第4讲平均值不等式.doc

第4讲 平均值不等式竞赛热点1著名的算术几何平均值不等式：若为正数，那么式中的等号，当且仅当时成立。2关于二、三元均值不等式的变形：； ； ； ； ；解题示范例1：设，求证：点评；我们知道，这是常见的不等式，由此却发展出了如上新题。对于3个字母的情形是：设，求证：例2：已知、是满足的正数，求证：点评：在中等数学2008年第3期奥林匹克问题栏目里，有这样类似的问题：已知、是满足的正数，求证：例3：设，则点评：如果将不等式分子里的改换为，就得另一个新的不等式。设，则更进一步的思考与演变，留给有兴趣的读者去探讨。例4：已知为正实数，求证：点评：十分有趣的是，2004年北京高一数学竞赛里（见文4）出现了一道类似的问题：已知实数满足，求证：例5：设，且，求证：点评：在原题里，作代换，则有等价的题目：设，且，求证：例6：若，则点评：这是一个新的不等式，它的一个类似不等式是：已知，求证著名的外森比克不等式是指：设的三边分别为，其面积为，则我们可以将此不等式加强为：例7：设的三边分别为、，其面积为，则在证明过程中，运用到如下有用的恒等式：例8：若，求证：. 测试题目能力测试选择题1已知，且，则的最小值是（ ）A6BCD2已知，且，则（ ）ABCD3设且，则M的取值范围是（ ）ABCD4某生物生长过程中，在三个连续时间内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（ ）AB CD5“”是“对任意的正数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知，且，则的最小值是（ ）A5B6C8D9填空题7时，函数的最小值是。8设均为正实数，且，则的最小值为。9在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：10对于任意的，函数的最大值与最小值的和是。11曲线上的点到原点的距离的最小值为。12设，且恒成立，则的最大值为 。解答题13若，求证：（1）； （2）14已知，求证：15设为锐角，且，则冲击金牌16设正实数满足，求证17在中，三边长为，求证：18已知，求证：第4讲 平均值不等式竞赛热点1著名的算术几何平均值不等式：若为正数，那么式中的等号，当且仅当时成立。2关于二、三元均值不等式的变形：； ； ； ； ；解题示范例1：设，求证：思路分析：灵活应用2元和4元均值不等式证之。证明：由2元均值不等式，得，所以，只要证明，这又等价于由4元均值不等式，得点评；我们知道，这是常见的不等式，由此却发展出了如上新题。对于3个字母的情形是：设，求证：例2：已知、是满足的正数，求证：思路分析：利用，进行转化，将原来的不等式转化为一个比较强的不等式。证明：因为，所以，要证原不等式，只要证明如下的不等式（*）令，则正数，于是不等式（*）等价于，也就是，即，注意到，并应用3元均值不等式，得故得证.点评：在中等数学2008年第3期奥林匹克问题栏目里，有这样类似的问题：已知、是满足的正数，求证：例3：设，则思路分析：把条件变形为等3个关系，灵活应用代入消元。证明：利用三元均值不等式，得所以点评：如果将不等式分子里的改换为，就得另一个新的不等式。设，则更进一步的思考与演变，留给有兴趣的读者去探讨。例4：已知为正实数，求证：思路分析：许多书刊上给出了该不等式的多种证明，如分母换元法。这里给出一种妙用二元均值不等式变形的简明证法。证明：对于，显然有于是 点评：十分有趣的是，2004年北京高一数学竞赛里（见文4）出现了一道类似的问题：已知实数满足，求证：例5：设，且，求证：思路分析：一般见到的证明方法是，通过构造三角形，挖掘它的几何意义，利用熟悉的三角形不等式实现其证明。其实，既然是纯代数的不等式，那么，有没有直接的代数证法呢？这可以用均值不等式来实现的。证明：首先变形条件等式，得，即（*）由题设条件易知，于是，由3元均值不等式，得（*）令，结合（*）与（*），便得，变形得，注意到，便得故有点评：在原题里，作代换，则有等价的题目：设，且，求证：例6：若，则思路分析：灵活变形，巧妙利用均值不等式。证明：采用均值不等式证之。，并注意到得点评：这是一个新的不等式，它的一个类似不等式是：已知，求证著名的外森比克不等式是指：设的三边分别为，其面积为，则我们可以将此不等式加强为：例7：设的三边分别为、，其面积为，则思路分析：利用高线和中线之间的大小关系，进行化归证明之。证明：记边上的高和中线依次为，点评：外森比克不等式曾是第三届（1961年）国际数学奥林匹克第2题，这里仅用三角形对应边上的中线不小于高线，给了它的一种有趣的加强。在证明过程中，运用到如下有用的恒等式：例8：若，求证：. 思路分析：利用换元、乘方技术，将无理不等式转化为有理不等式。证明：令，则不等式 应用六元均值不等式，得，即，同理，又于是，由+，立即得证式。其中，等号仅当时成立。故得证.当且仅当时取等号。点评：作者的思考是，不等式对于多个字母的情景，是否也成立相应的不等式呢？这是需要探究的一个有趣问题。测试题目能力测试选择题1已知，且，则的最小值是（ ）A6BCD2已知，且，则（ ）ABCD3设且，则M的取值范围是（ ）ABCD4某生物生长过程中，在三个连续时间内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（ ）ABCD5“”是“对任意的正数”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6已知，且，则的最小值是（ ）A5B6C8D9填空题7时，函数的最小值是。8设均为正实数，且，则的最小值为。9在下面等号右侧两个分数的分母括号处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小：10对于任意的