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文档简介
第4讲 平均值不等式竞赛热点1著名的算术几何平均值不等式:若为正数,那么式中的等号,当且仅当时成立。2关于二、三元均值不等式的变形:; ; ; ; ;解题示范例1:设,求证:点评;我们知道,这是常见的不等式,由此却发展出了如上新题。对于3个字母的情形是:设,求证:例2:已知、是满足的正数,求证:点评:在中等数学2008年第3期奥林匹克问题栏目里,有这样类似的问题:已知、是满足的正数,求证:例3:设,则点评:如果将不等式分子里的改换为,就得另一个新的不等式。设,则更进一步的思考与演变,留给有兴趣的读者去探讨。例4:已知为正实数,求证:点评:十分有趣的是,2004年北京高一数学竞赛里(见文4)出现了一道类似的问题:已知实数满足,求证:例5:设,且,求证:点评:在原题里,作代换,则有等价的题目:设,且,求证:例6:若,则点评:这是一个新的不等式,它的一个类似不等式是:已知,求证著名的外森比克不等式是指:设的三边分别为,其面积为,则我们可以将此不等式加强为:例7:设的三边分别为、,其面积为,则在证明过程中,运用到如下有用的恒等式:例8:若,求证:. 测试题目能力测试选择题1已知,且,则的最小值是( )A6BCD2已知,且,则( )ABCD3设且,则M的取值范围是( )ABCD4某生物生长过程中,在三个连续时间内的增长量都相等,在各时段内平均增长速度分别为,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )AB CD5“”是“对任意的正数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知,且,则的最小值是( )A5B6C8D9填空题7时,函数的最小值是。8设均为正实数,且,则的最小值为。9在下面等号右侧两个分数的分母括号处,各填上一个自然数,并且使这两个自然数的和最小:10对于任意的,函数的最大值与最小值的和是。11曲线上的点到原点的距离的最小值为。12设,且恒成立,则的最大值为 。解答题13若,求证:(1); (2)14已知,求证:15设为锐角,且,则冲击金牌16设正实数满足,求证17在中,三边长为,求证:18已知,求证:第4讲 平均值不等式竞赛热点1著名的算术几何平均值不等式:若为正数,那么式中的等号,当且仅当时成立。2关于二、三元均值不等式的变形:; ; ; ; ;解题示范例1:设,求证:思路分析:灵活应用2元和4元均值不等式证之。证明:由2元均值不等式,得,所以,只要证明,这又等价于由4元均值不等式,得点评;我们知道,这是常见的不等式,由此却发展出了如上新题。对于3个字母的情形是:设,求证:例2:已知、是满足的正数,求证:思路分析:利用,进行转化,将原来的不等式转化为一个比较强的不等式。证明:因为,所以,要证原不等式,只要证明如下的不等式(*)令,则正数,于是不等式(*)等价于,也就是,即,注意到,并应用3元均值不等式,得故得证.点评:在中等数学2008年第3期奥林匹克问题栏目里,有这样类似的问题:已知、是满足的正数,求证:例3:设,则思路分析:把条件变形为等3个关系,灵活应用代入消元。证明:利用三元均值不等式,得所以点评:如果将不等式分子里的改换为,就得另一个新的不等式。设,则更进一步的思考与演变,留给有兴趣的读者去探讨。例4:已知为正实数,求证:思路分析:许多书刊上给出了该不等式的多种证明,如分母换元法。这里给出一种妙用二元均值不等式变形的简明证法。证明:对于,显然有于是 点评:十分有趣的是,2004年北京高一数学竞赛里(见文4)出现了一道类似的问题:已知实数满足,求证:例5:设,且,求证:思路分析:一般见到的证明方法是,通过构造三角形,挖掘它的几何意义,利用熟悉的三角形不等式实现其证明。其实,既然是纯代数的不等式,那么,有没有直接的代数证法呢?这可以用均值不等式来实现的。证明:首先变形条件等式,得,即(*)由题设条件易知,于是,由3元均值不等式,得(*)令,结合(*)与(*),便得,变形得,注意到,便得故有点评:在原题里,作代换,则有等价的题目:设,且,求证:例6:若,则思路分析:灵活变形,巧妙利用均值不等式。证明:采用均值不等式证之。,并注意到得点评:这是一个新的不等式,它的一个类似不等式是:已知,求证著名的外森比克不等式是指:设的三边分别为,其面积为,则我们可以将此不等式加强为:例7:设的三边分别为、,其面积为,则思路分析:利用高线和中线之间的大小关系,进行化归证明之。证明:记边上的高和中线依次为,点评:外森比克不等式曾是第三届(1961年)国际数学奥林匹克第2题,这里仅用三角形对应边上的中线不小于高线,给了它的一种有趣的加强。在证明过程中,运用到如下有用的恒等式:例8:若,求证:. 思路分析:利用换元、乘方技术,将无理不等式转化为有理不等式。证明:令,则不等式 应用六元均值不等式,得,即,同理,又于是,由+,立即得证式。其中,等号仅当时成立。故得证.当且仅当时取等号。点评:作者的思考是,不等式对于多个字母的情景,是否也成立相应的不等式呢?这是需要探究的一个有趣问题。测试题目能力测试选择题1已知,且,则的最小值是( )A6BCD2已知,且,则( )ABCD3设且,则M的取值范围是( )ABCD4某生物生长过程中,在三个连续时间内的增长量都相等,在各时段内平均增长速度分别为,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )ABCD5“”是“对任意的正数”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知,且,则的最小值是( )A5B6C8D9填空题7时,函数的最小值是。8设均为正实数,且,则的最小值为。9在下面等号右侧两个分数的分母括号处,各填上一个自然数,并且使这两个自然数的和最小:10对于任意的
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