高二上期数学期末复习讲义---做得很好.doc

1 高二上期数学期末复习讲义 一 解三角形一 解三角形 1 正弦定理 余弦定理 正弦定理 余弦定理 要求要求 掌握正弦定理 余弦定理及变式 会解几类三角形 例例 1 1 边长为 5 7 8 的三角形的最大角与最小角之和为 2 在 ABC 中 A 45 在 BC 边长分别为 20 5 的情况下 求相10 2AB 20 3 3 应角 C 练练 1 1 在 ABC 中 已知 则角 A 为 222 abcbc 2 在 ABC 中 则三角形最小的内角是 sin sin sin2 6 31 ABC 2 测量问题 测量问题 要求要求 应用正弦定理与余弦定理等知识和方法解决一些测量问题 如测量距离 高度 角度 例例 2 1 一缉私艇在岛 B 南 50 东相距 8 n mile 的 A 处 发现一走私船正62 由岛 B 沿方位角为方向以 8n mile h 的速度航行 若缉私艇要在 2 小时时后追上10 2 走私船 求其航速和航向 2 从 200 米高的山顶 A 处测得地面上某两个景点 B C 的俯角分别是 30 和 45 且 BAC 45 求这两个景点 B C 之间的距离 练练 2 一货轮航行到 M 处 测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 相距 20 里处 随后货轮按北偏西 30 的方向航行 半小时后 又测得灯塔在货轮的北偏东 45 求货轮的速度 2 3 三角形的面积及有关恒等式 三角形的面积及有关恒等式 要求要求 掌握三角形的面积公式 能利用正弦定理 余弦定理判断三角形 的形状 研究三角形中的有关恒等式问题 例例 3 1 如图 在四边形 ABCD 中 AC 平分 DAB ABC 600 AC 7 AD 6 S ADC 求 AB 的长 15 3 2 2 在 ABC 中 若 试判断 ABC 的形状 sinsinsin coscos ABCAB A 练练 3 1 已知 ABC 的面积为 且 则 A 3 2 2 3bc 2 在 ABC 中 求证 coscos abBA c baba A 二 数列二 数列 1 数列通项与前 数列通项与前 n 项和 项和 要求要求 能写出数列的通项公式 并应用通项公式解决问题 会由前 n 项和公式求通项 例例 1 等比数列 n a 的前 n 项和为 n S 已知对任意的nN 点 n n S均在函数 0 x ybr b 且1 bb r 均为常数 的图像上 1 求 r 的值 2 当 b 2 时 记 1 4 n n n bnN a 求数列 n b的前n项和 n T 练练 1 1 已知数列的前项和 则 n an 2 48 n Snn n a 2 数列中 则 n a 11 1 2 nn aaan n a 3 数列中 则 n a 11 1 23 nn aaa n a 4 数列中 则 n a 11 1 31 n n n a aa a n a 5 已知数列的通项公式 则前项和 n a 1 1 n a n n n n S 600 2 1 D C B A 3 2 等差 等比数列的通项及前 等差 等比数列的通项及前 n 项和 项和 要求要求 掌握等差数列 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 会知三求二 例例 2 设等差数列 的前项和为 已知 i 求数列 的通项公式 n an n S 3 a24 11 0S n a ii 求数列 的前 n 项和 iii 当 n 为何值时 最大 并求的最大值 n a n S n S n S 练练 2 1 在等差数列 an 中 a5 1 a6 1 则 a5 a6 a15 2 等比数列的公比为 2 且前 4 项之和等于 1 那么前 8 项之和等于 3 等差 等比数列的有关性质 等差 等比数列的有关性质 要求要求 掌握等差 等比数列的有关性质 例例 3 已知等比数列与数列满足 i 判断是何种数列 并给出证 n b n a 3 n a n bnN n a 明 ii 若 8131 220 aambbb 求 练练 3 1 在等差数列 n a中 6 7 253 aaa 则 6 a 2 在等比数列中 n a 2323 6 8 aaa aq 则 3 等比数列 an 中 若前 10 项和 S10 100 前 20 项和 S20 300 则前 30 项和 S30 4 三个数成等比数列 其积为 512 如果第一个数与第三个数各减 2 则成等差数列 求这三 个数 4 数列应用问题 数列应用问题 要求要求 能用等差数列 等比数列等知识解决一些实际问题 例例 4 1 夏季某高山上的温度从山脚起 每升高 100 米降低 已知山顶处的温度是0 7 C 山脚温度是 则这山的山顶相对于山脚处的高度是 14 8 C 26 C 2 某客运公司买了每辆 2a 万元的大客车投入运营 根据调查得知 每辆客车每年客运收入 约为 a 万元 且每辆客车第 n 年的油料费 维修费及其他各种管理费用总和 P n 万元 与年 数 n 成正比 又知第 3 年每辆客车上述费用是该年客运收入的 48 i 写出每辆客车运营的 总利润 y 万元 与 n 的函数表达式 ii 每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大 4 三 基本不等式三 基本不等式 1 不等式的性质 不等式的性质 要求 要求 掌握不等式的性质 例例 1 1 若 则下列结论中正确的有 0 11 ba ab 22 ab bm am b a 2 一元二次不等式 一元二次不等式 要求要求 会解一元二次不等式 例例 2 1 关于的不等式的解集为 x 22 21 0 xmxmm 2 已知不等式的解集为 则不等式的解集为 2 50axxb 32 xx 2 50bxxa 练练 2 1 已知集合 A B x 求 AB AB 2 90 x x 2 430 xx 2 若不等式对一切恒成立 则的取值范围是 2 2 2 2 40axax xR a 3 函数的定义域是 4 解关于 x 的不等式 ax2 a 1 x 1 0 1 21 lg x x y 3 线性规划问题 线性规划问题 要求要求 掌握一些简单的二元线性规划问题 例例 3 已知 x y 满足条件 设 z 求 z 的最大值和最小值 5315 1 53 xy yx xy 35xy 练练 3 某糖果厂生产 A B 两种糖果 A 种糖果每箱获利润 40 元 B 种糖果每箱获利润 50 元 其生产过程分为混合 烹调 包装三道工序 右表为每箱糖果生产过程中所需平 均时间 单位 分钟 每种糖果的生产过程中 混合的设 备至多能用 12 机器小时 烹调的设备至多只能用机器 30 机器小时 包装的设备只能用机器 15 机器小时 试问用每种糖果各生产多少箱可获得最大利润 混合烹调包装 A153 B2 4 1 5 4 基本不等式 基本不等式 要求要求 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 例例 4 1 设 11 0 021 xyxy xy 且 求的最小值 2 已知 x 求函数的最大值 5 4 1 42 45 yx x 练练 4 1 已知 则的最小值是 232ab 48 ab 2 若直角三角形的内切圆半径为 1 求其面积的最小值 5 不等式应用问题 不等式应用问题 要求要求 能用不等式的知识解决一些实际问题 例例 5 经过长期观测得到 在交通繁忙的时段内 某公路段汽车的车流量 千辆 小时 与汽y 车的平均速度 千米 小时 之间的函数关系为 v 2 920 0 31600 v yv vv i 在该时段内 当汽车的平均速度为多少时 车流量最大 最大车流量为多少 保留分v 数形式 ii 若要求在该时段内车流量超过10 千辆 小时 则汽车的平均速度应在什么范围内 练练 5 1 某供水公司水池有水 450 吨 每小时注入 80 吨 又 小时向居民输出水吨 t80 20t 现同时输入输出 i 多少小时后水池中水量最少 ii 若水池中低于 1500 吨时会出现供水 紧张 问同时一天内有几小时供水紧张 2 建造一个容积为 16 立方米 深为 4 米的长方体无盖水池 如果池底的造价为每平方米 110 元 池壁的造价为每平方米 90 元 求长方体的长和宽分别是多少时水池造价最低 最低造价为 多少 6 四 常用逻辑用语 四 常用逻辑用语 要求要求 理解必要条件 充分条件与充要条件 会分析四种命题的相互关系 了解逻辑联结词 或 且 非 的含义 理解全称量词与存在量词 能正确对含有一个量词的命题进行否定 例例 1 1 已知 若 p 是 q 的必要不充分条 22 2 10 0 2100pxxq xxmm 件 求实数 m 的取值范围 2 写出下列命题的否定 并判断否命题的真假 分析属全称命题还是特称命题 i 有理数是实数 ii 有的三角形是直角三角形 iii 每个二次函数的图象都与 y 轴相交 iv xR 2 20 xx 练练 1 1 令是真命题 则实数的取值范围是 2 210 p xaxxxR p x 若对a 2 有下列四个命题 命题 若 则 互为倒数 的逆命题 命题 面积相等1xy xy 的三角形全等 的否命题 命题 若 1 则有实根 的逆否命题 命题m 2 20 xxm 若 则 的逆否命题 其中是真命题的是 ABBA B 3 命题关于的不等式的解集为空 命题函数为 px 22 1 0 xmxm q 2 2 xymm 增函数 若 或 为真命题 且 为假命题 求的取值范围 pqpqm 五 圆锥曲线与方程五 圆锥曲线与方程 1 曲线与方程 要求 掌握求曲线的方程的几种方法 曲线与方程 要求 掌握求曲线的方程的几种方法 例例 1 已知动圆 M 与直线相切且与圆外切 1 求动圆圆心 M 的轨迹 C1x 22 2 1xy 的方程 2 设 A B 为 C 上的两个动点 已知 求点的轨迹方程 OAOB OQAB Q 练练 1 1 方程表示的曲线形状为 22 1 40 xyxy 2 已知的顶点两点的坐标分别是 AB 和 AC 边上的中线长之和ABCDCB 30 3 0 为 15 则的重心的轨迹方程为 顶点的轨迹方程为ABCDGA 7 2 圆锥曲线定义及方程 圆锥曲线定义及方程 要求要求 掌握椭圆 双曲线 抛物线的定义及标准方程 例例 2 1 求以椭圆 1 的顶点为焦点 且一条渐近线的倾斜角为的双曲线方程 2 64 x 2 16 y5 6 2 已知椭圆的两焦点为 P 为椭圆上一点 且 12 1 0 1 0 FF 1212 2 FFPFPF i 求椭圆的方程 ii 若 求的面积 12 60FPF 12 FPF 3 抛物线顶点在原点 它的准线经过双曲线的一个焦点 并且这条准线与双曲线 22 22 1 xy ab 的实轴垂直 又抛物线与双曲线交于点 求二者的方程 3 6 2 练练 2 1 双曲线的渐近线方程为 焦距为 则双曲线的方程为 20 xy 10 2 以椭圆的顶点为顶点 离心率为的双曲线方程为 22 1 2516 xy 2 3 若椭圆的两个焦点为 F1 4 0 F2 4 0 椭圆的弦 AB 过点 F1 且 ABF2的周长为 20 那么该椭圆的方程为 3 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的几何性质 要求要求 掌握椭圆 双曲线 抛物线的几何性质 例例 3 1 已知双曲线的方程是 16x2 9y2 144 i 求这双曲线的焦点坐标 离心率和渐近线方 程 ii 设 F1和 F2是双曲线的左 右焦点 点 P 在双曲线上 且 PF1 PF2 32 求 F1PF2 的大小 2 双曲线 a 0 b 0 的两个焦点为F1 F2 若 P 为其上一点 且 22 22 1 xy ab 则双曲线离心率的取值范围为 12 2 PFPF 8 练练 3 1 若椭圆的离心率为 则它的长半轴长为 22 1xmy 3 2 2 椭圆 22 1 92 xy 的焦点为 12 F F 点 P 在椭圆上 若 1 4PF 则 2 PF 12 FPF 的大小为 3 已知点 F 是抛物线的焦点 M 是抛物线上的动点 当最小时 3 4 A 2 8yx MAMF M 点坐标是 4 设双曲线 22 22 1 xy ab a 0 b 0 的渐近线与抛物线相切 则该双曲线的离心 2 1yx 率等于 4 直线与圆锥曲线 直线与圆锥曲线 要求要求 能解决直线与圆锥曲线的一些问题 例例 4 1 在抛物线上求一点 使这点到直线的距离最短 2 4yx 45yx 2 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的离心率为 3 3 过右焦点 F 的直线l与C相交于A B两点 当l的斜率为 1 时 坐标原点O到l的距离为 2 2 I 求a b的值 II C上是否存在点 P 使得当l绕 F 转到某一位置时 有OPOAOB 成立 若存在 求 出所有的 P 的坐标与l的方程 若不存在 说明理由 练练 4 1 若直线与抛物线交于 A B 两点 且 AB 中点的横坐标为 2 则此直2ykx 2 8yx 线的斜率是 2 已知椭圆与直线相交于两个不同的点 I 求的范围 22 41xy yxm AB m II 求的最大值 AB 9 5 圆锥曲线的应用问题 圆锥曲线的应用问题 要求要求 了解圆锥曲线的简单应用 例例 5 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为 52 米 拱顶距离 水面 6 5 米 1 建立如图所示的平面直角坐标系 xoy 试求拱桥所在抛 物线的方程 2 若一竹排上有一 4 米宽 6 米高的大木箱 问此木排能否安全通过此桥 练练 5 如图 抛物线形拱桥的顶点距水面 2 米时 测得拱桥内水面宽为 12 米 当水面升高 1 米后 拱桥内水面宽度是多少米 六 空间向量与立体几何六 空间向量与立体几何 1 空间向量运算 空间向量运算 要求要求 掌握空间向量的线性运算 数量积 坐标表示等 例例 1如图 一块矿石晶体的形状为四棱柱 底面 ABCD 是正方形 且 1 3 2CCCD 11 60C CBC CD i 求的长 ii 求证 1 AC 1 ACBD 练练 1 1 若 1 1 0 1 0 2 k 与 2 垂直 则 k a b a b a b 2 已知 且与的夹角为钝角 则 x 的取值范围是 2 2 0 3 2 axbx x a b 2 空间平行与垂直 角度与距离 空间平行与垂直 角度与距离 要求要求 能用向量方法解决空间的平行与垂直 角度与距离等问题 例例 2 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得ABCD 1 AEC F 到的 其中 1 4 2 3 1ABBCCCBE i 求的长 ii 求点到平面的距离 BFC 1 AEC F o y x 12 2 10 练练 2 如图三棱柱 ABC A1B1C1中 面 BAC 90 1 A A ABC AB AC a AA1 2a D 为棱 BB1的中点 i 证明 A1C1 平面 ACD ii 求异面直线 AC 与 A1D 所成角的大小 iii 证明 A1D 平面 ADC 七 导数及其应用七 导数及其应用 1 导数的计算 导数的计算 要求要求 能利用所给出的基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数 例例 1 1 求下列函数的导数 i ii iii sin x y x 1 2 3 yxxx 3 1cos2 yx 2 如果曲线处的切线互相垂直 则 x0的值为 23 0 32yxyxxx 与在 练练 1 1 曲线在点 处的切线倾斜角为 3 4yxx 1 3 2 函数处的切线方程是 cos2 0 4 yx 在点 3 一个物体的运动方程为其中的单位是米 的单位是秒 那么物体在秒末 2 1stt st3 的瞬时速度是 2 利用导数研究函数 利用导数研究函数 要求要求 能利用导数研究函数的单调性 极大 小 值 最大 小 值 例例 2 1 求函数在区间上的最大值与最小值 543 551f xxxx 1 4 2 已知是函数的一个极值点 3 xxxxaxf10 1ln 2 求的值 求函数的单调区间a f x 11 若直线与函数的图象有 3 个交点 求的取值范围by yf x b 练练 2 1 已知的图象经过点 且在处的切线方程是 42 f xaxbxc 0 1 1x 2yx i 求的解析式 ii 求的单调递增区间 yf x yf x 2 已知函数 f x 的导数为 f x 4x3 4x 且图象过定点 0 5 求函数 f x 的极值 3 优化问题 优化问题 要求要求 能用导数解决生活中的优化问题 例例 3 1 做一个容积为 256 升的方底无盖水箱 则它的高为 时 材料最省 2 甲 乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处 乙厂与甲厂在河的同 侧 乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处 乙厂到河岸的垂足 D