焦点F2 2 0 分别作x轴的垂线 交双曲线的两渐近线于A B C D四点 且四边形ABCD的面积为 1 求双曲线C的标准方程 2 设P是双曲线C上一动点 以P为圆心 PF2为半径的圆交射线PF1于点M 求点M的轨迹方程 解析 1 由解得由双曲线及其渐近线的对称性知四边形ABCD为矩形 故四边形ABCD的面积为所以结合c 2且c2 a2 b2得 a 1 所以双曲线C的标准方程为 2 P是双曲线C上一动点 故 PF1 PF2 2 又M点在射线PF1上 且 PM PF2 故 F1M PF1 PM PF1 PF2 2 所以点M的轨迹是以F1为圆心 半径为2的圆 其轨迹方程为 x 2 2 y2 4 主题二圆锥曲线的方程 典例2 求与椭圆有相同的焦点 且离心率为的椭圆的标准方程 自主解答 因为所以所求椭圆的焦点为设所求椭圆的方程为 a b 0 因为所以a 5 所以b2 a2 c2 20 所以所求椭圆的方程为 方法技巧 处理圆锥曲线问题的策略 1 待定系数法求圆锥曲线的步骤 定位置 先确定圆锥曲线焦点的位置 从而确定方程的类型 设方程 根据方程的类型 设出方程 求参数 利用已知条件 求出a b或p的值 得方程 代入所设方程 从而得出所求方程 2 焦点位置不确定的曲线方程的设法 椭圆方程可设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 双曲线方程可设为mx2 ny2 1 m n 0 抛物线方程可设为y2 ax a 0 或x2 ay a 0 3 共焦点的曲线方程的设法 与椭圆共焦点的椭圆方程设为 与双曲线共焦点的双曲线方程设为 补偿训练 求以椭圆的长轴端点为焦点 且经过点的双曲线的标准方程 解析 椭圆长轴的顶点为A1 5 0 A2 5 0 则双曲线的焦点为F1 5 0 F2 5 0 由双曲线的定义知 PF1 PF2 即2a 8 a 4 c 5 所以b2 c2 a2 9 所以双曲线的标准方程为 主题三圆锥曲线的性质及应用 典例3 已知椭圆C a b 0 的左焦点F及点A 0 b 原点O到直线FA的距离为 1 求椭圆C的离心率e 2 若点F关于直线l 2x y 0的对称点P在圆O x2 y2 4上 求椭圆C的方程及点P的坐标 自主解答 1 由点F ae 0 点A 0 b 及得直线FA的方程为即因为原点O到直线FA的距离为所以解得 2 设椭圆C的左焦点关于直线l 2x y 0的对称点为P x0 y0 则有解得因为P在圆x2 y2 4上 所以所以a2 8 b2 1 e2 a2 4 故椭圆C的方程为点P的坐标为 方法技巧 1 圆锥曲线的主要性质圆锥曲线的主要性质包括范围 对称性 焦点 顶点 长短轴 椭圆 实虚轴 双曲线 渐近线 双曲线 离心率和准线 抛物线 2 三法 应对离心率 1 定义法 由椭圆 双曲线 的标准方程可知 不论椭圆 双曲线 的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2 b2 c2 a2 b2 c2 以及已知其中的任意两个参数 可以求其他的参数 这是基本且常用的方法 2 方程法 建立参数a与c之间的齐次关系式 从而求出其离心率 这是求离心率的十分重要的思路及方法 3 几何法 求与过焦点的三角形有关的离心率问题 根据平面几何性质以及椭圆 双曲线 的定义 几何性质 建立参数之间的关系 通过画出图形 观察线段之间的关系 使问题更形象 直观 补偿训练 2013 浙江高考 如图 F1 F2是椭圆C1 与双曲线C2的公共焦点 A B分别是C1 C2在第二 四象限的公共点 若四边形AF1BF2是矩形 则C2的离心率是 解析 选D 由椭圆C1与双曲线C2有公共焦点可知因为 AF1 AF2 4 AF1 2 AF2 2 所以 AF1 AF2 2 又 AF1 AF2 2a 所以 AF1 AF2 2 4a2 所以a2 2 所以 主题四直线与圆锥曲线的位置关系 典例4 2014 威海高二检测 已知椭圆 a b 0 上的点P到左右两焦点F1 F2的距离之和为离心率为 1 求椭圆的方程 2 过右焦点F2的直线l交椭圆于A B两点 若y轴上一点满足 MA MB 求直线l的斜率k的值 自主解答 1 PF1 PF2 2a 所以所以所以b2 a2 c2 2 1 1 所以椭圆的标准方程为 2 已知F2 1 0 直线斜率显然存在 设直线的方程为y k x 1 A x1 y1 B x2 y2 联立直线与椭圆的方程化简得 1 2k2 x2 4k2x 2k2 2 0 所以所以AB的中点坐标为 当k 0时 AB的中垂线方程为因为 MA MB 所以点M在AB的中垂线上 将点M的坐标代入直线方程得 即解得或 当k 0时 AB的中垂线方程为x 0 满足题意 所以斜率k的取值为 方法技巧 有关直线与圆锥曲线关系问题的求解方法 1 将直线方程与圆锥曲线方程联立 化简后得到关于x 或y 的一元二次方程 则直线与圆锥曲线的位置关系有如下三种 相交 0 直线与椭圆相交 0 直线与双曲线相交 但直线与双曲线相交不一定有 0 如当直线与双曲线的渐近线平行时 直线与双曲线相交且只有一个交点 故 0是直线与双曲线相交的充分不必要条件 0 直线与抛物线相交 但直线与抛物线相交不一定有 0 当直线与抛物线的对称轴平行时 直线与抛物线相交且只有一个交点 故 0也仅是直线与抛物线相交的充分条件 而不是必要条件 相切 0 直线与椭圆相切 0 直线与双曲线相切 0 直线与抛物线相切 相离 0 直线与椭圆相离 0 直线与双曲线相离 0 直线与抛物线相离 2 直线与圆锥曲线的位置关系 涉及函数 方程 不等式 平面几何等诸多方面的知识 形成了求轨迹 最值 对称 取值范围 线段的长度等多种问题 解决此类问题应注意数形结合 以形辅数的方法 还要多结合圆锥曲线的定义 根与系数的关系以及 点差法 等 补偿训练 2014 衡水高二检测 已知椭圆C1 a b 0 经过点且其右焦点与抛物线C2 y2 4x的焦点F重合 1 求椭圆C1的方程 2 直线l经过点F与椭圆C1相交于A B两点 与抛物线C2相交于C D两点 求的最大值 解析 1 由抛物线方程 得焦点F 1 0 所以c 1 所以所以a2 4 b2 3 故椭圆的方程为 2 当直线l垂直于x轴时 则C 1 2 D 1 2 所以 当直线l与x轴不垂直 设其斜率为k k 0 则直线l的方程为y k x 1 由得 3 4k2 x2 8k2x 4k2 12 0 显然 1 0 所以该方程有两个不等的实数根 设A x1 y1 B x2 y2 所以 由得k2x2 2k2 4 x k2 0 显然 2 0 所以该方程有两个不等的实数根 设C x3 y3 D x4 y4 因为k 0 所以由抛物线的定义 得 CD 所以综上 当直线l垂直于x轴时 取得最大值 主题五与圆锥曲线有关的最值问题 典例5 2013 新课标全国卷 平面直角坐标系xOy中 过椭圆M a b 0 右焦点的直线交M于A B两点 P为AB的中点 且OP的斜率为 1 求M的方程 2 C D为M上的两点 若四边形ACBD的对角线CD AB 求四边形ACBD面积的最大值 自主解答 1 设A x1 y1 B x2 y2 则 得设P x0 y0 因为P为AB的中点 且OP的斜率为所以即又因为所以可以解得a2 2b2 即a2 2 a2 c2 即a2 2c2 又因为所以a2 6 所以M的方程为 2 因为CD AB 直线AB的方程为所以设直线CD方程为y x m 将代入得 解得x 0或不妨令所以可得将y x m代入得3x2 4mx 2m2 6 0 设C x3 y3 D x4 y4 则 CD 又因为 16m2 12 2m2 6 0 即 3 m 3 所以当m 0时 CD取得最大值4 所以四边形ACBD面积的最大值为 方法技巧 与圆锥曲线中有关的最值问题的三种解决方法 1 平面几何法平面几何法求最值问题 主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解 2 目标函数法建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题 是常规方法 其关键是选取适当的变量建立目标函数 然后运用求函数最值的方法确定最值 3 判别式法对二次曲线求最值 往往由条件建立二次方程用判别式来求最值 补偿训练 已知F1 F2为椭圆的两个焦点 AB是过焦点F1的一条动弦 求 ABF2面积的最大值 解析 由题意 F1 0 1 F1F2 2 由题意知直线斜率存在 设直线AB方程为y kx 1 代入椭圆方程2x2 y2 2 得 k2 2 x2 2kx 1 0 则所以 当即k 0时 有最大值为 强化训练 1 设抛物线的顶点在原点 准线方程为x 2 则抛物线的方程是 A y2 8xB y2 8xC y2 4xD y2 4x 解析 选B 因为抛物线的准线方程为x 2 所以抛物线的开口向右 设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 则其准线方程为所以解得p 4 所以抛物线的标准方程为y2 8x 2 2014 揭阳高二检测 以 6 0 6 0 为焦点 且经过点 5 2 的双曲线的标准方程是 解析 选C 设双曲线的标准方程是 a 0 b 0 因为双曲线以 6 0 6 0 为焦点 且经过点 5 2 所以解之得a2 20 b2 16 因此 该双曲线的标准方程为 3 2014 重庆高二检测 若双曲线的离心率为则其渐近线方程为 解析 选B 由得渐近线方程为 补偿训练 已知双曲线的右焦点与抛物线y2 12x的焦点重合 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 解析 选A 由双曲线的右焦点与抛物线y2 12x的焦点重合 知于是因此该双曲线的渐近线方程为即故该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 4 2013 福建高考 椭圆 a b 0 的左 右焦点分别为F1 F2 焦距为2c 若直线与椭圆 的一个交点M满足 MF1F2 2 MF2F1 则该椭圆的离心率等于 解析 MF1F2是直线的倾斜角 所以 MF1F2 60 MF2F1 30 所以 MF2F1是直角三角形 在Rt MF2F1中 F2F1 2c MF1 c MF2 所以答案 5 在平面直角坐标系xOy中 椭圆C的中心为原点 焦点F1 F2在x轴上 离心率为过F1的直线l交椭圆C于A B两点 且 ABF2的周长为16 那么椭圆C的方程为 解析 由椭圆的第一定义可知 ABF2的周长为4a 16 得a 4 又离心率为即所以故a2 16 b2 a2 c2 16 8 8 则椭圆C的方程为答案